Calculatrice de la taille d'un échantillon

Notre calculateur de taille d'échantillon propose deux fonctionnalités principales : le calcul de la taille de l'échantillon idéal et la détermination de la marge d'erreur.

Pour déterminer la taille d'un échantillon, la première étape consiste à sélectionner le niveau de confiance souhaité dans la liste déroulante. Ensuite, saisissez la marge d'erreur relative. (Astuce : vous pouvez convertir une marge d'erreur absolue en marge d'erreur relative en divisant simplement la valeur absolue par l'estimation ponctuelle).

Si vous connaissez la proportion de la population, indiquez-la dans le calculateur. Dans le cas contraire, laissez la valeur par défaut de 50 %. Renseignez la taille de la population dans le dernier champ si elle est connue ; sinon, laissez-le vide. Enfin, cliquez sur « Calculate ».

Pour obtenir la marge d'erreur, utilisez la seconde fonctionnalité de l'outil. Choisissez d'abord un niveau de confiance dans le menu déroulant. Indiquez la taille de l'échantillon de votre étude dans le deuxième champ, puis insérez la proportion de la population. Renseignez la taille de la population dans la dernière case (si vous l'ignorez, laissez ce champ vide). Enfin, cliquez sur « Calculate ».

Échantillon

En statistiques, un échantillon est une fraction représentative d'une population. La population globale désigne l'ensemble des éléments ou individus ciblés par une étude spécifique. L'idéal serait d'examiner chaque élément de cette population, mais en pratique, c'est souvent impossible en raison de nombreuses contraintes. Par exemple, si vous étudiez les insectes d'une jungle, la population est quasi infinie : vous ne pouvez donc pas l'analyser dans son intégralité. De plus, certains tests sont destructifs.

Par exemple, si vous décapsulez des bouteilles sur une chaîne de production pour en vérifier le volume de soda, vous ne pouvez plus remettre ces bouteilles sur le marché.

Étudier une population entière exige énormément de temps, de budget et de ressources. Généralement, les chercheurs travaillent avec des délais serrés et des moyens limités. C'est pourquoi la solution la plus efficace et la plus pragmatique consiste à sélectionner un échantillon pour mener l'enquête.

Marge d’erreur

Puisqu'il est rarement possible d'étudier l'intégralité d'une population, on s'appuie sur les statistiques d'un échantillon (les données mesurées sur celui-ci) pour estimer les paramètres de la population globale. Lorsque l'on estime un paramètre de la population à l'aide d'une valeur unique, on parle d'estimation ponctuelle.

Par exemple, pour estimer le volume moyen des bouteilles de boisson gazeuse d'une chaîne de production, vous pouvez prélever un lot au hasard. Si ce lot présente un volume moyen x̄ de 250 ml, votre estimation ponctuelle indique que chaque bouteille de la chaîne contient un volume moyen \$(\hat{μ})\$ de 250 ml.

En réalité, le paramètre exact de la population et l'estimation issue de l'échantillon sont rarement identiques. Cet écart est inhérent au principe d'échantillonnage.

La marge d'erreur définit l'écart maximal probable entre l'estimation ponctuelle d'un paramètre et sa véritable valeur dans la population. C'est ce que l'on appelle souvent l'erreur maximale d'estimation.

Intervalle de confiance

L'intervalle de confiance représente la plage de valeurs dans laquelle devrait se trouver le paramètre réel. Cette plage d'estimations indique que le paramètre a été évalué avec une marge d'erreur précise. Pour calculer la limite inférieure de l'intervalle de confiance, on soustrait la marge d'erreur à l'estimation ponctuelle. Pour obtenir la limite supérieure, on additionne la marge d'erreur à cette même estimation.

Relation entre l'échantillon en statistique, la marge d'erreur et l'intervalle de confiance

Plutôt que d'analyser une population entière, on étudie un échantillon pour en déduire les paramètres globaux. Il existe donc naturellement une différence entre l'estimation et la réalité. La marge d'erreur quantifie cette différence maximale probable. Par ailleurs, il y a une corrélation inverse entre la taille de l'échantillon et la marge d'erreur : plus l'échantillon est grand, plus il est représentatif de la population, ce qui réduit considérablement la marge d'erreur. À l'inverse, un petit échantillon augmentera cette marge.

En appliquant cette marge d'erreur à votre estimation ponctuelle, vous obtenez votre intervalle de confiance.

Formule pour calculer la taille de l'échantillon

Il existe plusieurs formules pour calculer la taille d'un échantillon selon les données dont vous disposez.

Le niveau de confiance choisi détermine le degré de certitude, tandis que la marge d'erreur définit la précision souhaitée pour notre intervalle d'estimation.

Si nous connaissons l'écart-type de la population, nous pouvons calculer la taille minimale de l'échantillon requise pour atteindre l'intervalle de confiance souhaité grâce à la formule suivante :

$$n=\left(\frac{z_{\alpha/2}×\sigma}{E}\right)^2$$

Le résultat final n doit toujours être arrondi à l'entier supérieur.

