Z分数计算器

Z 分数计算器可用于任何类型的 Z 分数相关计算。可在第一个计算器中输入原始分数 (X)、总体平均值 ( μ) 和标准偏差 (σ)，以获取 Z 分数的计算步骤和与该原始分数相关的概率。

Z 值和概率转换器可在 Z 值和概率之间进行转换，而无需参考 Z 值表。计算结果将包括该 Z 值的所有可能概率计算。使用最后一个计算器来计算两个 Z 值之间的概率。

什么是 Z分数？

Z 分数是一种统计度量，用于描述一个数据点与数据集平均值的标准差个数。Z 分数用于将单个数据点与整个数据集进行比较，并有助于将数据标准化，从而更容易进行比较和分析。

通过 Z 分数，可以确定单个数据点与整个数据集相比的 "典型 "或 "非典型 "程度。

• 检测异常值：Z 分数可以识别与其他数据明显不同的数据点。这在金融和医学研究等领域非常有用，因为异常值可以显示重要的模式或异常。
• 比较不同集合的数据：Z 分数可用来比较不同集合的数据，即使它们有不同的单位或范围。这在机器学习等领域非常有用，因为在这些领域中，需要比较不同来源的数据以建立模型。
• 规范化数据：通过将数据转换为 Z分数，我们可以将数据标准化，使其更易于比较和分析。这在数据可视化等领域非常有用，因为在这些领域，我们需要以易于理解的方式展示数据。

Z-分数计算公式

总体Z 分数

Z = 原始分数-总体平均值/总体标准差

Z = (X - μ) / σ

样本Z 分数

Z = 原始分数 - 样本平均值 / 样本标准差

Z = (X - x̄) / s

所得 Z 分数的结果分析

Z 值为正：Z 值为正意味着数据点高于数据集的平均值。换句话说，观察到的数据点高于数据集的典型值。

Z 值为负：Z 值为负意味着数据点低于数据集的平均值。换句话说，观察到的数据点低于数据集的典型值。

Z 分数：Z 值表示数据点与数据集平均值的距离。Z 值越大，观测到的数据点离平均值越远。

Z 分数和标准差

Z 分数和标准差是相关的，因为标准差是用来计算 Z 分数的。事实上，标准差是 Z 分数公式的关键组成部分。

标准差是对数据集分布的衡量。它显示了每个数据点与数据集平均值之间的距离。标准差越大，数据的离散程度就越大。

另一方面，与标准差相比，Z 值表示一个数据点与数据集平均值的距离。通过使用标准差来计算 Z 分数，可以将一个数据点与整个数据集进行比较，从而了解其异常或典型程度。

Z 分数和正态分布

正态分布是一种在许多实际现象中经常出现的分布类型。它是一条钟形曲线，表示数据在一组数据的平均值附近的分布。正态分布也被称为高斯分布，以数学家卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名。

Z 分数是一种衡量一个数据点相对于标准差与数据集平均值距离的方法。通过将每个数据点转换为 Z 分数，可以将单个数据点与整个数据集进行比较，了解其异常或典型程度。

Z 值与正态分布之间的联系在于，Z 值可用于标准化数据，使其符合正态分布。这意味着可以通过将每个数据点转换为 Z 分数，将任何数据集转换为正态分布。这一点非常有用，因为许多统计方法都假定数据是正态分布的，因此将数据转换为正态分布可以更准确地使用这些方法。

数据点比较

Z 分数可以了解相对于标准差，一个数据点离数据集的平均值的距离。

我们使用 Z 分数来比较数据点的例子适用于金融领域。例如，您投资了两个不同的股票组合，并想比较它们的表现。投资组合 A 的平均回报率为 10%，标准差为 2%；投资组合 B 的平均回报率为 8%，标准差为 3%。通过将回报率转换成 Z 分数，您可以比较每个投资组合的回报率，并确定哪个投资组合的表现更好。

使用 Z 分数比较数据点的另一个实际例子是体育。例如，您想比较两名篮球运动员 A 和 B 的表现。A 平均每场比赛得 20 分，标准差为 5 分；B 平均每场比赛得 18 分，标准差为 3 分。通过将得分转换成 Z 分数，您可以比较每名球员的表现，并确定哪名球员的表现更好。

数据标准化

数据标准化是将数据转换为标准尺度的过程，以便于比较和分析。这一点非常重要，因为数据可能具有不同的维度和尺度，而数据标准化可确保数据具有相同的尺度，使其更易于比较和分析。

通过将每个数据点转换成 Z 分数，可以将数据标准化，并将其放在同一尺度上。这是因为 Z 值总是在标准范围内，平均值为 0，标准差为 1。

使用 Z 值对数据进行标准化处理的一个实际例子与心理学领域有关。例如，您想比较两个智商测试（测试 A 和测试 B）的结果。测试 A 的平均分为 100 分，标准差为 15 分；测试 B 的平均分为 110 分，标准差为 10 分。通过将分数转换为 Z 分数，可以将分数标准化并简化为一个量表，从而便于比较和分析。

