प्रोबब्लिटी कैलकुलेटर

दो घटनाओं की प्रायिकता (Probability) कैलकुलेटर

जब आप दो स्वतंत्र घटनाओं (Independent Events) की प्रायिकता जानते हैं, तो आप उनके एक साथ होने की प्रायिकता निर्धारित करने के लिए हमारे 'दो घटनाओं की प्रायिकता कैलकुलेटर' (Two Events Probability Calculator) का उपयोग कर सकते हैं। इस कैलकुलेटर में, आपको बस दो स्वतंत्र घटनाओं की प्रायिकताओं को A और B के रूप में दर्ज करना होगा। इसके बाद, यह कैलकुलेटर दोनों स्वतंत्र घटनाओं के यूनियन (Union), प्रतिच्छेदन (Intersection) और अन्य संबंधित प्रायिकताओं को वेन आरेख (Venn Diagram) के साथ प्रदर्शित करेगा।

दो घटनाओं के लिए प्रोबेबिलिटी सॉल्वर (Probability Solver)

यदि आप इस प्रोबेबिलिटी सॉल्वर के किन्हीं भी दो इनपुट मानों को जानते हैं, तो आप दो स्वतंत्र घटनाओं की विभिन्न प्रायिकताओं की सटीक गणना कर सकते हैं। यह टूल तब विशेष रूप से उपयोगी होता है जब आपके पास एक या दोनों घटनाओं की प्रायिकता का मान न हो। सबसे अच्छी बात यह है कि अंतिम परिणाम में गणना के सभी चरण (Step-by-step solution) भी स्पष्ट रूप से दिखाए जाते हैं।

स्वतंत्र घटनाओं की एक श्रृंखला की प्रायिकता

आप 'स्वतंत्र घटनाओं की श्रृंखला की प्रायिकता कैलकुलेटर' का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए कर सकते हैं कि किसी प्रयोग में एक के बाद एक लगातार स्वतंत्र घटनाएं होने की क्या संभावना है। इस कैलकुलेटर में, आपको केवल यह दर्ज करना होगा कि कोई घटना कितनी बार घटित होती है।

सामान्य वितरण (Normal Distribution) की प्रायिकता

नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन प्रोबेबिलिटी कैलकुलेटर (Normal Distribution Probability Calculator) सामान्य वक्र (Normal Curve) की प्रायिकता निर्धारित करने में बहुत मददगार है। इसमें आपको बस माध्य (Mean) μ, मानक विचलन (Standard Deviation) σ, और सीमाएँ (Limits) दर्ज करनी होती हैं। यह कैलकुलेटर निर्धारित सीमाओं के भीतर की प्रायिकता और विभिन्न कॉन्फिडेंस लेवल (Confidence Levels) के लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल (Confidence Interval) तुरंत उत्पन्न कर देगा।

प्रायिकता (Probability) का परिचय

प्रायिकता का अर्थ है किसी घटना के घटित होने की संभावना। जब यह निश्चित हो कि कोई घटना घटेगी ही, तो उसकी प्रायिकता 1 होती है। वहीं, जब किसी घटना के होने की कोई संभावना नहीं होती, तो उसकी प्रायिकता 0 होती है। इसलिए, किसी भी घटना की प्रायिकता हमेशा 0 और 1 के बीच ही रहती है। हमारा प्रोबेबिलिटी कैलकुलेटर (Probability Calculator) विभिन्न घटनाओं की प्रायिकता की गणना को अविश्वसनीय रूप से सरल और सटीक बना देता है।

घटनाओं के संचालन के नियम (Rules of Event Operations)

एक 'घटना' (Event) किसी प्रयोग के परिणामों का एक समूह होती है। यह सैंपल स्पेस (Sample Space) के किसी भी उपसमुच्चय (Subset) में घटित हो सकती है। पूरक (Complement), प्रतिच्छेदन (Intersection) और यूनियन (Union) - ये घटनाओं के संचालन के प्रमुख नियम हैं। आइए नीचे दिए गए उदाहरण की मदद से इनमें से प्रत्येक नियम को विस्तार से समझें।

उदाहरण

मान लीजिए कि आपके कॉलेज में बिजनेस फैकल्टी (Business Faculty) सहित कई अन्य संकाय हैं, और यहाँ अंतरराष्ट्रीय छात्र (International Students) भी पढ़ते हैं। अपने प्रोजेक्ट के हिस्से के रूप में, आपको कॉलेज के छात्रों का इंटरव्यू लेना है। आप गेट से प्रवेश करने वाले पहले छात्र से शुरुआत करने का निर्णय लेते हैं। आपको निम्नलिखित प्रायिकताएं ज्ञात हैं:

