Calculadora de Probabilidade

Calculadora de Probabilidade de Dois Eventos

Quando você sabe a probabilidade de dois eventos independentes, você pode usar a Calculadora de Probabilidade de Dois Eventos para determinar se eles ocorrem juntos. Você tem que inserir as probabilidades de dois eventos independentes como a probabilidade de a e b na calculadora. Então a calculadora mostrará a união, interseção e outras probabilidades relacionadas de dois eventos independentes juntamente com os diagramas de Venn.

Solucionador de Probabilidades para Dois Eventos

Você pode calcular a probabilidade de diferentes eventos de dois eventos independentes se você souber quaisquer dois valores de entrada da Calculadora de Probabilidade para Dois Eventos. Isto é importante quando você não tem uma ou ambas as probabilidades de dois eventos. Os resultados mostrarão a resposta com as etapas de cálculo.

Probabilidade de Uma Série de Eventos Independentes

Você pode usar a Probabilidade de uma série de Calculadora de Eventos Independentes para determinar a probabilidade de quando cada experimento contém dois eventos independentes que acontecem um após o outro. Nesta calculadora, você deve definir o número de vezes que o evento ocorre.

Probabilidade de uma Distribuição Normal

A calculadora de probabilidade de distribuição normal é útil ao determinar a probabilidade de uma curva normal. Você deve inserir a média μ, o desvio padrão σ e os limites. A calculadora de probabilidade normal gerará a probabilidade dos limites definidos e os intervalos de confiança para uma faixa de níveis de confiança.

Introdução à Probabilidade

Probabilidade é a chance de que um evento aconteça. Quando um evento vai acontecer inquestionavelmente, sua probabilidade é 1. Quando um evento não vai acontecer, sua probabilidade é 0. Como resultado, a probabilidade de um determinado evento é sempre entre 0 e 1. A calculadora de probabilidade torna o cálculo das probabilidades para vários eventos incrivelmente simples.

Regras de operações de eventos

Qualquer agrupamento dos resultados de um experimento é referido como um evento. É um evento que pode ser qualquer subconjunto do espaço da amostra. O complemento, a intersecção e a união podem ser identificados como regras de operações do evento. Vamos aprender cada uma destas regras usando o exemplo abaixo.

Exemplo

Sua faculdade tem vários cursos, incluindo o de administração de empresas. Os estudantes internacionais também estão matriculados nesta faculdade. Você deve realizar entrevistas com seus estudantes universitários como parte de seu projeto. Você escolhe começar com o primeiro aluno que passa pelo portão. Você está ciente das seguintes probabilidades. Digamos,

A = O primeiro aluno é da Faculdade de Administração.

B = O primeiro estudante é um estudante internacional.

P(A) = 0,6

P(B) = 0,3

Complementar um evento

O complemento de um evento é o conjunto de todos os resultados em um espaço de amostra que não estão incluídos nesse evento.

Por exemplo, o complemento do evento A significa que o primeiro aluno é de algum outro lugar que não seja o de administração. Isto pode ser denotado por \$A\prime\$ ou Aᶜ.

Vamos mostrar o complemento do evento A em um diagrama de Venn.

No diagrama de Venn acima, a área colorida representa o complemento do evento A.

A área total do retângulo representa a probabilidade geral do espaço da amostra. É precisamente um. O espaço fora do círculo A mostra a probabilidade do complemento do evento A. O diagrama de Venn nos permite estabelecer a seguinte relação:

$$P\left(A\right)+P\left(A^\prime\right)=1$$

Portanto,

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)$$

Vamos encontrar as seguintes probabilidades.

A probabilidade do primeiro aluno que você está selecionando para a entrevista não ser de administração de negócios:

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)=1-0,6=0,4$$

A probabilidade do primeiro estudante que você selecionar para a entrevista não ser um estudante internacional:

$$P\left(B^\prime\right)=1-P\left(B\right)=1-0,3=0,7$$

Intersecção de eventos

A intersecção de dois eventos A e B é a lista de todos os elementos comuns em ambos os eventos A e B. A palavra "AND" é comumente usada para indicar a interseção de dois conjuntos.

A intersecção do evento A com o evento B no exemplo 1 significa selecionar um estudante internacional, e o estudante é de administração. Isto pode ser indicado da seguinte forma:

$$A\cap B$$

Vamos mostrar a interseção de eventos A e B em um diagrama de Venn.

No diagrama de Venn acima, a área colorida representa a interseção dos eventos A e B.

Digamos que o evento de seleção de um estudante local para a entrevista é C. Agora, vamos mostrar os eventos A e C em um diagrama de Venn.

A seleção de um estudante internacional e de um estudante local não pode ser feita simultaneamente. Suponha que o primeiro aluno que você escolher seja um aluno internacional. Nesse caso, exclui o caso de o primeiro estudante ser um estudante local. Portanto, os eventos A e C são eventos mutuamente exclusivos.

Os eventos mutuamente exclusivos não têm nenhum elemento em comum entre eles. Portanto, a interseção de dois eventos mutuamente exclusivos é vazia.

$$A\cap C=φ$$

A probabilidade de interseção de eventos pode ser calculada com diferentes métodos. Os eventos A e B podem ser escritos da seguinte forma.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B/A)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A/B)$$

Eventos Independentes

Eventos independentes são eventos que não influenciam uns aos outros. Em nosso exemplo, a seleção de um estudante de administração de negócios não afeta a escolha de um estudante internacional ou não. Portanto, podemos dizer que o evento A e o evento B são dois eventos independentes.

