Kalkulator for utvalgsstørrelse

Vår allsidige kalkulator for utvalgsstørrelse har to hovedfunksjoner: å beregne den ideelle utvalgsstørrelsen og å bestemme feilmarginen for studien din.

For å beregne nødvendig utvalgsstørrelse, begynn med å velge ønsket konfidensnivå fra rullegardinmenyen. Skriv deretter inn den relative feilmarginen. (Merk: Du kan konvertere en absolutt feilmargin til en relativ ved å dele absoluttverdien på punktestimatet ditt). Hvis du kjenner den eksakte populasjonsandelen, skriver du den inn; ellers lar du den stå på standardverdien som er 50 %. Skriv inn den totale populasjonsstørrelsen i det angitte feltet hvis den er kjent, eller la feltet stå tomt for en ukjent eller uendelig populasjon. Klikk til slutt på "Beregn".

For å bestemme feilmarginen ved hjelp av kalkulatorens andre funksjon, start med å velge konfidensnivå fra rullegardinmenyen. I de påfølgende feltene oppgir du studiens utvalgsstørrelse og populasjonsandelen. Til slutt oppgir du populasjonsstørrelsen – la den stå tom hvis den er ukjent – og klikker på "Beregn".

Utvalg

I statistikk er et utvalg et spesifikt delsett eller en del av en større populasjon. Begrepet "populasjon" omfatter hvert eneste element eller individ av interesse i en gitt studie. Selv om en undersøkelse av en hel populasjon gir de mest nøyaktige dataene, er dette sjelden praktisk gjennomførbart på grunn av en rekke begrensende faktorer.

For eksempel, hvis du studerer en bestemt insektart i en enorm jungel, er populasjonen i praksis uendelig, noe som gjør en fullstendig telling umulig. I tillegg er noen testprosedyrer i sin natur destruktive. Hvis du åpner en forseglet brusflaske for å måle det eksakte volumet, kan ikke det spesifikke produktet lenger sendes ut på markedet.

Å evaluere en hel populasjon krever betydelig med tid, kapital og ressurser. Siden forskere vanligvis opererer innenfor strenge budsjett- og tidsrammer, er det i de fleste tilfeller ikke gjennomførbart å gjennomføre en fullstendig populasjonstelling. Den mest effektive løsningen er å trekke ut et representativt utvalg og utføre forskningen på denne mindre gruppen.

Feilmargin

Ettersom det sjelden er mulig å undersøke hver eneste komponent i en populasjon, bruker forskere utvalgsstatistikk (måltall beregnet fra utvalget) for å estimere populasjonsparametere (måltall som karakteriserer hele populasjonen). Denne utvalgsstatistikken representerer de faktiske dataene som er observert i ditt valgte utvalg. Når du estimerer en enkelt verdi for en populasjonsparameter basert på disse dataene, kalles det et punktestimat.

Hvis du for eksempel vil estimere gjennomsnittsvolumet til brusflasker på en produksjonslinje, kan du velge et tilfeldig parti og beregne gjennomsnittsvolumet for dette. La oss anta at dette partiet gir et gjennomsnittlig volum (x̄) på 250 ml. Basert på dette punktestimatet, antar du at hele produksjonslinjen har et gjennomsnittlig volum \$(\hat{μ})\$ på 250 ml per flaske.

I virkeligheten samsvarer en estimert parameter sjelden perfekt med den faktiske populasjonsparameteren. Dette avviket oppstår naturlig fordi beregningen baserer seg på et utvalg i stedet for den komplette populasjonen.

Feilmarginen kvantifiserer denne usikkerheten. Den defineres som den maksimale forventede forskjellen mellom en parameters punktestimat og dens sanne populasjonsverdi, noen ganger referert til som den maksimale estimeringsfeilen.

