نتیجهای یافت نشد
هم اکنون نمیتوانیم چیزی با آن عبارت پیدا کنیم، سعی کنید چیز دیگری را جستجو کنید.
ماشین حساب احتمالات
با ماشین حساب احتمالات آنلاین، شانس وقوع رویدادها، توزیع نرمال و احتمال برد و باخت را سریع و دقیق محاسبه کنید. ابزاری حرفهای برای محاسبات آماری شما!
| نتیجه | ||
|---|---|---|
| احتمال A رخ ندادن: P(A') | 0.5 | |
| احتمال B رخ ندادن: P(B') | 0.6 | |
| احتمال A و B هر دو رخ دادن: P(A∩B) | 0.2 | |
| احتمال که A یا B یا هر دو رخ دهد: P(A∪B) | 0.7 | |
| احتمال که A یا B رخ دهد ولی نه هر دو: P(AΔB) | 0.5 | |
| احتمال که نه A و نه B رخ ندهد: P((A∪B)') | 0.3 | |
| احتمال رخ دادن A ولی نه B: | 0.3 | |
| احتمال رخ دادن B ولی نه A: | 0.2 | |
Probability
احتمال A: P(A) = 0.5
احتمال B: P(B) = 0.4
احتمال A رخ ندادن: P(A') = 1 - P(A) = 0.5
احتمال B رخ ندادن: P(B') = 1 - P(B) = 0.6
احتمال A و B هر دو رخ دادن: P(A∩B) = P(A) × P(B) = 0.2
احتمال که A یا B یا هر دو رخ دهد: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0.7
احتمال که A یا B رخ دهد ولی نه هر دو: P(AΔB) = P(A) + P(B) - 2P(A∩B) = 0.5
احتمال که نه A و نه B رخ ندهد: P((A∪B)') = 1 - P(A∪B) = 0.3
احتمال رخ دادن A ولی نه B: P(A) × (1 - P(B)) = 0.3
احتمال رخ دادن B ولی نه A: (1 - P(A)) × P(B) = 0.2
Probability
احتمال رخ دادن A 5 بار = 0.65 = 0.07776
احتمال A رخ ندادن = (1-0.6)5 = 0.01024
احتمال رخ دادن A = 1-(1-0.6)5 = 0.98976
احتمال رخ دادن B 3 بار = 0.33 = 0.027
احتمال B رخ ندادن = (1-0.3)3 = 0.343
احتمال رخ دادن B = 1-(1-0.3)3 = 0.657
احتمال رخ دادن A 5 بار و B 3 بار = 0.65 × 0.33 = 0.00209952
احتمال که نه A و نه B رخ ندهد = (1-0.6)5 × (1-0.3)3 = 0.00351232
احتمال رخ دادن هم A و هم B = (1-(1-0.6)5) × (1-(1-0.3)3) = 0.65027232
احتمال رخ دادن A 5 بار ولی نه B = 0.65 × (1-0.3)3 = 0.02667168
احتمال رخ دادن B 3 بار ولی نه A = (1-0.6)5 × 0.33 = 2.7648e-4
احتمال رخ دادن A ولی نه B = (1-(1-0.6)5) × (1-0.3)3 = 0.33948768
احتمال رخ دادن B ولی نه A = (1-0.6)5 × (1-(1-0.3)3) = 0.00672768
Probability
احتمال بین -1 و 1 برابر است با 0.68268
احتمال بیرون از -1 و 1 برابر است با 0.31732
احتمال -1 یا کمتر (≤-1) برابر است با 0.15866
احتمال 1 یا بیشتر (≥1) برابر است با 0.15866
| جدول فاصلههای اطمینان | ||
|---|---|---|
| اطمینان | دامنه | N |
| 0.6828 | -1.00000 – 1.00000 | 1 |
| 0.8 | -1.28155 – 1.28155 | 1.281551565545 |
| 0.9 | -1.64485 – 1.64485 | 1.644853626951 |
| 0.95 | -1.95996 – 1.95996 | 1.959963984540 |
| 0.98 | -2.32635 – 2.32635 | 2.326347874041 |
| 0.99 | -2.57583 – 2.57583 | 2.575829303549 |
| 0.995 | -2.80703 – 2.80703 | 2.807033768344 |
| 0.998 | -3.09023 – 3.09023 | 3.090232306168 |
| 0.999 | -3.29053 – 3.29053 | 3.290526731492 |
| 0.9999 | -3.89059 – 3.89059 | 3.890591886413 |
| 0.99999 | -4.41717 – 4.41717 | 4.417173413469 |
در محاسبه شما خطایی رخ داد.
