Calculatrice de probabilité

Calculatrice de probabilité pour deux événements

Lorsque vous connaissez la probabilité de deux événements indépendants, notre calculatrice de probabilité pour deux événements vous permet de déterminer facilement la probabilité qu'ils se produisent simultanément. Il vous suffit de saisir les probabilités respectives de ces deux événements (probabilité de A et probabilité de B). L'outil calculera et affichera alors la réunion, l'intersection, ainsi que d'autres probabilités connexes, le tout illustré par des diagrammes de Venn clairs et précis.

Outil de recherche de probabilités pour deux événements

Si vous connaissez l'une des valeurs requises par notre outil de recherche de probabilités, vous pouvez déduire la probabilité de plusieurs scénarios impliquant deux événements. Cette fonctionnalité est particulièrement utile lorsqu'il vous manque la probabilité de l'un des deux événements, ou même des deux. De plus, pour une compréhension optimale, les résultats finaux sont générés avec toutes les étapes de calcul détaillées.

Probabilité d'une suite d'événements indépendants

Vous pouvez utiliser la calculatrice de probabilité pour une suite d'événements afin de déterminer la probabilité d'une expérience aléatoire dans laquelle deux événements indépendants se succèdent. Dans ce calculateur, il vous suffira simplement d'indiquer le nombre de répétitions de l'événement.

Probabilité d'une loi normale

La calculatrice de probabilité de distribution normale (ou loi normale) est l'outil idéal pour déterminer la surface sous une courbe de Gauss. Vous devez y insérer la moyenne μ, l'écart-type σ ainsi que les limites souhaitées. L'outil génèrera ensuite la probabilité correspondant aux limites définies, ainsi que les intervalles de confiance pour diverses plages de niveaux de confiance.

Introduction aux probabilités

La probabilité mesure les chances qu'un événement aléatoire se produise. Lorsqu'un événement est certain de se réaliser, sa probabilité est de 1. À l'inverse, lorsqu'un événement est impossible, sa probabilité est de 0. Par conséquent, la probabilité d'un événement donné se situe toujours entre 0 et 1. Grâce à notre calculatrice dédiée, l'évaluation des probabilités pour divers événements devient incroyablement simple et intuitive.

Règles et opérations sur les événements

En statistiques, on appelle « événement » tout ensemble de résultats issus d'une expérience aléatoire. Un événement correspond ainsi à un sous-ensemble de l'univers des possibles. Les notions de complémentaire, d'intersection et de réunion (ou union) constituent les règles fondamentales régissant les opérations sur ces événements. Nous allons détailler le fonctionnement de ces règles à travers l'exemple ci-dessous.

Exemple concret

Votre université compte plusieurs facultés, dont une école de commerce. De nombreux étudiants internationaux y sont inscrits. Dans le cadre d'un projet de recherche, vous devez mener des entretiens avec les étudiants du campus. Vous décidez d'interroger le premier étudiant qui franchit la porte. Supposons que vous connaissiez les probabilités suivantes :

A = le premier étudiant appartient à l'école de commerce.

B = le premier étudiant est un étudiant international.

P(A) = 0,6

P(B) = 0,3

Complémentaire d'un événement

Le complémentaire d'un événement désigne l'ensemble de tous les résultats possibles de l'univers qui ne sont pas inclus dans cet événement précis.

Par exemple, le complémentaire de l'événement A signifie que le premier étudiant sélectionné ne provient pas de l'école de commerce. On le note généralement \$A\prime\$ ou Aᶜ.

Voici la représentation du complémentaire de l'événement A à l'aide d'un diagramme de Venn :

Dans le diagramme de Venn ci-dessus, la zone colorée illustre le complémentaire de l'événement A.

La surface totale du rectangle représente la probabilité globale de l'univers des possibles, qui est exactement égale à un. L'espace situé à l'extérieur du cercle A illustre la probabilité du complémentaire de l'événement A. Ce diagramme nous permet d'établir la relation mathématique suivante :

$$P\left(A\right)+P\left(A^\prime\right)=1$$

Par conséquent :

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)$$

Calculons maintenant les probabilités suivantes.

