เครื่องคำนวณขนาดตัวอย่าง

เครื่องมือคำนวณขนาดกลุ่มตัวอย่าง (Sample Size Calculator) ของเราประกอบด้วย 2 ฟังก์ชันหลัก ได้แก่ การคำนวณขนาดกลุ่มตัวอย่างที่เหมาะสม และการหาค่าความคลาดเคลื่อน (Margin of Error)

สำหรับการคำนวณขนาดกลุ่มตัวอย่าง ขั้นตอนแรกให้เลือก "ระดับความเชื่อมั่น" (Confidence Level) จากเมนูแบบเลื่อนลง (Dropdown) ถัดมา ระบุค่าความคลาดเคลื่อนที่ยอมรับได้ โดยคุณสามารถแปลงค่าขอบเขตความคลาดเคลื่อนจากค่าสัมบูรณ์ (Absolute) ให้เป็นค่าสัมพัทธ์ (Relative) ได้ด้วยการหารค่าสัมบูรณ์ด้วยค่าประมาณแบบจุด (Point Estimate)

จากนั้น หากคุณทราบสัดส่วนของประชากร (Population Proportion) ให้ระบุค่าลงไป หากไม่ทราบแนะนำให้กำหนดค่าไว้ที่ 50% ต่อมาให้กรอกขนาดของประชากรในช่องสุดท้ายหากคุณมีข้อมูล หรือปล่อยว่างไว้หากไม่ทราบขนาดประชากรที่แน่ชัด เมื่อกรอกข้อมูลครบถ้วนแล้วให้คลิกปุ่ม "คำนวณ"

หากต้องการหาค่าความคลาดเคลื่อน (Margin of Error) ให้เลือกใช้งานฟังก์ชันที่สองของเครื่องมือ ขั้นแรกเลือกระดับความเชื่อมั่นจากเมนูแบบเลื่อนลง ถัดมากรอกขนาดกลุ่มตัวอย่างของการศึกษาลงในช่องที่สอง จากนั้นระบุสัดส่วนของประชากร และกรอกขนาดของประชากรในช่องสุดท้าย (หากไม่ทราบขนาดประชากรสามารถปล่อยว่างได้) สุดท้ายคลิก "คำนวณ"

กลุ่มตัวอย่าง (Sample)

ส่วนหนึ่งหรือบางส่วนที่ถูกเลือกมาจากประชากรทั้งหมด เรียกว่า กลุ่มตัวอย่าง (Sample) ในขณะที่ ประชากร (Population) หมายถึงสมาชิกหรือองค์ประกอบทั้งหมดที่เราสนใจศึกษาในงานวิจัย การศึกษาข้อมูลจากทุกหน่วยของประชากรถือเป็นวิธีที่ให้ผลลัพธ์แม่นยำที่สุด อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติมักเป็นไปไม่ได้เนื่องจากข้อจำกัดหลายประการ ตัวอย่างเช่น หากคุณกำลังวิจัยเกี่ยวกับแมลงในป่า จำนวนประชากรนั้นมีมหาศาลและไม่สามารถระบุขอบเขตได้ ทำให้คุณไม่สามารถศึกษาประชากรทั้งหมดได้ นอกจากนี้ การทดสอบบางประเภทยังอาจทำให้สิ่งของที่นำมาศึกษาถูกทำลายไป

เช่น หากคุณเปิดเพื่อตรวจสอบปริมาตรของขวดน้ำอัดลมที่ปิดสนิท ขวดน้ำอัดลมเหล่านั้นก็จะไม่สามารถนำไปวางจำหน่ายในตลาดได้อีก

การเก็บข้อมูลจากประชากรทั้งหมดต้องใช้เวลา งบประมาณ และทรัพยากรจำนวนมหาศาล ในกรณีส่วนใหญ่ งานวิจัยมักมีข้อจำกัดด้านสิ่งเหล่านี้ การสำรวจประชากรทั้งหมดจึงไม่ใช่ทางเลือกที่ปฏิบัติได้จริง ทางออกที่ดีที่สุดคือการเลือก "กลุ่มตัวอย่าง" ที่เหมาะสมเพื่อใช้ในการวิจัย

ค่าความคลาดเคลื่อน (Margin of Error)

เนื่องจากเรามักไม่สามารถตรวจสอบประชากรได้ทั้งหมด ค่าสถิติจากกลุ่มตัวอย่าง (Sample Statistic) ซึ่งเป็นค่าที่คำนวณได้จากกลุ่มตัวอย่าง จึงถูกนำมาใช้เพื่อประมาณ ค่าพารามิเตอร์ของประชากร (Population Parameter) สถิติของกลุ่มตัวอย่างได้มาจากข้อมูลจริงที่สังเกตหรือวัดผลจากตัวอย่าง เราเรียกสิ่งนี้ว่า การประมาณค่าแบบจุด (Point Estimate) เมื่อเราประมาณค่าเป็นตัวเลขเพียงค่าเดียวสำหรับพารามิเตอร์ของประชากร

ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการประมาณปริมาตรเฉลี่ยของขวดน้ำอัดลมในสายการผลิต คุณอาจสุ่มเลือกน้ำอัดลมมาหนึ่งล็อตและหาค่าเฉลี่ยของล็อตนั้น สมมติว่าล็อตนี้มีปริมาตรเฉลี่ย x̄ อยู่ที่ 250 มล. คุณจึงประมาณการได้ว่าขวดน้ำอัดลมแต่ละใบในสายการผลิตจะมีปริมาตรเฉลี่ย \$(\hat{μ})\$ เท่ากับ 250 มล.

แต่ในทางปฏิบัติ ค่าพารามิเตอร์ที่แท้จริงกับค่าที่ประมาณได้มักจะไม่เท่ากัน ความแตกต่างนี้เกิดจากการใช้กลุ่มตัวอย่างในการประมาณค่าแทนที่จะวัดจากประชากรทั้งหมด

ค่าความคลาดเคลื่อน (Margin of Error) ถูกกำหนดให้เป็นความแตกต่างสูงสุดที่เป็นไปได้ระหว่างค่าประมาณแบบจุดของพารามิเตอร์กับค่าที่แท้จริง ซึ่งมักถูกเรียกว่า "ข้อผิดพลาดสูงสุดของการประมาณค่า" (Maximum Error of Estimate)

ช่วงความเชื่อมั่น (Confidence Interval)

ช่วงความเชื่อมั่น คือช่วงของการประมาณค่าที่บ่งชี้ว่า ค่าพารามิเตอร์ที่แท้จริงน่าจะตกอยู่ในช่วงความคลาดเคลื่อนที่กำหนด การหา ขอบเขตล่าง (Lower Bound) ของช่วงความเชื่อมั่นทำได้โดยการนำค่าประมาณแบบจุดมาลบด้วยค่าความคลาดเคลื่อน ส่วนการหา ขอบเขตบน (Upper Bound) ของช่วงความเชื่อมั่น ทำได้โดยการนำค่าประมาณแบบจุดมาบวกกับค่าความคลาดเคลื่อน

ความสัมพันธ์ระหว่างกลุ่มตัวอย่าง ความคลาดเคลื่อน และช่วงความเชื่อมั่น

แทนที่จะเก็บข้อมูลจากประชากรทั้งหมด เราศึกษากลุ่มตัวอย่างเพื่อนำมาประมาณค่าพารามิเตอร์ ด้วยเหตุนี้ จึงอาจมีความแตกต่างระหว่างค่าประมาณและค่าที่แท้จริงของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือช่องว่างสูงสุดที่เป็นไปได้ระหว่างค่าประมาณแบบจุดกับค่าที่แท้จริง นอกจากนี้ยังมีความสัมพันธ์แบบผกผัน (Inverse Relationship) ระหว่างขนาดของกลุ่มตัวอย่างและค่าความคลาดเคลื่อน กล่าวคือ ขนาดตัวอย่างที่ใหญ่ขึ้น จะเป็นตัวแทนของประชากรที่แม่นยำยิ่งขึ้น ส่งผลให้ความคลาดเคลื่อนลดลง ในทางกลับกัน หากลดขนาดตัวอย่างลง ความคลาดเคลื่อนก็จะเพิ่มขึ้น

เมื่อเรานำค่าความคลาดเคลื่อนนี้ไปประยุกต์ใช้กับค่าประมาณแบบจุด เราก็จะได้สิ่งที่เรียกว่า ช่วงความเชื่อมั่น

สูตรคำนวณขนาดกลุ่มตัวอย่าง

การคำนวณขนาดกลุ่มตัวอย่างมีสูตรที่หลากหลาย ขึ้นอยู่กับข้อมูลที่คุณมี

ระดับความเชื่อมั่น (Confidence Level) จะเป็นตัวกำหนดระดับความเชื่อมั่นของผลลัพธ์ ในขณะที่ ค่าความคลาดเคลื่อน (Margin of Error) จะเป็นตัวกำหนดความแม่นยำสูงสุดที่เราต้องการได้จากช่วงการประมาณค่า