فهرست مطالب
- ماشین حساب احتمال دو رویداد
- حلکننده احتمال برای دو رویداد
- احتمال یک سری رویدادهای مستقل
- احتمال توزیع نرمال
- مقدمهای بر احتمال
- قوانین عملیات رویداد
- مثال
- مکمل یک رویداد
- تقاطع رویدادها
- رویدادهای مستقل
- اتحاد رویدادها
- توزیع نرمال
- احتمال توزیع نرمال
- مثال
ماشین حساب احتمال دو رویداد
با استفاده از ماشین حساب احتمال دو رویداد، زمانی که احتمال وقوع دو رویداد مستقل را میدانید، میتوانید شانس رخ دادن همزمان آنها را به راحتی محاسبه کنید. کافی است احتمال هر رویداد را به عنوان مقادیر a و b در این ابزار وارد کنید. سپس، ماشین حساب به صورت خودکار مقادیر مربوط به اجتماع (اتحاد)، اشتراک (تقاطع) و سایر احتمالات مرتبط این دو رویداد مستقل را همراه با نمودارهای ون (Venn Diagrams) به شما نمایش میدهد.
حلکننده احتمال برای دو رویداد
اگر مقادیر ورودی را در اختیار دارید، میتوانید از این ماشین حساب حلکننده احتمال برای یافتن شانس وقوع حالتهای مختلف دو رویداد مستقل استفاده کنید. این ابزار آنلاین بهویژه زمانی کاربرد دارد که یک یا هر دو مقدار احتمال را به صورت مستقیم در دست ندارید و نیاز به محاسبه دقیق دارید. ماشین حساب نتایج نهایی را همراه با مراحل گامبهگام محاسبه به شما ارائه میدهد تا درک کاملی از روند حل مسئله داشته باشید.
احتمال یک سری رویدادهای مستقل
برای محاسبه شانس وقوع آزمایشهایی که شامل چند رویداد مستقل هستند (رویدادهایی که یکی پس از دیگری رخ میدهند)، میتوانید از ماشین حساب احتمال توالی رویدادهای مستقل استفاده کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که تعداد دفعات تکرار یا وقوع رویداد را در ماشین حساب تنظیم کنید تا نتیجه دقیق را دریافت نمایید.
احتمال توزیع نرمال
ماشین حساب احتمال توزیع نرمال ابزاری بسیار کاربردی برای تعیین احتمالات در زیر یک منحنی نرمال (زنگولهای) است. برای استفاده از این ابزار، کافی است مقادیر میانگین μ، انحراف معیار σ و مرزها (کرانها) را وارد کنید. این ماشین حساب، احتمال قرارگیری در محدوده تعیینشده و همچنین فواصل اطمینان را برای محدودهای از سطوح اطمینان مختلف محاسبه و تولید میکند.
مقدمهای بر احتمال
احتمال در واقع بیانگر شانس یا میزان وقوع یک رویداد خاص است. اگر وقوع رویدادی قطعی باشد، احتمال آن برابر با ۱ خواهد بود و اگر رویدادی هرگز رخ ندهد، احتمال آن ۰ است. بنابراین، مقدار احتمال برای هر رویداد همواره عددی بین ۰ و ۱ متغیر است. استفاده از یک ماشین حساب احتمال پیشرفته، فرآیند محاسبه این مقادیر را برای رویدادهای مختلف بسیار ساده و سریع میکند.
قوانین عملیات رویداد
در نظریه احتمالات، به هر دستهبندی از نتایج یک آزمایش، یک «رویداد» یا «پیشامد» گفته میشود. یک رویداد میتواند هر زیرمجموعهای از فضای نمونه (Sample Space) باشد. مفاهیمی مانند متمم (مکمل)، اشتراک (تقاطع) و اجتماع (اتحاد) به عنوان قوانین اصلی عملیات روی رویدادها شناخته میشوند. در ادامه، هر یک از این قوانین را با استفاده از یک مثال ملموس بررسی میکنیم.
