Калькулятор размера выборки

Наш онлайн-калькулятор размера выборки состоит из двух удобных инструментов. Первый помогает рассчитать оптимальный объем выборки для вашего исследования, а второй — определить предел погрешности (маржу ошибки).

Чтобы вычислить размер выборки, для начала выберите нужный доверительный уровень (уровень надежности) из выпадающего списка. Затем укажите допустимую погрешность. Обратите внимание: предел погрешности можно перевести из абсолютных значений в относительные (проценты), разделив абсолютное значение на точечную оценку.

Если вам известна ожидаемая доля признака в генеральной совокупности, введите ее. В противном случае оставьте значение по умолчанию — 50%. В последнем поле укажите общую численность генеральной совокупности (населения), если она вам известна. Если нет, просто оставьте это поле пустым. После этого нажмите кнопку «Рассчитать».

Второй инструмент калькулятора позволяет быстро узнать предел погрешности готового исследования. Сначала выберите уровень доверия из выпадающего меню. Во втором поле укажите фактический размер вашей выборки. Затем введите долю признака в популяции. В последнюю ячейку впишите общий размер генеральной совокупности (или оставьте ее пустой, если данные неизвестны). И наконец, нажмите кнопку «Рассчитать».

Выборка

Выборка — это репрезентативная часть генеральной совокупности. Под генеральной совокупностью (или популяцией) понимаются абсолютно все элементы, представляющие интерес для конкретного исследования. Безусловно, изучение каждого элемента популяции — идеальный способ получить 100% точные данные. Однако на практике полный охват часто невозможен или нецелесообразен. Например, если вы изучаете определенный вид насекомых в джунглях, их популяция практически безгранична, и исследовать каждую особь физически невозможно. Кроме того, в ходе некоторых испытаний объекты исследования могут повреждаться или уничтожаться.

Например, если в рамках контроля качества вы вскрываете бутылку газировки для проверки ее состава, вы уже не сможете вернуть этот товар на прилавок.

Обследование всей генеральной совокупности требует колоссальных затрат времени, денег и человеческих ресурсов. Как правило, исследования проводятся в условиях жестких ограничений, поэтому анализ всей популяции чаще всего лишен смысла. Рациональное решение в такой ситуации — грамотно рассчитать репрезентативную выборку и провести исследование на ее основе.

Предел погрешности

Поскольку мы редко можем изучить популяцию целиком, для оценки ее параметров используются выборочные статистики (показатели, рассчитанные на основе выборки). Выборочная статистика опирается на фактические данные, полученные в ходе измерений или наблюдений за выборкой. Использование одного конкретного значения для оценки параметра генеральной совокупности называется точечной оценкой.

Например, если нужно оценить средний объем напитка в бутылках на производственной линии, вы можете взять случайную партию и вычислить ее средний объем. Допустим, средний объем в этой партии (x̄) равен 250 мл. На основе этого вы делаете оценку, что средний объем каждой бутылки на линии \$(\hat{μ})\$ составляет 250 мл.

На практике реальный параметр и его выборочная оценка редко совпадают идеально. Эта разница возникает именно потому, что расчет производится по выборке, а не по всей генеральной совокупности.

Предел погрешности (маржа ошибки) — это максимально вероятная разница между точечной оценкой параметра и его истинным значением в популяции. Эту величину также часто называют максимальной ошибкой оценки.

Доверительный интервал

Доверительный интервал представляет собой диапазон значений, в котором с определенной вероятностью находится истинный параметр генеральной совокупности. Он показывает, что параметр был оценен в пределах конкретной погрешности. Чтобы найти нижнюю границу доверительного интервала, нужно вычесть предел погрешности из точечной оценки. Для определения верхней границы предел погрешности прибавляется к точечной оценке.

Взаимосвязь между выборкой, пределом погрешности и доверительным интервалом

Вместо того чтобы анализировать всю генеральную совокупность, мы изучаем лишь ее часть — выборку. И уже на основе полученных данных строим выводы обо всей популяции. Естественно, между выборочной оценкой и фактическим значением параметра может быть расхождение. Предел погрешности отражает максимально допустимую величину этого расхождения. Между размером выборки и пределом погрешности существует обратная зависимость. Увеличение объема выборки дает более точное представление о популяции, что закономерно снижает предел погрешности. И наоборот: уменьшение размера выборки увеличивает вероятность ошибки и ширину предела погрешности.

Если применить предел погрешности к точечной оценке, мы получим доверительный интервал.

Формула для расчета размера выборки

Существуют различные формулы для расчета объема выборки — выбор зависит от исходных данных, которыми вы располагаете.

Доверительный уровень задает желаемую степень уверенности в результате, а предел погрешности определяет точность, которой мы хотим достичь при оценке диапазона.

Если нам известно стандартное отклонение генеральной совокупности, мы можем рассчитать минимальный размер выборки для достижения нужного доверительного интервала по следующей формуле:

$$n=\left(\frac{z_{\alpha/2}×\sigma}{E}\right)^2$$

Полученный результат n следует округлить в большую сторону до ближайшего целого числа.