Le théorème de Cochran permet de déterminer la taille minimale de l'échantillon en fonction de la marge d'erreur voulue, du niveau de confiance exigé et de la proportion estimée de la caractéristique dans la population. La formule de Cochran est :

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}$$

• z = score Z (valeur issue de la table Z selon le niveau de confiance souhaité)
• p = proportion estimée de la caractéristique étudiée dans la population
• E = marge d’erreur

Exemple 1

Imaginons une étude portant sur les étudiants internationaux inscrits en premier cycle au Canada. Sans données préalables précises, nous supposons qu'ils représentent 60 % de l'ensemble des étudiants de premier cycle (la proportion estimée est donc de 60 %). Nous visons un niveau de confiance de 95 % avec une marge d'erreur de 4 %. Quelle doit être la taille minimale de notre échantillon ?

$$(1-\alpha)=95\%$$

$$z_{α/2}=z_{{95\%}/2}=1,96$$

$$p=60\%$$

$$E=4\%$$

$$n₀=\frac{z²p(1-p)}{E²}=\frac{1,96²×60\%×(1-60\%)}{4\%²}=576,24≈577$$

Ainsi, un minimum de 577 étudiants doit être inclus dans l'étude pour garantir un niveau de confiance de 95 % et une marge d'erreur de 4 %.

Cette première formule s'applique aux populations très vastes ou infinies. En revanche, si la taille de la population est restreinte (finie), la taille de l'échantillon doit être ajustée à l'aide de la formule ci-dessous :

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}$$

• n₀ = taille de l'échantillon calculée via le théorème de Cochran
• N = taille globale de la population
• n = taille ajustée de l'échantillon pour une population finie

Exemple 2

Reprenons l'exemple précédent, mais en ciblant uniquement les étudiants internationaux de votre propre université au Canada. La proportion estimée reste de 60 %, le niveau de confiance de 95 % et la marge d'erreur de 4 %. Le nombre total d'étudiants dans votre faculté est de 12 000. Combien d'étudiants interroger au minimum ?

Dans ce cas, calculez d'abord n₀ avec le théorème de Cochran, puis ajustez le résultat puisque la population est finie.

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{{E}^2}=\frac{1.96^2×{60\%}×(1-{60\%})}{{4\%}^2}=576,24$$

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}=\frac{576,24}{1+\left(\frac{576,24-1}{12.000}\right)}=549,88\approx550$$

Avec notre calculateur de taille d'échantillon en ligne, vous obtenez ces résultats complexes en une fraction de seconde, sans aucun calcul manuel.

Formule pour calculer la marge d'erreur

Il suffit de réorganiser la formule de la taille d'échantillon pour obtenir celle de la marge d'erreur.

Nous savons que la formule de la taille minimale d'un échantillon est :

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

En isolant E (la marge d'erreur), on obtient :

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

$${n₀}×{E}^2=z^2p\left(1-p\right)$$

$$E^2=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}$$

$$E=\sqrt{\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

Exemple 3

Toujours pour notre étude sur les étudiants internationaux en premier cycle au Canada (proportion estimée à 60 %). Si vous optez pour un niveau de confiance de 95 % et que vous interrogez un échantillon de 577 étudiants, quelle sera la marge d'erreur de votre étude ?

$$z_{{95\%}/2}=1,96$$

$$p=60\%$$

$$n₀=577$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n_0}}=1.96 \times \sqrt{\frac{60\% \times \left(1-60\%\right)}{577}}=4\%$$

Si la population est finie, vous devez d'abord calculer n₀ grâce à la formule suivante :

$$n₀=\frac{n-nN}{n-N}$$

Ensuite, insérez ce résultat dans la formule de base pour trouver la marge d'erreur :

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

Notre outil propose une seconde fonctionnalité qui vous permet de sauter toutes ces étapes mathématiques et de calculer votre marge d'erreur instantanément.

Formule pour calculer l'intervalle de confiance

L'intervalle de confiance est extrêmement simple à déduire dès lors que vous connaissez la marge d'erreur, en utilisant les formules suivantes :

Intervalle de confiance = estimation ponctuelle ± marge d'erreur

Limite supérieure de l'intervalle de confiance = estimation ponctuelle + marge d'erreur

Limite inférieure de l'intervalle de confiance = estimation ponctuelle - marge d'erreur

L'intervalle de confiance pour une moyenne μ s'écrit :

x̄ - E < μ < x̄ + E

Où x̄ - E est la limite inférieure et x̄ + E la limite supérieure.

L'intervalle de confiance pour une proportion P s'écrit :

p - E < P < p + E

Exemple 4

Vous enquêtez sur le coût moyen des études pour les étudiants internationaux au Canada. Sur votre échantillon de 1 000 étudiants, vous estimez le coût moyen à 20 000 dollars canadiens (CAD), avec une marge d'erreur de 5 000 CAD. Calculez l'intervalle de confiance pour cette étude.

Limite supérieure = x̄ + E = 20.000 CAD + 5.000 CAD = 25.000 CAD

Limite inférieure = x̄ - E = 20.000 CAD - 5.000 CAD = 15.000 CAD

Par conséquent, l'intervalle de confiance est le suivant :

x̄ - E < μ < x̄ + E

15.000 CAD < μ < 25.000 CAD