مثال
فرض کنید دانشگاه شما از دانشکدههای مختلفی از جمله «دانشکده کسبوکار» تشکیل شده است و دانشجویان بینالمللی نیز در آن مشغول به تحصیل هستند. شما به عنوان بخشی از پروژه درسی خود، باید مصاحبههایی را با دانشجویان دانشکده انجام دهید. تصمیم میگیرید کار را با اولین دانشجویی که از دروازه وارد میشود آغاز کنید. شما از احتمالات زیر آگاه هستید. فرض کنیم:
A = اولین دانشجو متعلق به دانشکده کسبوکار باشد.
B = اولین دانشجو یک دانشجوی بینالمللی باشد.
P(A) = 0.6
P(B) = 0.3
مکمل یک رویداد
متمم (یا مکمل) یک رویداد، شامل تمامی نتایج موجود در فضای نمونه است که جزو آن رویداد خاص محسوب نمیشوند.
به عنوان مثال، مکمل رویداد A به این معناست که اولین دانشجو از دانشکدهای غیر از دانشکده کسبوکار باشد. این مفهوم با نمادهای \$A\prime\$ یا Aᶜ نشان داده میشود.
بیایید مکمل رویداد A را در یک نمودار ون مشاهده کنیم.
در نمودار ون بالا، ناحیه رنگی نشاندهنده مکمل رویداد A است.
مساحت کل مستطیل، برابر با احتمال کل فضای نمونه است که دقیقاً معادل عدد یک (۱) است. فضای خارج از دایره A، احتمال وقوع مکمل رویداد A را نشان میدهد. نمودار ون رابطه ریاضی زیر را برای ما اثبات میکند:
$$P\left(A\right)+P\left(A^\prime\right)=1$$
بنابراین،
$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)$$
اکنون بیایید احتمالات زیر را پیدا کنیم.
احتمال اینکه اولین دانشجوی انتخابی برای مصاحبه، از دانشکده کسبوکار نباشد:
$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)=1-0.6=0.4$$
احتمال اینکه اولین دانشجوی انتخابی، یک دانشجوی بینالمللی نباشد:
$$P\left(B^\prime\right)=1-P\left(B\right)=1-0.3=0.7$$
تقاطع رویدادها
اشتراک (یا تقاطع) دو رویداد A و B، شامل تمامی پیشامدهای مشترک در هر دو رویداد است. در ریاضیات، کلمه "و" (AND) اغلب برای نشان دادن تقاطع دو مجموعه به کار میرود.
تقاطع رویداد A و رویداد B در مثال بالا، به این معناست که دانشجوی انتخابی یک دانشجوی بینالمللی باشد و همزمان در دانشکده کسبوکار تحصیل کند. این مفهوم به شکل زیر نمایش داده میشود:
$$A\cap B$$
بیایید تقاطع رویدادهای A و B را در نمودار ون بررسی کنیم.
در نمودار ون بالا، ناحیه رنگی نشاندهنده تقاطع (اشتراک) رویدادهای A و B است.
حال فرض کنید رویداد انتخاب یک دانشجوی بومی (محلی) برای مصاحبه را با C نشان دهیم. اکنون رویدادهای A و C را در یک نمودار ون رسم میکنیم.
انتخاب فردی که همزمان هم دانشجوی بینالمللی و هم دانشجوی بومی باشد، غیرممکن است. فرض کنید اولین دانشجویی که انتخاب میکنید یک دانشجوی بینالمللی است؛ وقوع این رویداد، احتمال بومی بودن دانشجو را کاملاً حذف میکند. بنابراین، رویدادهای A و C رویدادهای متقابلاً انحصاری (ناسازگار) هستند.
رویدادهای متقابلاً انحصاری هیچ عنصر مشترکی با یکدیگر ندارند. در نتیجه، تقاطع دو رویداد متقابلاً انحصاری، مجموعهای تهی است.
$$A\cap C=φ$$
احتمال تقاطع رویدادها را میتوان با روشهای مختلفی محاسبه کرد. برای رویدادهای A و B فرمولها به شرح زیر هستند.