A = पहला छात्र बिजनेस फैकल्टी से है।

B = पहला छात्र एक अंतरराष्ट्रीय छात्र है।

P (A) = 0.6

P (B) = 0.3

किसी घटना का पूरक (Complement of an Event)

किसी घटना का पूरक (Complement), सैंपल स्पेस के उन सभी परिणामों का समूह होता है, जो उस विशिष्ट घटना में शामिल नहीं होते हैं।

उदाहरण के लिए, घटना A के पूरक का अर्थ यह होगा कि चुना गया पहला छात्र बिजनेस फैकल्टी का नहीं है (वह किसी अन्य फैकल्टी से है)। इसे \$A\prime\$ या Aᶜ द्वारा दर्शाया जाता है।

आइए वेन आरेख (Venn Diagram) के माध्यम से घटना A के पूरक को समझें:

ऊपर दिए गए वेन आरेख में, रंगीन क्षेत्र घटना A के पूरक को दर्शाता है।

आयत (Rectangle) का कुल क्षेत्रफल सैंपल स्पेस की कुल प्रायिकता का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि ठीक 1 होती है। वृत्त A के बाहर का क्षेत्र, घटना A के पूरक की प्रायिकता को दर्शाता है। इस वेन आरेख से हम निम्नलिखित संबंध स्थापित कर सकते हैं:

$$P\left(A\right)+P\left(A^\prime\right)=1$$

इसलिए,

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)$$

आइए इसके आधार पर निम्नलिखित प्रायिकताएं ज्ञात करें:

इंटरव्यू के लिए चुने गए पहले छात्र के बिजनेस फैकल्टी से न होने की प्रायिकता:

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)=1-0.6=0.4$$

इंटरव्यू के लिए चुने गए पहले छात्र के अंतरराष्ट्रीय छात्र न होने की प्रायिकता:

$$P\left(B^\prime\right)=1-P\left(B\right)=1-0.3=0.7$$

घटनाओं का प्रतिच्छेदन (Intersection of Events)

दो घटनाओं A और B का प्रतिच्छेदन (Intersection) उन सभी सामान्य (Common) तत्वों का समूह है जो A और B दोनों में मौजूद हैं। दो समुच्चयों (Sets) के प्रतिच्छेदन को दर्शाने के लिए अक्सर "और" (And) शब्द का उपयोग किया जाता है।

हमारे पिछले उदाहरण में, घटना A और घटना B के प्रतिच्छेदन का अर्थ होगा: एक ऐसे छात्र का चयन करना जो अंतरराष्ट्रीय छात्र भी हो "और" बिजनेस फैकल्टी से भी हो। इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है:

$$A\cap B$$

आइए वेन आरेख में घटनाओं A और B के प्रतिच्छेदन को देखें:

ऊपर दिए गए वेन आरेख में, रंगीन क्षेत्र घटनाओं A और B के प्रतिच्छेदन को दर्शाता है।

मान लीजिए कि इंटरव्यू के लिए किसी स्थानीय छात्र (Local Student) को चुनने की घटना C है। अब, हम वेन आरेख में घटना A और C को एक साथ दिखाएंगे।

किसी एक ही छात्र का अंतरराष्ट्रीय छात्र और स्थानीय छात्र होना एक साथ संभव नहीं है। मान लीजिए कि आपके द्वारा चुना गया पहला छात्र एक अंतरराष्ट्रीय छात्र है, तो वह स्थानीय छात्र नहीं हो सकता। इसलिए, घटनाएँ A और C परस्पर अपवर्जी (Mutually Exclusive) घटनाएँ हैं।

परस्पर अपवर्जी (Mutually Exclusive) घटनाओं के बीच कोई भी तत्व सामान्य (Common) नहीं होता है। इसलिए, दो परस्पर अपवर्जी घटनाओं का प्रतिच्छेदन हमेशा रिक्त (Empty) होता है।

$$A\cap C=φ$$

घटनाओं के प्रतिच्छेदन की प्रायिकता की गणना विभिन्न तरीकों से की जा सकती है। घटनाओं A और B के लिए इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B/A)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A/B)$$

स्वतंत्र घटनाएँ (Independent Events)