Konfidensintervall

Et konfidensintervall representerer det akseptable området som en populasjonsparameter forventes å falle innenfor. Dette området av estimater indikerer at en parameter har blitt beregnet innenfor en spesifikk feilmargin. For å beregne den nedre grensen av et konfidensintervall, trekker du feilmarginen fra punktestimatet ditt. Motsatt, for å finne den øvre grensen, legger du feilmarginen til punktestimatet.

Sammenhengen mellom utvalg, feilmargin og konfidensintervall

I stedet for å undersøke en hel populasjon, studerer forskere et utvalg for å gjøre kvalifiserte estimater om populasjonsparametere. På grunn av denne utvalgsmetoden eksisterer det en naturlig varians mellom den estimerte parameteren og den sanne populasjonsparameteren. Feilmarginen tar høyde for dette ved å definere den maksimale forventede forskjellen mellom punktestimatet og den faktiske verdien.

Det er avgjørende å merke seg at det er et omvendt forhold mellom utvalgsstørrelse og feilmargin. En større utvalgsstørrelse gir en mer nøyaktig representasjon av den bredere populasjonen, noe som i praksis reduserer feilmarginen. Omvendt vil bruk av en mindre utvalgsstørrelse øke feilmarginen.

Til syvende og sist vil det å anvende denne feilmarginen på det opprinnelige punktestimatet gi studiens konfidensintervall.

Formel for å beregne utvalgsstørrelse

Avhengig av tilgjengelige data, kan flere formler brukes til å beregne riktig utvalgsstørrelse.

Ditt ønskede konfidensnivå dikterer graden av nøyaktighet, mens den akseptable feilmarginen bestemmer presisjonen til ditt intervallestimat.

Hvis populasjonens standardavvik er kjent, kan du beregne den minste utvalgsstørrelsen som kreves for å oppnå ønsket konfidensintervall ved hjelp av følgende formel:

$$n=\left(\frac{z_{\alpha/2}×\sigma}{E}\right)^2$$

Det endelige resultatet n skal rundes opp til nærmeste heltall.

Alternativt lar Cochrans formel deg bestemme minimum utvalgsstørrelse basert på din akseptable feilmargin, ønsket konfidensnivå og den estimerte andelen av egenskapen i populasjonen. Cochrans formel uttrykkes som:

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}$$

• z = Z-skår fra z-tabellen som tilsvarer ditt ønskede konfidensnivå
• p = Den forventede andelen av egenskapen som er til stede i populasjonen
• E = Feilmargin

Eksempel 1

Tenk deg at vi forsker på internasjonale studenter som tar bachelorstudier over hele Canada. I utgangspunktet mangler vi konkrete data, så vi setter opp en hypotese om at internasjonale studenter utgjør 60 % av alle bachelorstudenter i Canada. Følgelig er den estimerte populasjonsandelen 60 %. Hvis vi ønsker et konfidensnivå på 95 % og en feilmargin på 4 %, hva er den minste utvalgsstørrelsen som kreves for denne studien?

$$(1-\alpha)=95\%$$

$$z_{α/2}=z_{{95\%}/2}=1.96$$

$$p=60\%$$

$$E=4\%$$

$$n₀=\frac{z²p(1-p)}{E²}=\frac{1.96²×60\%×(1-60\%)}{4\%²}=576.24≈577$$

Derfor må minst 577 studenter undersøkes for å oppnå et konfidensnivå på 95 % med en feilmargin på 4 %.

Cochrans formel er ideell for store eller uendelige populasjoner. Hvis populasjonsstørrelsen din derimot er liten eller endelig, må du justere utvalgsstørrelsen. Formelen for korreksjon av endelig populasjon er:

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}$$

• n₀ = Den opprinnelige utvalgsstørrelsen beregnet med Cochrans formel
• N = Total populasjonsstørrelse
• n = Justert utvalgsstørrelse for en endelig populasjon

Eksempel 2

La oss nå anta at vi forsker på internasjonale studenter som tar bachelorstudier ved ditt spesifikke universitet i Canada. I likhet med det forrige eksempelet antar vi at internasjonale studenter utgjør 60 % av studentmassen. Den estimerte andelen forblir 60 %. Imidlertid er det totale antallet studenter ved ditt universitet nøyaktig 12 000. Hva er den minste nødvendige utvalgsstørrelsen for et konfidensnivå på 95 % og en feilmargin på 4 %?