使用 Z 值对数据进行标准化处理的另一个实际例子是在教育领域。例如，您想比较两个学生（学生 A 和学生 B）的成绩。学生 A 的平均成绩为 80 分，标准差为 5 分；学生 B 的平均成绩为 90 分，标准差为 3 分。通过将成绩转换成 Z 系数，您可以将成绩标准化，使它们都处于同一尺度上，从而更容易进行比较和分析。

假设检验

假设检验是一种统计方法，用于确定是否有足够的证据来拒绝零假设，或两个变量之间不存在关系的标准假设。它在医学研究、社会科学和商业等许多领域应用广泛，因为在这些领域，根据数据做出明智的决策至关重要。

在检验假设时，可以使用 Z 系数来确定特定结果发生的概率。例如，可以测试一组人的平均体重与整个总体的平均体重是否存在差异。可以使用 Z 值来确定差异是否具有统计学意义。

使用 Z 值检验假设的一个实际例子是在医学领域。例如，要测试一种新药是否能有效减轻某种疾病的症状，可以使用 Z 值来确定服药组和对照组在症状上的差异是否具有统计学意义。

使用 Z 值检验假设的另一个实际例子是在金融领域。例如，想检验某只股票的收益是否高于市场上的平均水平，可以使用 Z 值来确定收益率的差异是否具有统计学意义。

特征缩放

特征缩放是机器学习和其他数据分析应用中的一种方法，用于确保数据集的所有特征都具有相同的尺度。这一点很重要，因为有些机器学习算法对数据的尺度很敏感，如果尺度不匹配，就会产生不准确的结果。

一种常见的特征缩放方法是 Z 值标准化，也称为归一化。在这一过程中，每个特征都要进行转换，使其平均值为 0，标准偏差为 1。特征 Z 值的计算公式如下：

Z = (X - 平均值) / 标准差

其中，X 是特征值，平均值是特征的平均值，标准差是特征的标准偏差。

使用 Z 分数来缩放特征可应用于计算机视觉领域。在处理图像数据时，通常需要对像素值进行缩放，使其在 0 到 1 的范围内。这可以通过对 Z 值进行归一化来实现，因为每个像素值都可以进行转换，使其平均值为 0，标准偏差为 1。

自然语言处理是使用 Z 分数进行特征缩放的另一个实际例子。在处理文本数据时，通常的做法是对术语频率和逆向文档频率（TF-IDF）进行缩放，使其在 0 到 1 的范围内。

预测建模

预测建模是机器学习和其他数据分析应用中的一种方法，用于根据历史数据进行预测。它包括在数据集上训练一个模型，并使用该模型对未见过的新数据进行预测。

预测建模的一个重要方面是特征选择，即从数据集选择最相关的特征用于模型。通常，与目标变量高度相关的特征更受青睐，因为它们更有可能预测目标变量。

Z 值可用来识别与目标变量高度相关的特征，因为 Z 值高的特征更有可能预测目标变量。特征 Z 值的计算公式如下：

Z = (X - 平均值) / 标准差

其中，X 是特征值，平均值是特征的平均值，标准差是特征的标准偏差。

在预测建模中使用 Z 值的一个实际例子属于金融领域。在预测股票价格时，股票过去表现的 Z 值可用于确定其未来的回报潜力。Z 值高表明股票过去的回报率远高于平均水平，可以预测未来会有更高的回报率。

在预测建模中使用 Z 值的另一个实际例子是在医疗保健领域。在预测病人预后时，Z 值可用于确定病人未来预后的潜力。Z 值高表明患者的健康状况明显差于平均值，并可能预示着未来的不良后果。