स्वतंत्र घटनाएँ वे होती हैं जो एक-दूसरे को प्रभावित नहीं करती हैं। हमारे उदाहरण में, किसी छात्र का बिजनेस फैकल्टी से होना, उसके अंतरराष्ट्रीय छात्र होने या न होने की प्रायिकता को प्रभावित नहीं करता है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि घटना A और घटना B दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं।

जब घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं, तो उनमें से किसी एक के घटित होने की प्रायिकता, दूसरी घटना के घटित होने पर निर्भर नहीं करती है। इसलिए:

$$P(B/A)=B \ and \ P(A/B)=A$$

आप इन मानों का उपयोग उस सूत्र को संशोधित करने में कर सकते हैं, जिसे हमने पहले दो घटनाओं के प्रतिच्छेदन की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए सीखा था:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(\mathrm{B/A}\right)P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)× P\left(\mathrm{A/B}\right)P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A)$$

इसलिए, आप केवल दोनों घटनाओं की प्रायिकता को आपस में गुणा करके दो स्वतंत्र घटनाओं (Independent Events) का प्रतिच्छेदन ज्ञात कर सकते हैं:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=P(B)× P(A)$$

चूँकि घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं, आइए यह प्रायिकता ज्ञात करें कि इंटरव्यू के लिए चुना गया पहला छात्र बिजनेस फैकल्टी से होगा 'और' वह एक अंतरराष्ट्रीय छात्र भी होगा:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=0.6× 0.3=0.18$$

घटनाओं का यूनियन (Union of Events)

दो घटनाओं का यूनियन (Union) एक ऐसी नई घटना बनाता है, जिसमें पहली, दूसरी, या दोनों घटनाओं के सभी तत्व शामिल होते हैं। दो घटनाओं के यूनियन को दर्शाने के लिए आमतौर पर "या" (Or) शब्द का प्रयोग किया जाता है।

हमारे उदाहरण में, घटनाओं A और B के यूनियन का अर्थ है: एक ऐसे छात्र का चयन करना जो या तो अंतरराष्ट्रीय छात्र हो "या" बिजनेस फैकल्टी से हो। इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है:

$$A\cup B$$

आइए वेन आरेख में घटनाओं A और B का यूनियन देखें:

ऊपर दिया गया वेन आरेख का रंगीन क्षेत्र घटनाओं A और B के यूनियन को दर्शाता है।

घटना A 'या' घटना B की प्रायिकता की गणना करने के लिए, हमें दोनों घटनाओं की प्रायिकताओं को जोड़ना होगा और उनके प्रतिच्छेदन (Intersection) की प्रायिकता को उसमें से घटाना होगा।

घटनाओं A और B के यूनियन की प्रायिकता को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$$

जब दो घटनाओं के प्रतिच्छेदन की प्रायिकता अज्ञात हो और दोनों घटनाएँ स्वतंत्र हों, तो हम ऊपर दिए गए सूत्र को संशोधित करके दो स्वतंत्र घटनाओं के यूनियन की प्रायिकता ज्ञात करने का एक नया सूत्र बना सकते हैं।

यदि घटनाएँ स्वतंत्र हैं:

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

इसलिए,

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A)× P(B)$$

आइए गणना करें कि घटनाओं A और B के यूनियन की प्रायिकता क्या होगी; अर्थात, इसकी क्या संभावना है कि हम जिस छात्र को चुनेंगे वह बिजनेस का छात्र हो, एक अंतरराष्ट्रीय छात्र हो, या एक ही समय में दोनों हो?

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0.6+0.3-0.18=0.72$$

हमारे 'दो घटनाओं की प्रायिकता कैलकुलेटर' (Two Events Probability Calculator) या 'प्रोबेबिलिटी सॉल्वर' की मदद से आप ऊपर दी गई सभी गणनाओं को बहुत तेजी से पूरा कर सकते हैं। यदि आप अपनी मैन्युअल गणनाओं को जाँचना चाहते हैं, तब भी आप इस सॉल्वर का उपयोग कर सकते हैं, क्योंकि यह अंतिम उत्तर के साथ-साथ गणना के सभी चरण (Step-by-step solutions) भी स्पष्ट रूप से दिखाता है।

सामान्य वितरण (Normal Distribution)

सामान्य वितरण (Normal Distribution) सममित (Symmetrical) होता है और इसका आकार घंटी (Bell-shaped) जैसा होता है। एक सामान्य वितरण में माध्य (Mean), माध्यिका (Median) और बहुलक (Mode) समान होते हैं। इसमें 50% डेटा माध्य से ऊपर और 50% डेटा माध्य से नीचे होता है। सामान्य वितरण वक्र (Curve) दोनों दिशाओं में माध्य से दूर जाता है लेकिन यह कभी भी X-अक्ष (X-axis) को नहीं छूता है। इस वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल 1 होता है।

