Calculatrice de probabilité

Calculatrice de probabilité de deux événements

Lorsque vous connaissez la probabilité de deux événements indépendants, vous pouvez utiliser la calculatrice de probabilité de deux événements pour déterminer la façon dont ils se produisent ensemble. Dans la calculatrice, vous devez saisir les probabilités des deux événements indépendants comme la probabilité de a et de b. Ensuite, la calculatrice affichera la réunion, l'intersection et d'autres probabilités connexes de deux événements indépendants avec les diagrammes de Venn.

Trouveuse de probabilités pour deux événements

Si vous connaissez n'importe laquelle des deux valeurs à saisir dans la calculatrice trouveuse de probabilités pour deux événements, vous pouvez calculer la probabilité de plusieurs événements de deux événements indépendants. C'est important lorsque vous ne disposez pas d'une probabilité ou des deux probabilités des deux événements. La réponse sera affichée avec les étapes de calcul.

Probabilité d'une série d'événements indépendants

Vous pouvez utiliser la calculatrice de probabilité d'une série d'événements indépendants pour déterminer la probabilité lorsque chaque expérience contient deux événements indépendants se produisant l'un après l'autre. Dans cette calculatrice, vous devez définir le nombre de fois que l'événement se produit.

Probabilité d'une distribution normale

La calculatrice de probabilité d'une distribution normale est utile lorsqu'on cherche à déterminer la probabilité d'une courbe normale. Vous devez insérer la moyenne μ, l'écart-type σ et les limites. La calculatrice de probabilité normale va générer la probabilité des limites définies et des intervalles de confiance pour un domaine de niveaux de confiance.

Introduction à la probabilité

La probabilité représente la chance qu'un événement se produise. Lorsqu'un événement va incontestablement se produire, sa probabilité est de 1. Lorsqu'un événement ne va pas se produire, sa probabilité est de 0. Par conséquent, la probabilité d'un événement donné est toujours comprise entre 0 et 1. Grâce à la calculatrice de probabilité, le calcul des probabilités pour divers événements devient incroyablement simple.

Règles des opérations sur les événements

On appelle événement tout regroupement des résultats d'une expérience. C'est un événement qui peut être n'importe quel sous-ensemble de l'univers. On peut considérer que le complémentaire, l'intersection et la réunion sont des règles qui gouvernent les opérations sur les événements. Nous allons apprendre à quoi correspondent ces règles en utilisant l'exemple ci-dessous.

Exemple

Votre collège possède plusieurs facultés, y compris une faculté de commerce. Des étudiants internationaux sont également inscrits à cette fac. Dans le cadre de votre projet, vous devez mener des entretiens avec des étudiants de votre fac. Vous choisissez de commencer par le premier étudiant qui passe le pas de la porte. Vous connaissez les probabilités suivantes. Disons que,

A = le premier étudiant est de la fac de commerce.

B = le premier étudiant est un étudiant international.

P(A) = 0,6

P(B) = 0,3

Complémentaire d'un événement

Le complémentaire d'un événement est l'ensemble de tous les résultats dans un univers qui ne sont pas inclus dans cet événement.

Par exemple, le complémentaire de l'événement A signifie que le premier étudiant vient d'un autre endroit que la faculté de commerce. On peut l'indiquer par \$A\prime\$ ou Aᶜ.

Montrons le complémentaire de l'événement A dans un diagramme de Venn.

Dans le diagramme de Venn ci-dessus, la zone colorée représente le complémentaire de l'événement A.

La surface totale du rectangle représente la probabilité globale de l'univers. C'est un, précisément. L'espace se trouvant en dehors du cercle A montre la probabilité du complémentaire de l'événement A. Le diagramme de Venn nous permet d'établir la relation suivante :

$$P\left(A\right)+P\left(A^\prime\right)=1$$

Par conséquent,

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)$$

Trouvons les probabilités suivantes.