La probabilité que le premier étudiant sélectionné pour votre entretien ne provienne pas de l'école de commerce :

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)=1-0,6=0,4$$

La probabilité que le premier étudiant sélectionné ne soit pas un étudiant international :

$$P\left(B^\prime\right)=1-P\left(B\right)=1-0,3=0,7$$

Intersection d'événements

L'intersection de deux événements A et B correspond à l'ensemble de tous les éléments communs à ces deux événements. Le mot conjonctif « ET » est couramment utilisé pour exprimer cette intersection.

Dans notre exemple, l'intersection de l'événement A et de l'événement B signifie que l'étudiant sélectionné est à la fois un étudiant international ET un élève de l'école de commerce. On note cela mathématiquement :

$$A\cap B$$

Visualisons l'intersection des événements A et B sur un diagramme de Venn :

Dans ce diagramme de Venn, la zone colorée centrale représente l'intersection des événements A et B.

Imaginons maintenant que sélectionner un étudiant national (local) pour l'entretien corresponde à l'événement C. Représentons les événements A et C :

Il est impossible de sélectionner une personne qui soit simultanément un étudiant international et un étudiant national. Si le premier étudiant que vous choisissez est international, cela exclut d'office l'événement selon lequel ce même étudiant serait national. Les événements A et C sont donc des événements incompatibles (ou mutuellement exclusifs).

Des événements incompatibles ne partagent aucun élément en commun. Par conséquent, l'intersection de deux événements incompatibles forme un ensemble vide :

$$A\cap C=φ$$

Il existe plusieurs formules pour calculer la probabilité de l'intersection de deux événements A et B :

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B/A)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A/B)$$

Événements indépendants

Les événements indépendants sont des événements qui n'exercent aucune influence les uns sur les autres. Dans notre exemple, le fait de sélectionner un étudiant de l'école de commerce n'impacte pas la probabilité que cet étudiant soit international ou non. L'événement A et l'événement B sont donc strictement indépendants.

Lorsque deux événements sont indépendants, la probabilité que le second se produise n'est pas modifiée par la réalisation du premier. Ainsi :

$$P(B/A)=B\ et\ P(A/B)=A$$

Vous pouvez utiliser ces principes pour adapter les formules vues précédemment, afin de déterminer la probabilité de l'intersection de deux événements indépendants :

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(\mathrm{B/A}\right)P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)× P\left(\mathrm{A/B}\right)P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A)$$

Par conséquent, pour trouver l'intersection de deux événements indépendants, il suffit de multiplier leurs probabilités respectives :

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=P(B)× P(A)$$

Puisque les événements A et B sont indépendants, calculons la probabilité que le premier étudiant sélectionné provienne de l'école de commerce ET soit un étudiant international :

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=0,6× 0,3=0,18$$

Réunion d'événements

La réunion (ou l'union) de deux événements génère un nouvel événement qui regroupe tous les éléments appartenant à l'un, à l'autre, ou aux deux événements simultanément. On utilise le mot « OU » pour décrire la réunion de deux ensembles.

Dans notre scénario, la réunion des événements A et B signifie sélectionner un étudiant international OU un étudiant de l'école de commerce (ou les deux). Sa notation est la suivante :

$$A\cup B$$

Voici la représentation de la réunion des événements A et B :

Sur le diagramme ci-dessus, la grande zone colorée illustre la réunion des événements A et B.

Pour calculer la probabilité de l'événement A ou de l'événement B, nous devons additionner les probabilités individuelles des deux événements, puis soustraire la probabilité de leur intersection pour éviter de la compter en double :

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$$

Nous pouvons adapter cette équation pour créer une formule spécifique à la réunion de deux événements indépendants, particulièrement utile si l'on ne connaît pas d'emblée la probabilité de leur intersection :

Si les événements sont indépendants :

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

Alors la formule de la réunion devient :

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A)× P(B)$$

Calculons maintenant la probabilité de la réunion des événements A et B : quelle est la probabilité de choisir un étudiant en commerce, un étudiant international, ou un étudiant qui possède ces deux statuts ?