Формула Кохрана позволяет определить минимальный размер выборки на основе допустимой погрешности, необходимого уровня доверия и ожидаемой доли признака в популяции. Формула Кохрана имеет вид:

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}$$

• z = Z-значение из таблицы нормального распределения для выбранного доверительного уровня
• p = ожидаемая доля признака в генеральной совокупности
• E = предел погрешности (маржа ошибки)

Пример 1

Предположим, мы проводим исследование среди иностранных студентов, обучающихся на бакалавриате в Канаде. На начальном этапе у нас мало данных, поэтому мы допускаем, что иностранные студенты составляют 60% от общего числа бакалавров. Таким образом, ожидаемая доля признака (p) в популяции равна 60%. Мы хотим обеспечить уровень доверия 95% при погрешности в 4%. Сколько студентов должно войти в минимальную выборку для такого исследования?

$$(1-\alpha)=95\%$$

$$z_{α/2}=z_{{95\%}/2}=1,96$$

$$p=60\%$$

$$E=4\%$$

$$n₀=\frac{z²p(1-p)}{E²}=\frac{1,96²×60\%×(1-60\%)}{4\%²}=576,24≈577$$

Следовательно, для обеспечения 95% уровня доверия с 4% погрешностью в исследование необходимо включить минимум 577 студентов.

Формула Кохрана используется в случаях, когда генеральная совокупность велика или бесконечна. Если размер популяции конечен и относительно мал, требуется корректировка размера выборки по следующей формуле:

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}$$

• n₀ = исходный размер выборки, рассчитанный по формуле Кохрана
• N = размер генеральной совокупности (популяции)
• n = скорректированный размер выборки для конечной совокупности

Пример 2

Допустим, вы изучаете иностранных студентов-бакалавров только в том канадском колледже, где учитесь сами. Вначале данных немного, поэтому вы предполагаете, что доля иностранных студентов составляет 60% от всех старшекурсников. Таким образом, ожидаемая доля признака в генеральной совокупности составляет 60%. Общее количество студентов в вашем колледже — 12 000 человек. Цель — получить уровень доверия 95% с погрешностью 4%. Какой минимальный размер выборки потребуется?

В этом случае сначала вычисляется n₀ по формуле Кохрана, а затем вносится поправка на конечность популяции:

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{{E}^2}=\frac{1,96^2×{60\%}×(1-{60\%})}{{4\%}^2}=576,24$$

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}=\frac{576,24}{1+\left(\frac{576,24-1}{12.000}\right)}=549,88\approx550$$

Используя наш онлайн-калькулятор минимального размера выборки, вы можете выполнить эти сложные вычисления за доли секунды.

Формула для расчета предела погрешности

Формулу размера выборки можно преобразовать, чтобы вывести формулу для расчета предела погрешности.

Исходная формула минимальной выборки выглядит так:

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

Выразим через нее предел погрешности (E):

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

$${n₀}×{E}^2=z^2p\left(1-p\right)$$

$$E^2=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}$$

$$E=\sqrt{\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

Пример 3

Вернемся к исследованию иностранных студентов в Канаде. Ожидаемая доля признака в популяции (иностранных студентов) составляет 60%. Допустим, мы хотим обеспечить доверительный уровень 95% и уже отобрали для опроса 577 студентов. Какова будет погрешность такого исследования?

$$z_{{95\%}/2}=1,96$$

$$p=60\%$$

$$n₀=577$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n_0}}=1.96 \times \sqrt{\frac{60\% \times \left(1-60\%\right)}{577}}=4\%$$

Если популяция конечна, нужно сначала найти n₀ с помощью следующей формулы:

$$n₀=\frac{n-nN}{n-N}$$

Затем подставьте полученное значение в основную формулу для определения предела погрешности:

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

Второй инструмент нашего калькулятора избавит вас от необходимости делать эти вычисления вручную — вы сможете рассчитать предел погрешности моментально.

Формула для расчета доверительного интервала

Рассчитать доверительный интервал очень просто, если вам известен предел погрешности. Для этого используются следующие базовые формулы:

Доверительный интервал = Точечная оценка ± Предел погрешности

Верхняя граница доверительного интервала = Точечная оценка + Предел погрешности

Нижняя граница доверительного интервала = Точечная оценка - Предел погрешности

Доверительный интервал для выборочного среднего значения (μ) выражается как:

x̄ - E < μ < x̄ + E

где x̄ - E — нижняя граница, а x̄ + E — верхняя граница.

Доверительный интервал для пропорции (P) имеет вид:

p - E < P < p + E

Пример 4

Вы исследуете среднюю стоимость программ обучения для иностранных студентов в Канаде. Вы сформировали выборку из 1 000 студентов. Опираясь на нее, вы подсчитали, что средняя стоимость обучения составляет 20 000 канадских долларов (CAD), а погрешность равна 5 000 CAD. Необходимо найти доверительный интервал для средней стоимости обучения.

Верхняя граница = x̄ + E = CAD 20.000 + CAD 5.000 = CAD 25.000

Нижняя граница = x̄ - E = CAD 20.000 - CAD 5.000 = CAD 15.000

Таким образом, доверительный интервал выглядит так:

x̄ - E < μ < x̄ + E

CAD 15.000 < μ < CAD 25.000