La probabilité que le premier étudiant sélectionné pour votre entretien ne provienne pas de la fac de commerce :

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)=1-0,6=0,4$$

La probabilité que le premier étudiant sélectionné pour votre entretien ne soit pas un étudiant international :

$$P\left(B^\prime\right)=1-P\left(B\right)=1-0,3=0,7$$

Intersection d'événements

L'intersection de deux événements A et B est la liste de tous les éléments communs aux deux événements A et B. Le mot « ET » est souvent utilisé pour indiquer l'intersection de deux ensembles.

Dans l'exemple 1, l'intersection de l'événement A et de l'événement B signifie qu'un étudiant international est sélectionné et que l'étudiant est de la fac de commerce. On peut noter cela comme suit :

$$A\cap B$$

Montrons l'intersection des événements A et B sur un diagramme de Venn.

Dans le diagramme de Venn ci-dessus, la zone colorée représente l'intersection des événements A et B.

Disons que sélectionner un étudiant d'ici pour l'entretien correspond à l'événement C. Maintenant, nous allons montrer les événements A et C sur un diagramme de Venn.

On ne peut pas sélectionner simultanément un étudiant international et un étudiant d'ici. Supposons que le premier étudiant que vous choisissez soit un étudiant international. Dans ce cas, cela exclut l'événement pour lequel le premier étudiant est un étudiant d'ici. Par conséquent, les événements A et C sont des événements incompatibles.

Les événements incompatibles n'ont pas d'éléments communs entre eux. Par conséquent, l'intersection de deux événements incompatibles est vide.

$$A\cap C=φ$$

Il y a plusieurs manières de calculer la probabilité de l'intersection d'événements. On peut écrire les événements A et B comme suit.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B/A)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A/B)$$

Événements indépendants

Des événements indépendants sont des événements qui ne s'influencent pas les uns les autres. Dans notre exemple, sélectionner un étudiant de la fac de commerce n'influence pas le fait qu'on choisisse ou non un étudiant international. Par conséquent, nous pouvons dire que l'événement A et l'événement B sont deux événements indépendants.

Lorsque les événements sont indépendants, la probabilité que l'un d'entre eux se produise ne dépend pas de la probabilité de l'autre. Par conséquent,

$$P(B/A)=B\ et\ P(A/B)=A$$

Vous pouvez utiliser ces formules afin de modifier la formule que nous avons vue précédemment pour déterminer la probabilité de l'intersection de deux événements.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(\mathrm{B/A}\right)P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)× P\left(\mathrm{A/B}\right)P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A)$$

Par conséquent, vous pouvez trouver l'intersection des deux événements indépendants en multipliant la probabilité de ces deux évènements.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=P(B)× P(A)$$

Étant donné que les événements A et B sont indépendants, déterminons la probabilité que le premier étudiant sélectionné pour votre entretien provienne de la fac de commerce et que ce soit un étudiant international.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=0,6× 0,3=0,18$$

Réunion d'événements

La réunion de deux événements produit un autre événement qui contient tous les éléments de l'un ou l'autre ou des deux événements. On utilise généralement le mot « OU » pour décrire la réunion de deux événements.

Dans l'exemple 1, la réunion des événements A et B signifie sélectionner un étudiant international ou un étudiant de la fac de commerce. On peut noter cela comme ci-dessous.

$$A\cup B$$

Montrons la réunion des événements A et B sur un diagramme de Venn.

Sur le diagramme de Venn ci-dessus, la zone colorée représente la réunion des évènements A et B.

Pour calculer la probabilité de l'événement A ou de l'événement B, nous devons additionner les probabilités des deux événements et soustraire la probabilité de l'intersection.

La probabilité de la réunion des événements A et B peut s'écrire comme suit.

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$$

Nous pouvons modifier la formule ci-dessus et créer une nouvelle formule pour trouver la probabilité de la réunion de deux événements indépendants lorsqu'on ne connait pas la probabilité de l'intersection de deux événements et que les deux événements sont indépendants.