使用 Z 分数表

Z分数表又称标准正态表或单位正态表，是一种包含标准化值的表格，用于计算给定统计量低于、高于或介于标准正态分布之间的概率。

z	0	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0	0	0.00399	0.00798	0.01197	0.01595	0.01994	0.02392	0.0279	0.03188	0.03586
0.1	0.03983	0.0438	0.04776	0.05172	0.05567	0.05962	0.06356	0.06749	0.07142	0.07535
0.2	0.07926	0.08317	0.08706	0.09095	0.09483	0.09871	0.10257	0.10642	0.11026	0.11409
0.3	0.11791	0.12172	0.12552	0.1293	0.13307	0.13683	0.14058	0.14431	0.14803	0.15173
0.4	0.15542	0.1591	0.16276	0.1664	0.17003	0.17364	0.17724	0.18082	0.18439	0.18793
0.5	0.19146	0.19497	0.19847	0.20194	0.2054	0.20884	0.21226	0.21566	0.21904	0.2224
0.6	0.22575	0.22907	0.23237	0.23565	0.23891	0.24215	0.24537	0.24857	0.25175	0.2549
0.7	0.25804	0.26115	0.26424	0.2673	0.27035	0.27337	0.27637	0.27935	0.2823	0.28524
0.8	0.28814	0.29103	0.29389	0.29673	0.29955	0.30234	0.30511	0.30785	0.31057	0.31327
0.9	0.31594	0.31859	0.32121	0.32381	0.32639	0.32894	0.33147	0.33398	0.33646	0.33891
1	0.34134	0.34375	0.34614	0.34849	0.35083	0.35314	0.35543	0.35769	0.35993	0.36214
1.1	0.36433	0.3665	0.36864	0.37076	0.37286	0.37493	0.37698	0.379	0.381	0.38298
1.2	0.38493	0.38686	0.38877	0.39065	0.39251	0.39435	0.39617	0.39796	0.39973	0.40147
1.3	0.4032	0.4049	0.40658	0.40824	0.40988	0.41149	0.41308	0.41466	0.41621	0.41774
1.4	0.41924	0.42073	0.4222	0.42364	0.42507	0.42647	0.42785	0.42922	0.43056	0.43189
1.5	0.43319	0.43448	0.43574	0.43699	0.43822	0.43943	0.44062	0.44179	0.44295	0.44408
1.6	0.4452	0.4463	0.44738	0.44845	0.4495	0.45053	0.45154	0.45254	0.45352	0.45449
1.7	0.45543	0.45637	0.45728	0.45818	0.45907	0.45994	0.4608	0.46164	0.46246	0.46327
1.8	0.46407	0.46485	0.46562	0.46638	0.46712	0.46784	0.46856	0.46926	0.46995	0.47062
1.9	0.47128	0.47193	0.47257	0.4732	0.47381	0.47441	0.475	0.47558	0.47615	0.4767
2	0.47725	0.47778	0.47831	0.47882	0.47932	0.47982	0.4803	0.48077	0.48124	0.48169
2.1	0.48214	0.48257	0.483	0.48341	0.48382	0.48422	0.48461	0.485	0.48537	0.48574
2.2	0.4861	0.48645	0.48679	0.48713	0.48745	0.48778	0.48809	0.4884	0.4887	0.48899
2.3	0.48928	0.48956	0.48983	0.4901	0.49036	0.49061	0.49086	0.49111	0.49134	0.49158
2.4	0.4918	0.49202	0.49224	0.49245	0.49266	0.49286	0.49305	0.49324	0.49343	0.49361
2.5	0.49379	0.49396	0.49413	0.4943	0.49446	0.49461	0.49477	0.49492	0.49506	0.4952
2.6	0.49534	0.49547	0.4956	0.49573	0.49585	0.49598	0.49609	0.49621	0.49632	0.49643
2.7	0.49653	0.49664	0.49674	0.49683	0.49693	0.49702	0.49711	0.4972	0.49728	0.49736
2.8	0.49744	0.49752	0.4976	0.49767	0.49774	0.49781	0.49788	0.49795	0.49801	0.49807
2.9	0.49813	0.49819	0.49825	0.49831	0.49836	0.49841	0.49846	0.49851	0.49856	0.49861
3	0.49865	0.49869	0.49874	0.49878	0.49882	0.49886	0.49889	0.49893	0.49896	0.499
3.1	0.49903	0.49906	0.4991	0.49913	0.49916	0.49918	0.49921	0.49924	0.49926	0.49929
3.2	0.49931	0.49934	0.49936	0.49938	0.4994	0.49942	0.49944	0.49946	0.49948	0.4995
3.3	0.49952	0.49953	0.49955	0.49957	0.49958	0.4996	0.49961	0.49962	0.49964	0.49965
3.4	0.49966	0.49968	0.49969	0.4997	0.49971	0.49972	0.49973	0.49974	0.49975	0.49976
3.5	0.49977	0.49978	0.49978	0.49979	0.4998	0.49981	0.49981	0.49982	0.49983	0.49983
3.6	0.49984	0.49985	0.49985	0.49986	0.49986	0.49987	0.49987	0.49988	0.49988	0.49989
3.7	0.49989	0.4999	0.4999	0.4999	0.49991	0.49991	0.49992	0.49992	0.49992	0.49992
3.8	0.49993	0.49993	0.49993	0.49994	0.49994	0.49994	0.49994	0.49995	0.49995	0.49995
3.9	0.49995	0.49995	0.49996	0.49996	0.49996	0.49996	0.49996	0.49996	0.49997	0.49997
4	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49998	0.49998	0.49998	0.49998

要使用 Z分数表，需要找到与计算的Z分数相对应的行，然后找到相应的列，该列给出了标准正态曲线下的面积（概率）。由此得出的值就是标准正态分布中的随机变量小于或等于计算出的 Z分数的近似概率。