I dette scenarioet, fordi populasjonen er endelig, må du først beregne n₀ ved hjelp av Cochrans formel og deretter bruke justeringen.

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{{E}^2}=\frac{1.96^2×{60\%}×(1-{60\%})}{{4\%}^2}=576.24$$

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}=\frac{576.24}{1+\left(\frac{576.24-1}{12,000}\right)}=549.88\approx550$$

Ved å bruke vår dedikerte kalkulator for minimum utvalgsstørrelse kan du omgå disse komplekse manuelle beregningene og få nøyaktige resultater på en brøkdel av et sekund.

Formel for å beregne feilmargin

Du kan matematisk omorganisere standardformelen for utvalgsstørrelse for å finne feilmarginen.

Vi starter med formelen for minimum utvalgsstørrelse:

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

Vi kan isolere E (feilmarginen) i ligningen:

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

$${n₀}×{E}^2=z^2p\left(1-p\right)$$

$$E^2=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}$$

$$E=\sqrt{\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

Eksempel 3

Vi vender tilbake til vår landsomfattende forskning på internasjonale bachelorstudenter i Canada, og fortsetter med antakelsen om at de representerer 60 % av den totale bachelorpopulasjonen. Hvis du undersøker et utvalg på 577 studenter og sikter mot et konfidensnivå på 95 %, hva er den eksakte feilmarginen for studien din?

$$z_{{95\%}/2}=1.96$$

$$p=60\%$$

$$n₀=577$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n_0}}=1.96 \times \sqrt{\frac{60\% \times \left(1-60\%\right)}{577}}=4\%$$

Hvis du jobber med en endelig populasjon, må du først bestemme den justerte n₀ ved hjelp av følgende formel:

$$n₀=\frac{n-nN}{n-N}$$

Når du har den verdien, setter du den inn i hovedformelen for feilmargin:

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

Ved å bruke feilmargin-funksjonen som er innebygd i vår kalkulator for utvalgsstørrelse, kan du hoppe over disse kjedelige manuelle trinnene og umiddelbart finne studiens feilmargin.

Formel for å beregne konfidensintervall

Å beregne et konfidensintervall er rett frem når du har fastsatt feilmarginen din. Du kan regne ut konfidensintervallet ved å bruke grunnformlene nedenfor:

Konfidensintervall = Punktestimat ± Feilmargin

Øvre grense for konfidensintervallet = Punktestimat + Feilmargin

Nedre grense for konfidensintervallet = Punktestimat - Feilmargin

For populasjonsgjennomsnittet (μ) uttrykkes konfidensintervallet slik:

x̄ - E < μ < x̄ + E

Her representerer x̄ - E den nedre grensen, mens x̄ + E representerer den øvre grensen.

Tilsvarende skrives konfidensintervallet for populasjonsandelen (P) slik:

p - E < P < p + E

Eksempel 4

Anta at du forsker på gjennomsnittlige studiekostnader for internasjonale studenter i Canada. Du velger et tilfeldig utvalg på 1000 studenter. Basert på undersøkelsesdataene dine anslår du at den gjennomsnittlige studiekostnaden er 20 000 CAD, med en beregnet feilmargin på 5000 CAD. Hvordan finner du konfidensintervallet for denne gjennomsnittlige studiekostnaden?

Øvre grense = x̄ + E = 20 000 CAD + 5000 CAD = 25 000 CAD

Nedre grense = x̄ - E = 20 000 CAD - 5000 CAD = 15 000 CAD

Derfor er det komplette konfidensintervallet:

x̄ - E < μ < x̄ + E

15 000 CAD < μ < 25 000 CAD