Stikprøvestørrelse Beregner

Vores alsidige stikprøvestørrelse-beregner har to primære funktioner: beregning af den ideelle stikprøvestørrelse og bestemmelse af fejlmarginen for din undersøgelse.

For at beregne din krævede stikprøvestørrelse skal du starte med at vælge dit ønskede konfidensniveau fra rullemenuen. Indtast derefter den relative fejlmargin. (Bemærk: Du kan konvertere en absolut fejlmargin til en relativ ved at dividere den absolutte værdi med dit punktestimat). Hvis du kender den nøjagtige populationsandel, skal du indtaste den; ellers lad den forblive på standardværdien 50 %. Indtast den samlede populationsstørrelse i det angivne felt, hvis det kendes, eller lad det stå tomt for en ukendt eller uendelig population. Klik til sidst på "Beregn".

For at bestemme fejlmarginen ved hjælp af beregnerens anden funktion, skal du starte med at vælge dit konfidensniveau i rullemenuen. I de efterfølgende felter indtastes undersøgelsens stikprøvestørrelse og populationsandelen. Til sidst indtastes populationsstørrelsen – som efterlades tom, hvis den er ukendt – og klik på "Beregn".

Stikprøve

I statistik er en stikprøve en specifik delmængde eller del af en større population. Begrebet "population" omfatter hvert eneste element eller individ af interesse i en given undersøgelse. Selvom en undersøgelse af en hel population giver de mest præcise data, er det sjældent praktisk muligt på grund af talrige begrænsende faktorer.

Hvis du for eksempel studerer en bestemt insektart i en enorm jungle, er populationen praktisk talt uendelig, hvilket gør en fuldstændig optælling umulig. Derudover er nogle testprocedurer i deres natur destruktive. Hvis du åbner en forseglet sodavandsflaske for at måle dens nøjagtige volumen, kan netop det produkt ikke længere sendes på markedet.

At evaluere en hel population kræver betydelig tid, kapital og ressourcer. Fordi forskere typisk arbejder inden for stramme budget- og tidsrammer, er det i de fleste tilfælde urealistisk at gennemføre en fuld populationsundersøgelse. Den mest effektive løsning er at udtrække en repræsentativ stikprøve og udføre din forskning på denne mindre gruppe.

Fejlmargin

Da det sjældent er muligt at undersøge alle komponenter i en population, bruger forskere stikprøvestatistik (metrikker beregnet ud fra stikprøven) til at estimere populationsparametre (metrikker, der karakteriserer hele populationen). Disse stikprøvestatistikker repræsenterer de faktiske data observeret i din valgte stikprøve. Når du estimerer en enkelt værdi for en populationsparameter baseret på disse data, kaldes det et punktestimat.

For eksempel, hvis du ønsker at estimere den gennemsnitlige mængde i sodavandsflasker på en produktionslinje, kan du vælge et tilfældigt parti og beregne dets gennemsnitlige volumen. Lad os antage, at partiet giver et gennemsnitligt volumen (x̄) på 250 ml. Baseret på dette punktestimat antager du, at hele produktionslinjen har et gennemsnitligt volumen \$(\hat{μ})\$ på 250 ml pr. flaske.

I virkeligheden stemmer en estimeret parameter sjældent perfekt overens med den faktiske populationsparameter. Denne uoverensstemmelse opstår naturligt, fordi beregningen er baseret på en stikprøve frem for den fuldstændige population.

Fejlmarginen kvantificerer denne usikkerhed. Den defineres som den maksimale forventede forskel mellem en parameters punktestimat og dens sande populationsværdi, og kaldes nogle gange for estimatets maksimale fejl.

Konfidensinterval

Et konfidensinterval repræsenterer det acceptable interval, inden for hvilket en populationsparameter forventes at falde. Dette estimerede interval indikerer, at en parameter er blevet beregnet inden for en specifik fejlmargin. For at beregne den nedre grænse af et konfidensinterval, trækker du fejlmarginen fra dit punktestimat. Modsat, for at finde den øvre grænse, lægger du fejlmarginen til punktestimatet.