例如，如果Z分数为 1.96，可以在表中查找与 1.9 相对应的行和与0.06 相对应的列。得出的值就是 1.96 右侧标准正态曲线的面积。该值约为 0.975，这意味着标准正态分布中约有 97.5%的数据小于或等于 1.96。

需要注意的是，Z表只适用于均值为 0、标准差为 1 的标准正态分布。如果数据不属于这种分布，需要先将数据转换成标准化Z分数。

从 Z 分数中找出概率

当我们将正态分布变量转换成 Z 分数时，就可以使用 Z 分数表来计算正态曲线下的面积比例。标准正态曲线下的总面积等于 1。因此，正态曲线下的面积比例等于该 Z 值的概率。

示例 1

拳击运动员的体重呈正态分布，平均值为 75 千克，标准差为 3 千克。随机抽取的拳击手的体重为的概率是多少？

• a) 超过 78 千克？
• b) 小于 69 千克？
• c) 超过 72 千克？
• d) 小于 79.5 千克？
• e) 在 72 千克和 76.5 千克之间？
• f) 在 72 千克和 73.5 千克之间？

a) 随机抽取的拳击手体重超过 78 千克的概率是多少？

• X > 78
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X>78)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{78-75}{3}\right)=P(Z>1)$$

首先，我们将绘制一条 Z 曲线。

下面，我们将使用 Z值表查找计算出的 Z 值的相关概率。

请记住，Z 分数总是给出 Z 分数与平均值之间的概率。要得到图中突出显示区域的概率，我们需要将该概率从 0.5 减少。(曲线下的总概率为 1，而标准分布的均值同样分为两部分。因此，从均值点到两端的概率都是 0.5）。

• P (X > 78) = P (Z > 1)
• P (X > 78) = 0.5 - P(0 < Z < 1)
• P (X > 78) = 0.5 - 0.3413
• P (X > 78) = 0.1587

因此，随机抽取的拳击手体重超过 78 千克的概率为 0.1587。

b) 随机抽取的拳击手体重小于 69 千克的概率是多少？

• X < 69
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X<69)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{69-75}{3}\right)=P(Z<-2)$$

首先，我们将绘制一条 Z 曲线。

下面，我们将使用 Z值表来查找计算出的 Z 值的相关概率。

请记住，Z分数总是给出Z分数与平均值之间的概率。要得到图表中突出显示区域的概率，我们需要将该概率从 0.5 减少。

• P (X < 69) = P (Z < 69)
• P (X < 69) = 0.5 - P (0 > Z > -2)
• P (X < 69) = 0.5 - 0.4772
• P (X < 69) = 0.0228

因此，随机抽取的拳击手体重小于 69 千克的概率为 0.0228。

c) 随机抽取的一名拳击手体重介于 72 千克和 76.5 千克之间的概率是多少？

• 72 < X < 76.5
• μ = 75
• σ = 3

$$P(72 \lt X \lt 76.5)=P\left(\frac{X-μ}{σ} \lt Z \lt \frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(\frac{72-75}{3} \lt Z \lt \frac{76.5-75}{3}\right)=P(-1 \lt Z \lt 0.5)$$

首先，我们将绘制一条 Z 曲线。

下面们将使用 Z值表来查找计算出的 Z 值的相关概率。

请记住，Z 分数总是给出 Z 分数与平均值之间的概率。要获得图表中突出显示区域的概率，可以将两个 Z 分数的概率相加。

• P (72 < X < 76.5) = P (-1 < Z < 0.5)
• P (72 < X < 76.5) = 0.3413 + 0.1915
• P (72 < X < 76.5) = 0.5328

因此，随机抽取的拳击手体重介于 72 千克和 76.5 千克之间的概率为 0.5328。

在这种情况下，必须使用两个 Z 分数之间的概率计算器来快速找到答案。

查找指定概率的对应值

当我们知道分布是正态分布时，我们就可以根据 Z 值找到指定概率的对应值。

例 2

在一次考试中，考生的分数近似于正态分布，均值为 55，标准差为 10。如果前 30% 的考生通过考试，求最低通过分数。

解决方案

在这一情况下，我们首先要为给定的概率或百分比找到相应的 Z 值。

要计算 Z 值，我们实际上需要计算突出区域的概率。

从 0.50 中减去 0.30 即可得出。因此，突出显示区域的概率为 0.20。

现在，在 Z值表中，我们必须找到与 0.20 最接近的概率。对应的 Z 值为 0.524。

然后，我们使用 Z 值公式求出 X 值。

• Z = (X - μ)/σ
• 0.524 = (X - 55)/10
• X = (0.524 × 10) + 55
• X = 60.24

因此，考试的最低合格分数为 60.24 分。