यदि किसी यादृच्छिक चर (Random Variable) X का सामान्य वितरण पैरामीटर μ और σ² के साथ है, तो हम इसे X ~ N(μ, σ²) के रूप में लिखते हैं।

सामान्य वितरण की प्रायिकता

एक सामान्य वितरण का प्रायिकता घनत्व फलन (Probability Density Function) नीचे दर्शाया गया है:

$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}}× e^\frac{-{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}$$

इस सूत्र (Function) में:

• μ वितरण का माध्य (Mean) है;
• σ² वितरण का प्रसरण (Variance) है;
• π का मान लगभग 3.14 है;
• e का मान लगभग 2.7182 है।

माध्य (Mean) और मानक विचलन (Standard Deviation) के हर संभव संयोजन के लिए एक प्रायिकता तालिका (Probability Table) प्रदान करना असंभव है क्योंकि सामान्य वक्रों की संख्या अनंत हो सकती है। इसी वजह से 'मानक सामान्य वितरण' (Standard Normal Distribution) का उपयोग किया जाता है। 0 के माध्य और 1 के मानक विचलन वाले सामान्य वितरण को मानक सामान्य वितरण कहा जाता है।

किसी सामान्य वितरण की प्रायिकता की गणना करने के लिए, हमें पहले वास्तविक वितरण को z-स्कोर (z-score) का उपयोग करके एक मानक सामान्य वितरण में बदलना होता है, और फिर प्रायिकता की गणना के लिए z-तालिका (z-table) का उपयोग करना होता है। हमारा 'नॉर्मल प्रोबेबिलिटी कैलकुलेटर' (Normal Probability Calculator) विभिन्न कॉन्फिडेंस लेवल के लिए तुरंत प्रायिकताएं प्रदान करके एक 'स्टैंडर्ड नॉर्मल प्रोबेबिलिटी कैलकुलेटर' के रूप में कार्य करता है।

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$

मानक सामान्य वितरण वक्र का उपयोग वास्तविक दुनिया की विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। सतत चरों (Continuous Variables) की प्रायिकता निर्धारित करने के लिए सामान्य वितरण का उपयोग किया जाता है। सतत चर वह चर है जो किसी भी संख्यात्मक मान को ग्रहण कर सकता है, यहाँ तक कि दशमलव मान को भी। सतत चरों के कुछ सामान्य उदाहरण ऊँचाई, वजन और तापमान हैं।

आइए नीचे दिए गए उदाहरण की मदद से सामान्य वितरण की प्रायिकता ज्ञात करना सीखें:

उदाहरण

मान लीजिए कि आपके बैच के सांख्यिकी (Statistics) कोर्स के परिणाम 65 के माध्य (Mean) और 10 के मानक विचलन (Standard Deviation) के साथ सामान्य रूप से वितरित (Normally Distributed) हैं। यदि किसी छात्र को यादृच्छिक रूप से (Randomly) चुना जाता है, तो निम्नलिखित परिदृश्यों की प्रायिकता निर्धारित करें:

• छात्र का स्कोर 70 के बराबर या उससे अधिक है,
• छात्र का स्कोर 70 से कम है,
• छात्र का स्कोर 50 से 70 के बीच है।

समाधान

$$P\left(X≥70\right)=P\left(Z≥\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z≥0.5\right)=1-0.6915=0.3085$$

$$P\left(X<70\right)=P\left(Z<\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z<0.5\right)=0.6915$$

$$P\left(50>X>70\right)=P\left(\frac{50-65}{10}>Z>\frac{70-65}{10}\right)=P\left(1.5>Z>0.5\right)=0.4332+0.1915=0.6247$$

सामान्य वक्र की प्रायिकता की मैन्युअल गणना में कई चरण शामिल होते हैं और इसके लिए z-तालिकाओं का उपयोग करना आवश्यक होता है। वहीं दूसरी ओर, हमारा 'नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन प्रोबेबिलिटी कैलकुलेटर' आपको टूल में केवल चार नंबर दर्ज करके तुरंत प्रायिकता की गणना करने में मदद करता है। इस कैलकुलेटर का उपयोग करने के लिए, आपको केवल माध्य (Mean), मानक विचलन (Standard Deviation), और बाएँ तथा दाएँ सीमाएँ (Left and Right Limits) दर्ज करनी होंगी।