Sammenhængen mellem Stikprøve i Statistik, Fejlmargin og Konfidensinterval

I stedet for at undersøge en hel population, studerer forskere en stikprøve for at foretage velbegrundede estimater af populationsparametre. På grund af denne stikprøvetilgang eksisterer der en naturlig varians mellem den estimerede parameter og den sande populationsparameter. Fejlmarginen tager højde for dette ved at definere den maksimale forventede forskel mellem punktestimatet og den faktiske værdi.

Det er afgørende at forstå, at der er et omvendt forhold mellem stikprøvestørrelse og fejlmargin. En større stikprøvestørrelse giver en mere præcis repræsentation af den bredere population, hvilket effektivt reducerer fejlmarginen. Omvendt vil brugen af en mindre stikprøvestørrelse øge fejlmarginen.

I sidste ende vil anvendelsen af denne fejlmargin på dit indledende punktestimat give undersøgelsens konfidensinterval.

Formel til beregning af Stikprøvestørrelse

Afhængigt af de tilgængelige data kan der anvendes flere formler til at beregne den passende stikprøvestørrelse.

Dit ønskede konfidensniveau dikterer graden af nøjagtighed, mens den acceptable fejlmargin bestemmer præcisionen af dit intervalestimat.

Hvis populationens standardafvigelse er kendt, kan du beregne den minimumsstikprøvestørrelse, der kræves for at opnå dit mål for konfidensintervallet ved hjælp af følgende formel:

$$n=\left(\frac{z_{\alpha/2}×\sigma}{E}\right)^2$$

Det endelige resultat n skal rundes op til det nærmeste hele tal.

Alternativt giver Cochrans formel dig mulighed for at bestemme den minimale stikprøvestørrelse baseret på din acceptable fejlmargin, målet for konfidensniveauet og den estimerede andel af attributten i populationen. Cochrans formel udtrykkes som:

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}$$

• z = Z-score fra z-tabellen svarende til dit ønskede konfidensniveau
• p = Den forventede andel af attributten, der er til stede i populationen
• E = Fejlmargin

Eksempel 1

Forestil dig, at vi forsker i internationale studerende indskrevet på bacheloruddannelser i hele Canada. I begyndelsen mangler vi konkrete data, så vi opstiller en hypotese om, at internationale studerende udgør 60 % af alle canadiske bachelorstuderende. Følgelig er den estimerede populationsandel 60 %. Hvis vi ønsker et konfidensniveau på 95 % og en fejlmargin på 4 %, hvad er så den minimale stikprøvestørrelse, der kræves for denne undersøgelse?

$$(1-\alpha)=95\%$$

$$z_{α/2}=z_{{95\%}/2}=1.96$$

$$p=60\%$$

$$E=4\%$$

$$n₀=\frac{z²p(1-p)}{E²}=\frac{1.96²×60\%×(1-60\%)}{4\%²}=576.24≈577$$

Derfor skal der undersøges et minimum på 577 studerende for at opnå et konfidensniveau på 95 % med en fejlmargin på 4 %.

Cochrans formel er ideel til store eller uendelige populationer. Men hvis din populationsstørrelse er lille eller begrænset (endelig), skal du justere stikprøvestørrelsen. Korrektionsformlen for en endelig population er:

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}$$

• n₀ = Den indledende stikprøvestørrelse beregnet ved hjælp af Cochrans formel
• N = Samlet populationsstørrelse
• n = Justeret stikprøvestørrelse for en endelig population

Eksempel 2

Antag nu, at vi undersøger internationale studerende indskrevet på bacheloruddannelser på netop dit college i Canada. I lighed med det foregående eksempel antager vi, at internationale studerende udgør 60 % af de studerende. Den estimerede andel er fortsat 60 %. Det samlede antal studerende på dit college er imidlertid nøjagtigt 12.000. For et konfidensniveau på 95 % og en fejlmargin på 4 %, hvad er den mindste nødvendige stikprøvestørrelse?