หากเราทราบค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) ของประชากร เราสามารถคำนวณขนาดกลุ่มตัวอย่างขั้นต่ำที่ต้องการได้โดยใช้สูตรด้านล่างนี้

$$n=\left(\frac{z_{\alpha/2}×\sigma}{E}\right)^2$$

ผลลัพธ์สุดท้าย (n) ควรถูกปัดเศษขึ้นให้เป็นจำนวนเต็มเสมอ

นอกจากนี้ สูตรของ Cochran (Cochran's Formula) ยังช่วยให้คุณสามารถกำหนดขนาดตัวอย่างขั้นต่ำได้จาก ค่าความคลาดเคลื่อนที่ยอมรับได้, ระดับความเชื่อมั่น และสัดส่วนของคุณลักษณะที่คาดว่าจะพบในประชากร โดยสูตรของ Cochran คือ:

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}$$

• z = ค่า Z (Z-score) จากตารางแจกแจงปกติ (Z-table) ตามระดับความเชื่อมั่นที่ต้องการ
• p = สัดส่วนที่คาดว่าจะพบในประชากร (Expected Proportion)
• E = ค่าความคลาดเคลื่อนที่ยอมรับได้ (Margin of Error)

ตัวอย่างที่ 1

สมมติว่าเรากำลังทำวิจัยเกี่ยวกับนักศึกษาต่างชาติที่กำลังศึกษาในระดับปริญญาตรีในประเทศแคนาดา ในช่วงเริ่มต้นเรายังไม่มีข้อมูลมากนัก จึงตั้งสมมติฐานว่ามีนักศึกษาต่างชาติคิดเป็น 60% ของนักศึกษาระดับปริญญาตรีทั้งหมดในแคนาดา ดังนั้น สัดส่วนโดยประมาณของคุณลักษณะในประชากรคือ 60% หากเราต้องการระดับความเชื่อมั่นที่ 95% และยอมรับค่าความคลาดเคลื่อนได้ที่ 4% งานวิจัยนี้จะต้องใช้กลุ่มตัวอย่างขั้นต่ำกี่คน?

$$(1-\alpha)=95\%$$

$$z_{α/2}=z_{{95\%}/2}=1.96$$

$$p=60\%$$

$$E=4\%$$

$$n₀=\frac{z²p(1-p)}{E²}=\frac{1.96²×60\%×(1-60\%)}{4\%²}=576.24≈577$$

ดังนั้น จะต้องสุ่มนักศึกษาอย่างน้อย 577 คนเข้าร่วมในการศึกษานี้ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ระดับความเชื่อมั่น 95% และมีความคลาดเคลื่อน 4%

สูตรด้านบนนี้เหมาะสำหรับกรณีที่ประชากรมีขนาดใหญ่มากหรือไม่มีที่สิ้นสุด แต่หากประชากรมีขนาดเล็กหรือจำกัด (Finite Population) เราจะต้องปรับขนาดของกลุ่มตัวอย่างใหม่ โดยใช้สูตรด้านล่างนี้:

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}$$

• n₀ = ขนาดกลุ่มตัวอย่างที่คำนวณจากสูตรของ Cochran
• N = ขนาดของประชากรทั้งหมด
• n = ขนาดกลุ่มตัวอย่างที่ปรับแก้แล้วสำหรับประชากรที่มีจำกัด

ตัวอย่างที่ 2

สมมติว่าเรากำลังวิจัยเกี่ยวกับนักศึกษาต่างชาติระดับปริญญาตรีในวิทยาลัยที่คุณกำลังศึกษาอยู่ในแคนาดา เราตั้งสมมติฐานเบื้องต้นว่านักศึกษาต่างชาติคิดเป็น 60% ของนักศึกษาทั้งหมดในวิทยาลัย ดังนั้น สัดส่วนโดยประมาณคือ 60% หากจำนวนนักศึกษาทั้งหมดในวิทยาลัยคือ 12,000 คน และเราต้องการระดับความเชื่อมั่น 95% โดยมีค่าความคลาดเคลื่อน 4% งานวิจัยนี้จะต้องใช้กลุ่มตัวอย่างอย่างน้อยกี่คน?