$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)$$
$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B/A)$$
$$P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A/B)$$
رویدادهای مستقل
رویدادهای مستقل به رویدادهایی گفته میشود که وقوع یکی بر دیگری هیچ تأثیری نداشته باشد. در مثال ما، انتخاب یک دانشجو از دانشکده کسبوکار، هیچ تأثیری بر بینالمللی بودن یا نبودن او ندارد. بنابراین، میتوانیم بگوییم که رویداد A و رویداد B دو رویداد کاملاً مستقل هستند.
زمانی که پیشامدها مستقل باشند، احتمال وقوع هر یک از آنها به احتمال دیگری بستگی ندارد. بنابراین،
$$P(B/A)=B\ and\ P(A/B)=A$$
شما میتوانید از این ویژگی برای سادهسازی فرمولهای قبلی استفاده کرده و احتمال تقاطع دو رویداد را به دست آورید.
$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(\mathrm{B/A}\right)P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$
$$P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)× P\left(\mathrm{A/B}\right)P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A)$$
بنابراین، برای یافتن تقاطع دو رویداد مستقل، کافی است احتمال وقوع آن دو رویداد را در یکدیگر ضرب کنید.
$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=P(B)× P(A)$$
با توجه به اینکه رویدادهای A و B مستقل هستند، بیایید احتمال اینکه اولین دانشجوی انتخابی هم از دانشکده کسبوکار و هم یک دانشجوی بینالمللی باشد را محاسبه کنیم.
$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=0.6× 0.3=0.18$$
اتحاد رویدادها
اجتماع (یا اتحاد) دو رویداد، رویداد جدیدی را تشکیل میدهد که شامل تمامی عناصر موجود در یکی از رویدادها یا هر دوی آنهاست. کلمه "یا" (OR) معمولاً برای توصیف اتحاد دو رویداد به کار میرود.
در مثال اول ما، اتحاد رویدادهای A و B به این معناست که دانشجوی انتخابی، یک دانشجوی بینالمللی باشد یا دانشجویی از دانشکده کسبوکار. این مفهوم به صورت زیر نمایش داده میشود.
$$A\cup B$$
بیایید اتحاد رویدادهای A و B را در یک نمودار ون نشان دهیم.
ناحیه رنگی در نمودار ون بالا، نشاندهنده اتحاد (اجتماع) رویدادهای A و B است.
برای محاسبه احتمال وقوع رویداد A یا رویداد B، باید احتمال هر دو رویداد را با هم جمع کرده و سپس احتمال تقاطع آنها را از حاصلجمع کم کنیم.
احتمال اتحاد رویدادهای A و B با فرمول زیر نوشته میشود.
$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$$
ما میتوانیم فرمول بالا را بسط دهیم تا در مواقعی که دو رویداد مستقل هستند اما احتمال تقاطع آنها نامشخص است، بتوانیم احتمال اتحادشان را محاسبه کنیم.
اگر رویدادها مستقل باشند،
$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$
بنابراین،
$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A)× P(B)$$
حال بیایید محاسبه کنیم شانس ترکیب رویدادهای A و B چقدر است؛ یعنی با چه احتمالی دانشجویی را انتخاب میکنیم که یا در رشته کسبوکار تحصیل میکند، یا یک دانشجوی بینالمللی است، و یا هر دو ویژگی را همزمان دارد؟
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0.6+0.3-0.18=0.72$$
به لطف ماشین حساب احتمال دو رویداد یا حلکننده احتمال برای دو رویداد، شما میتوانید تمامی محاسبات پیچیده بالا را به سرعت انجام دهید. همچنین اگر میخواهید درستی محاسبات دستی خود را بررسی کنید، این ابزار با نمایش گامبهگام مراحل محاسبه احتمال، به عنوان یک راهنمای آموزشی عالی عمل میکند.