I dette scenarie, fordi populationen er endelig, skal du først beregne n₀ ved hjælp af Cochrans formel og derefter anvende justeringen.

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{{E}^2}=\frac{1.96^2×{60\%}×(1-{60\%})}{{4\%}^2}=576.24$$

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}=\frac{576.24}{1+\left(\frac{576.24-1}{12.000}\right)}=549.88\approx550$$

Ved at bruge vores dedikerede beregner til minimum stikprøvestørrelse kan du springe disse komplekse manuelle beregninger over og få præcise resultater på et splitsekund.

Formel til Beregning af Fejlmargin

Du kan matematisk omarrangere standardformlen for stikprøvestørrelse for at isolere og beregne fejlmarginen.

Med udgangspunkt i formlen for minimum stikprøvestørrelse:

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

Vi kan isolere E (fejlmarginen) i ligningen:

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

$${n₀}×{E}^2=z^2p\left(1-p\right)$$

$$E^2=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}$$

$$E=\sqrt{\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

Eksempel 3

For at vende tilbage til vores landsdækkende forskning i internationale bachelorstuderende i Canada fortsætter vi med den antagelse, at de repræsenterer 60 % af den samlede population af bachelorstuderende. Hvis du undersøger en stikprøve på 577 studerende og sigter mod et konfidensniveau på 95 %, hvad er så den nøjagtige fejlmargin for din undersøgelse?

$$z_{{95\%}/2}=1.96$$

$$p=60\%$$

$$n₀=577$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n_0}}=1.96 \times \sqrt{\frac{60\% \times \left(1-60\%\right)}{577}}=4\%$$

Hvis du arbejder med en endelig population, skal du først bestemme den justerede n₀ ved hjælp af følgende formel:

$$n₀=\frac{n-nN}{n-N}$$

Når du har den værdi, indsætter du den i hovedformlen for fejlmargin:

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

Ved at bruge funktionen til fejlmargin, der er indbygget i vores stikprøveberegner, kan du springe disse kedelige manuelle trin over og øjeblikkeligt finde din undersøgelses fejlmargin.

Formel til beregning af konfidensintervallet

Det er ligetil at beregne et konfidensinterval, når du har fastlagt din fejlmargin. Du kan beregne konfidensintervallet ved hjælp af de grundlæggende formler nedenfor:

Konfidensinterval = Punktestimat ± Fejlmargin

Øvre grænse for konfidensintervallet = Punktestimat + Fejlmargin

Nedre grænse for konfidensintervallet = Punktestimat - Fejlmargin

For populationsgennemsnittet (μ) udtrykkes konfidensintervallet som:

x̄ - E < μ < x̄ + E

Her repræsenterer x̄ - E den nedre grænse, mens x̄ + E repræsenterer den øvre grænse.

Tilsvarende skrives konfidensintervallet for populationsandelen (P) som:

p - E < P < p + E

Eksempel 4

Antag, at du undersøger de gennemsnitlige programomkostninger for internationale studerende i Canada. Du udvælger en tilfældig stikprøve på 1.000 studerende. Baseret på dine undersøgelsesdata estimerer du den gennemsnitlige programomkostning til at være 20.000 CAD, med en beregnet fejlmargin på 5.000 CAD. Hvordan finder du konfidensintervallet for disse gennemsnitlige programomkostninger?

Øvre grænse = x̄ + E = 20.000 CAD + 5.000 CAD = 25.000 CAD

Nedre grænse = x̄ - E = 20.000 CAD - 5.000 CAD = 15.000 CAD

Derfor er det samlede konfidensinterval:

x̄ - E < μ < x̄ + E

15.000 CAD < μ < 25.000 CAD