ในกรณีนี้ คุณต้องคำนวณหาค่า n₀ ด้วยสูตรของ Cochran ก่อน จากนั้นจึงนำมาปรับขนาดกลุ่มตัวอย่างตามขนาดของประชากรที่มีจำกัด

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{{E}^2}=\frac{1.96^2×{60\%}×(1-{60\%})}{{4\%}^2}=576.24$$

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}=\frac{576.24}{1+\left(\frac{576.24-1}{12,000}\right)}=549.88=550$$

ด้วยเครื่องมือคำนวณขนาดกลุ่มตัวอย่างของเรา คุณสามารถจัดการกับการคำนวณที่ซับซ้อนเหล่านี้ให้เสร็จสิ้นได้ในเวลาไม่ถึง 1 วินาที

สูตรคำนวณค่าความคลาดเคลื่อน

คุณสามารถจัดเรียงสมการของสูตรคำนวณขนาดกลุ่มตัวอย่างใหม่ เพื่อใช้หาค่าความคลาดเคลื่อนได้

จากสูตรคำนวณขนาดกลุ่มตัวอย่างขั้นต่ำที่เรารู้จักกันดี:

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

เมื่อเราย้ายข้างสมการเพื่อให้ E (ค่าความคลาดเคลื่อน) เป็นตัวแปรหลัก จะได้ว่า:

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

$${n₀}×{E}^2=z^2p\left(1-p\right)$$

$$E^2=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}$$

$$E=\sqrt{\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

ตัวอย่างที่ 3

สมมติว่าเรากำลังทำวิจัยนักศึกษาต่างชาติระดับปริญญาตรีในแคนาดา โดยตั้งสมมติฐานว่ามีนักศึกษาต่างชาติ 60% ของนักศึกษาทั้งหมด (สัดส่วนโดยประมาณ = 60%) หากเรากำหนดระดับความเชื่อมั่นไว้ที่ 95% และเราได้สุ่มเลือกนักศึกษามาเป็นกลุ่มตัวอย่างจำนวน 577 คน ค่าความคลาดเคลื่อน (Margin of Error) ของงานวิจัยนี้จะอยู่ที่เท่าใด?

$$z_{{95\%}/2}=1.96$$

$$p=60\%$$

$$n₀=577$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n_0}}=1.96 \times \sqrt{\frac{60\% \times \left(1-60\%\right)}{577}}=4\%$$

แต่หากจำนวนประชากรมีจำกัด คุณจะต้องคำนวณหาค่า n₀ ก่อนโดยใช้สูตรด้านล่าง:

$$n₀=\frac{n-nN}{n-N}$$

จากนั้น นำผลลัพธ์ที่ได้ไปแทนค่าในสูตรต่อไปนี้เพื่อหาค่าความคลาดเคลื่อน:

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

คุณสามารถใช้ฟังก์ชันที่สองของเครื่องมือคำนวณขนาดกลุ่มตัวอย่างของเรา เพื่อข้ามขั้นตอนที่ยุ่งยากทั้งหมดนี้ และได้ผลลัพธ์ของค่าความคลาดเคลื่อนในทันที

สูตรคำนวณช่วงความเชื่อมั่น

การหาช่วงความเชื่อมั่นนั้นง่ายมากหากคุณทราบค่าความคลาดเคลื่อนอยู่แล้ว โดยสามารถใช้สูตรด้านล่างนี้ได้เลย

ช่วงความเชื่อมั่น = การประมาณค่าแบบจุด ± ค่าความคลาดเคลื่อน

ขอบเขตบนของช่วงความเชื่อมั่น = การประมาณค่าแบบจุด + ค่าความคลาดเคลื่อน

ขอบเขตล่างของช่วงความเชื่อมั่น = การประมาณค่าแบบจุด - ค่าความคลาดเคลื่อน

ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับค่าเฉลี่ยประชากร (μ) คือ:

x̄ - E < μ < x̄ + E

(โดยที่ x̄ - E คือขอบเขตล่าง และ x̄ + E คือขอบเขตบน)

ส่วนช่วงความเชื่อมั่นของสัดส่วนประชากร (P) คือ:

p - E < P < p + E

ตัวอย่างที่ 4

สมมติว่าคุณกำลังวิจัยค่าใช้จ่ายเฉลี่ยของหลักสูตรสำหรับนักศึกษาต่างชาติในแคนาดา คุณได้สุ่มกลุ่มตัวอย่างมา 1,000 คน และจากข้อมูลกลุ่มตัวอย่างนี้ คุณประมาณการได้ว่าค่าใช้จ่ายเฉลี่ยอยู่ที่ 20,000 ดอลลาร์แคนาดา (CAD) โดยมีค่าความคลาดเคลื่อนอยู่ที่ 5,000 ดอลลาร์แคนาดา จงหาช่วงความเชื่อมั่นของค่าใช้จ่ายเฉลี่ยนี้

ขอบเขตบน = x̄ + E = 20,000 CAD + 5,000 CAD = 25,000 CAD

ขอบเขตล่าง = x̄ - E = 20,000 CAD - 5,000 CAD = 15,000 CAD

ดังนั้น ช่วงความเชื่อมั่นคือ:

x̄ - E < μ < x̄ + E

15,000 CAD < μ < 25,000 CAD