توزیع نرمال
توزیع نرمال (Normal Distribution) یک توزیع متقارن و زنگولهایشکل است. در یک توزیع نرمال ایدهآل، مقادیر میانگین، میانه و مُد (نما) کاملاً با یکدیگر برابرند. در این توزیع، ۵۰٪ از دادهها بالاتر از میانگین و ۵۰٪ دیگر پایینتر از میانگین قرار میگیرند. منحنی توزیع نرمال از نقطه میانگین در هر دو جهت امتداد مییابد اما هرگز محور X را قطع نمیکند (به آن نمیرسد). مجموع مساحت زیر این منحنی همیشه برابر با ۱ است.
اگر متغیر تصادفی X دارای توزیع نرمال با پارامترهای μ و σ2 باشد، آن را به صورت X ~ N(μ, σ²) مینویسیم.
احتمال توزیع نرمال
تابع چگالی احتمال برای توزیع نرمال به صورت زیر تعریف میشود:
$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}}× e^\frac{-{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}$$
در این تابع ریاضی:
- μ نشاندهنده میانگین توزیع است؛
- σ² نمایانگر واریانس توزیع است؛
- π مقدار ثابت (تقریباً ۳.۱۴) است؛
- e عدد اویلر (تقریباً ۲.۷۱۸۲) است.
از آنجا که بینهایت منحنی نرمال مختلف وجود دارد، امکان ایجاد یک جدول احتمال برای تکتک ترکیبهای میانگین و انحراف معیار وجود ندارد. به همین دلیل، از مفهوم توزیع نرمال استاندارد استفاده میشود. توزیع نرمالی که میانگین آن صفر (۰) و انحراف معیار آن یک (۱) باشد، توزیع نرمال استاندارد نامیده میشود.
برای محاسبه احتمال در یک توزیع نرمال، ابتدا باید مقادیر توزیع واقعی را با استفاده از امتیاز Z (Z-score) به توزیع نرمال استاندارد تبدیل کنیم و سپس از جدول Z برای یافتن احتمال نهایی کمک بگیریم. ماشین حساب احتمال نرمال دقیقاً به عنوان یک ماشین حساب توزیع نرمال استاندارد عمل کرده و احتمالات گوناگون را برای سطوح اطمینان مختلف به سرعت محاسبه میکند.
$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$
منحنی توزیع نرمال استاندارد میتواند برای حل طیف وسیعی از مسائل در دنیای واقعی مورد استفاده قرار گیرد. برای تعیین احتمال وقوع متغیرهای پیوسته، از این توزیع استفاده میشود. متغیر پیوسته به متغیری گفته میشود که میتواند هر مقداری (حتی اعداد اعشاری دقیق) را به خود اختصاص دهد. قد، وزن و دما چند نمونه بارز از متغیرهای پیوسته هستند.
بیایید با استفاده از مثال زیر، نحوه محاسبه احتمال توزیع نرمال را یاد بگیریم.
مثال
فرض کنید نمرات درس آمار کلاس شما از یک توزیع نرمال پیروی میکند که در آن میانگین نمرات ۶۵ و انحراف معیار آنها ۱۰ است. اگر یک دانشجو به صورت کاملاً تصادفی انتخاب شود، احتمال وقوع هر یک از سناریوهای زیر را تعیین کنید:
- نمره دانشجو برابر یا بیشتر از ۷۰ باشد،
- نمره دانشجو کمتر از ۷۰ باشد،
- نمره دانشجو بین ۵۰ تا ۷۰ باشد.
راهحل
$$P\left(X≥70\right)=P\left(Z≥\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z≥0.5\right)=1-0.6915=0.3085$$
$$P\left(X<70\right)=P\left(Z<\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z<0.5\right)=0.6915$$
$$P\left(50<X<70\right)=P\left(\frac{50-65}{10}<Z<\frac{70-65}{10}\right)=P\left(1.5>Z>0.5\right)=0.4332+0.1915=0.6247$$
محاسبه دستی احتمال در یک منحنی نرمال فرآیندی زمانبر است که شامل چندین مرحله ریاضی و مراجعه مداوم به جداول Z میشود. در مقابل، ماشین حساب احتمال توزیع نرمال به شما کمک میکند تا تنها با وارد کردن چهار مقدار عددی، پاسخ دقیق را در لحظه دریافت کنید. برای استفاده از ماشین حساب توزیع نرمال، فقط کافی است میانگین، انحراف معیار و مرزهای کران چپ و راست را در فیلدهای مربوطه وارد نمایید.