Si les événements sont indépendants,

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

Par conséquent,

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A)× P(B)$$

Calculons quelle serait la probabilité de combiner les événements A et B, c'est-à-dire quelle est la probabilité de choisir un étudiant en commerce, un étudiant international, ou un étudiant qui soit les deux à la fois ?

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,6+0,3-0,18=0,72$$

Grâce à la calculatrice de probabilité de deux événements ou à la trouveuse de probabilités pour deux événements, vous pouvez effectuer rapidement tous les calculs ci-dessus. Même si vous souhaitez vérifier les étapes de votre calcul de probabilité, vous pouvez utiliser la trouveuse de probabilités pour deux événements car elle affiche également les étapes du calcul.

Distribution normale

La distribution normale est symétrique et elle a la forme d'une cloche. Une distribution normale possède une moyenne, une médiane et un mode identiques, ainsi que 50 % des données au-dessus de la moyenne et 50 % au-dessous de la moyenne. La courbe de distribution normale s'éloigne de la moyenne des deux côtés mais ne touche jamais l'axe des x. La surface totale sous la courbe est de 1.

Si la variable aléatoire X possède une distribution normale avec les paramètres μ et σ2, on écrit X ~ N(μ, σ²).

Probabilité d'une distribution normale

La fonction de densité de probabilité d'une distribution normale est illustrée ci-dessous :

$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}}× e^\frac{-{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}$$

Dans cette fonction :

• μ est la moyenne de la distribution ;
• σ² est la variance de la distribution ;
• π est égal à 3,14 ;
• e est égal à 2,7182.

Il est impossible de fournir une table de probabilité pour chaque combinaison de moyenne et d'écart-type car il existe un nombre infini de courbes normales différentes. En conséquence, on utilise la distribution normale standard. La distribution normale ayant une moyenne de 0 et un écart-type de 1 s'appelle la distribution normale standard.

Pour calculer la probabilité d'une distribution normale, nous devons d'abord transformer la distribution actuelle en une distribution normale standard en utilisant le score z, puis utiliser la table z pour calculer la probabilité. La calculatrice de probabilité normale fonctionne comme une calculatrice de probabilité normale standard en offrant des probabilités pour des niveaux de confiance différents.

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$

La courbe de distribution normale standard peut être utilisée pour résoudre une grande variété de problèmes du monde réel. Pour déterminer la probabilité de variables continues, on utilise la distribution normale. Une variable continue est une variable qui peut prendre n'importe quel nombre de valeurs, même un nombre décimal. La hauteur, le poids et la température sont quelques exemples de variables continues.

Nous allons apprendre à trouver la probabilité d'une distribution normale en utilisant l'exemple ci-dessous.

Exemple

Les résultats du cours de statistiques de votre lot sont normalement distribués, avec une moyenne de 65 et un écart-type de 10. Si on sélectionne un élève au hasard, déterminez la probabilité des cas de figure suivants :

• la note de l'élève est supérieure ou égale à 70,
• la note de l'élève est inférieure à 70,
• la note de l'élève est comprise entre 50 et 70.

Solution

$$P\left(X≥70\right)=P\left(Z≥\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z≥0,5\right)=1-0,6915=0,3085$$

$$P\left(X<70\right)=P\left(Z<\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z<0,5\right)=0,6915$$

$$P\left(50>X>70\right)=P\left(\frac{50-65}{10}>Z>\frac{70-65}{10}\right)=P\left(1,5>Z>0,5\right)=0,4332+0,1915=0,6247$$

Le calcul de la probabilité d'une courbe normale implique de nombreuses étapes et nécessite l'utilisation de tables z. D'autre part, la calculatrice de probabilité d'une distribution normale vous aide à calculer la probabilité simplement en saisissant quatre nombres dans la calculatrice. Pour utiliser la calculatrice de distribution normale, il vous suffit d'entrer la moyenne, l'écart-type et les limites de gauche et de droite.