Quando os eventos são independentes, a probabilidade de qualquer um deles acontecer não depende do outro. Portanto,

$$P(B/A)=B\ e\ P(A/B)=A$$

Você pode usar estas fórmulas para modificar a fórmula que aprendemos anteriormente para determinar a probabilidade de dois eventos de interseção.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(\mathrm{B/A}\right)P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)× P\left(\mathrm{A/B}\right)P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A)$$

Portanto, você pode encontrar a interseção dos dois independentes, multiplicando a probabilidade desses dois eventos.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=P(B)× P(A)$$

Dado que os eventos A e B são independentes, vamos determinar a probabilidade de que o primeiro aluno que você selecionar para a entrevista seja do curso de administração e seja um aluno internacional.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=0,6× 0,3=0,18$$

União de eventos

A união de dois eventos produz outro evento que contém todos os elementos de um ou de ambos os eventos. A palavra "OR" é tipicamente usada para descrever a união de dois eventos.

No Exemplo 1, a união de eventos A e B significa selecionar um estudante internacional ou um estudante de administração de negócios. Isto pode ser indicado da seguinte forma.

$$A\cup B$$

Vamos mostrar a união de eventos A e B em um diagrama de Venn.

A área colorida do diagrama de Venn acima representa a união de eventos A e B.

Para calcular a probabilidade do evento A ou evento B, devemos adicionar as probabilidades de ambos os eventos e subtrair a probabilidade da interseção.

A probabilidade de uma união de eventos A e B pode ser escrita da seguinte forma.

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$$

Podemos modificar a fórmula acima e criar uma nova fórmula para encontrar a probabilidade da união de dois eventos independentes quando a probabilidade da interseção de dois eventos é desconhecida e os dois eventos são independentes.

Se os eventos forem independentes,

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

Logo,

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A)× P(B)$$

Vamos calcular qual seria a probabilidade de combinar eventos A e B, ou seja, com que probabilidade escolheríamos um estudante que é um estudante de negócios, um estudante internacional ou ambos ao mesmo tempo?

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,6+0,3-0,18=0,72$$

Graças à Calculadora de Probabilidade de Dois Eventos ou ao Solucionador de Probabilidade para Dois Eventos, você pode completar todos os cálculos acima rapidamente. Você pode usar o Solucionador de Probabilidade para Dois Eventos mesmo que queira verificar suas etapas de cálculo de probabilidade, pois ele também exibe as etapas para o cálculo.

Distribuição normal

A distribuição normal é simétrica e tem a forma de um sino. Uma distribuição normal tem uma média, mediana e modo idênticos, assim como 50% dos dados acima da média e 50% abaixo da média. A curva de distribuição normal se afasta da média em ambas as direções, mas nunca toca o eixo X. A área total sob a curva é 1.

Se a variável aleatória X tem uma distribuição normal com parâmetros μ e σ2, nós escrevemos X ~ N(μ, σ²).

Probabilidade de distribuição normal

A função de densidade de probabilidade de uma distribuição normal está descrita abaixo:

$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}}× e^\frac{-{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}$$

Nesta função:

• μ é a média da distribuição;
• σ² é a variância da distribuição;
• π é 3,14;
• e é 2,7182.

É impossível fornecer uma tabela de probabilidade para cada combinação de média e desvio padrão porque há um número infinito de curvas normais diferentes. A distribuição normal padrão é utilizada como resultado. A distribuição normal com uma média 0 e um desvio padrão de 1 é chamada de distribuição normal padrão.

Para calcular a probabilidade de uma distribuição normal, devemos primeiro transformar a distribuição real em uma distribuição normal padrão usando o escore padrão e depois usar a tabela z para calcular a probabilidade. A calculadora de probabilidade normal funciona como uma calculadora de probabilidade padrão, oferecendo probabilidades para múltiplos níveis de confiança.

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$

A curva de distribuição normal pode ser usada para resolver uma variedade de problemas do mundo real. Para determinar a probabilidade de variáveis contínuas, é utilizada a distribuição normal. Uma variável contínua é uma variável que pode assumir qualquer número de valores, mesmo um decimal. Alguns exemplos de variáveis contínuas são altura, peso e temperatura.

Vamos aprender como encontrar a probabilidade de uma distribuição normal usando o exemplo abaixo.

Exemplo

Os resultados dos cursos estatísticos de seu lote são normalmente distribuídos, com uma média de 65 e um desvio padrão de 10. Determine a probabilidade dos seguintes cenários se um aluno for selecionado aleatoriamente:

• a pontuação do aluno é igual ou superior a 70,
• a pontuação do estudante é inferior a 70,
• a pontuação do estudante está entre 50 e 70.

Solução

$$P\left(X≥70\right)=P\left(Z≥\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z≥0,5\right)=1-0,6915=0,3085$$

$$P\left(X<70\right)=P\left(Z<\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z<0,5\right)=0,6915$$

$$P\left(50>X>70\right)=P\left(\frac{50-65}{10}>Z>\frac{70-65}{10}\right)=P\left(1,5>Z>0,5\right)=0,4332+0,1915=0,6247$$

A computação da probabilidade de uma curva normal envolve numerosas etapas e requer o uso de tabelas z. Por outro lado, a calculadora de probabilidade de distribuição normal ajuda a calcular a probabilidade simplesmente inserindo quatro números na calculadora. Para usar a calculadora de distribuição normal, você só precisa inserir a média, o desvio padrão e os limites esquerdo e direito.