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,6+0,3-0,18=0,72$$

Grâce à notre calculatrice de probabilité pour deux événements, vous pouvez réaliser l'ensemble de ces calculs en un clin d'œil. Si vous souhaitez comprendre le raisonnement mathématique derrière le résultat, l'outil de recherche de probabilités affichera également toutes les étapes de calcul.

Loi normale (Distribution normale)

La distribution normale, souvent appelée loi normale, se caractérise par une courbe symétrique en forme de cloche. Dans une distribution normale parfaite, la moyenne, la médiane et le mode sont tous identiques. Les données se répartissent de manière équilibrée : 50 % au-dessus de la moyenne et 50 % en dessous. La courbe s'étale des deux côtés de la moyenne vers l'infini, sans jamais toucher l'axe des abscisses (l'axe des x). La surface totale située sous cette courbe est toujours égale à 1.

Si une variable aléatoire continue X suit une loi normale définie par les paramètres μ (moyenne) et σ² (variance), on note formellement : X ~ N(μ, σ²).

Calcul de la probabilité d'une loi normale

La fonction de densité de probabilité d'une loi normale est définie par la formule suivante :

$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}}× e^\frac{-{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}$$

Où :

• μ représente la moyenne de la distribution ;
• σ² représente la variance de la distribution ;
• π est la constante mathématique d'environ 3,14 ;
• e est la constante de base des logarithmes népériens d'environ 2,7182.

Puisqu'il existe une infinité de combinaisons possibles entre la moyenne et l'écart-type, il est impossible de fournir une table de probabilité unique pour chaque courbe normale. Pour contourner ce problème, les statisticiens s'appuient sur la loi normale centrée réduite (ou distribution normale standard). Il s'agit d'une distribution normale ayant une moyenne de 0 et un écart-type de 1.

Pour calculer une probabilité sous une courbe de Gauss classique, il faut d'abord convertir la distribution en une loi normale centrée réduite en calculant le score Z (ou cote Z). Ensuite, il suffit d'utiliser la table Z pour trouver la probabilité. Notre calculatrice de distribution normale automatise ce processus en vous fournissant les probabilités directes pour différents niveaux de confiance.

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$

La courbe de la loi normale centrée réduite permet de résoudre une multitude de problèmes statistiques réels. On l'utilise principalement pour déterminer les probabilités liées à des variables continues. Une variable continue peut prendre n'importe quelle valeur sur une échelle donnée, y compris des nombres décimaux (par exemple : la taille, le poids, ou la température).

Voyons comment appliquer ce concept pour trouver la probabilité d'une distribution normale à travers un exemple.

Exemple d'application

Les notes obtenues à l'examen de statistiques de votre promotion suivent une loi normale, avec une moyenne de 65 et un écart-type de 10. Si l'on sélectionne la copie d'un élève au hasard, déterminez la probabilité des scénarios suivants :

• la note de l'élève est supérieure ou égale à 70,
• la note de l'élève est inférieure à 70,
• la note de l'élève est comprise entre 50 et 70.

Solution :

$$P\left(X≥70\right)=P\left(Z≥\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z≥0,5\right)=1-0,6915=0,3085$$

$$P\left(X<70\right)=P\left(Z<\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z<0,5\right)=0,6915$$

$$P\left(50>X>70\right)=P\left(\frac{50-65}{10}>Z>\frac{70-65}{10}\right)=P\left(1,5>Z>0,5\right)=0,4332+0,1915=0,6247$$

Le calcul manuel des probabilités sous une courbe normale nécessite plusieurs étapes mathématiques et la lecture fastidieuse d'une table Z. En revanche, notre calculatrice de probabilité de loi normale vous offre un gain de temps considérable : il vous suffit de saisir la moyenne, l'écart-type ainsi que les limites inférieures et supérieures pour obtenir instantanément vos résultats.