Variansberegner

Varians som et spredningsmål

Når man analyserer et datasæt, er et grundlæggende aspekt af statistisk inferens at måle, hvor meget dataene afviger fra deres gennemsnit. De mest anvendte metrikker til at måle denne spredning er:

• Varians er gennemsnittet af de kvadrerede afvigelser fra gennemsnittet.
• Standardafvigelse er kvadratroden af variansen. Standardafvigelse er en almindeligt anvendt metrik til at måle spredning og overordnet variabilitet.
• Variationskoefficienten, også kendt som den relative standardafvigelse. Variationskoefficienten beregnes som forholdet mellem standardafvigelsen σ og gennemsnittet μ, eller \$(C_v=\frac{σ}{μ})\$.

Vores online variansberegner finder nemt variansen for et givet datasæt og giver en detaljeret, trin-for-trin gennemgang af beregningsprocessen.

Regler for brug af denne beregner

Variansberegneren accepterer input som en liste af tal adskilt af en separator (skilletegn). Et par eksempler på understøttet formatering vises i tabellen nedenfor:

Du kan adskille tallene ved hjælp af komma, mellemrum, linjeskift eller en kombination af disse separatorer. Du kan bruge enten et række- eller kolonneformat. For alle de dataformater, der er vist i tabellen ovenfor, behandler beregneren præcist inputtet som 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87 og 89.

Efter at have indtastet dine data skal du vælge, om de repræsenterer en stikprøve eller en hel population. Når du trykker på beregn-knappen, viser værktøjet fem grundlæggende statistiske parametre: antal (antal observationer), gennemsnit, summen af de kvadrerede afvigelser, varians og standardafvigelse.

Denne beregner er specielt designet til at beregne variansen af et datasæt. Desuden giver den værdifuld indsigt i den underliggende statistiske teori ved tydeligt at vise alle de involverede trin.

For meget pålidelige statistiske slutninger er det altid at foretrække at bruge et stort datasæt. Det er dog ofte upraktisk at indsamle populationsdata, der repræsenterer alle mulige observationer. På grund af dette udtager statistikere typisk en "stikprøve" fra populationen, hvilket gør det muligt at drage konklusioner om hele populationen direkte ud fra stikprøvedataene.

Varians måler et datasæts gennemsnitlige spredning i forhold til dets gennemsnit. Det betegnes traditionelt med σ² for en population og med s² for en stikprøve. En større værdi af σ² eller s² indikerer en bredere spredning af datapunkterne fra gennemsnittet, mens en mindre værdi indikerer, at datapunkterne er grupperet tæt omkring gennemsnittet.

Overvej følgende eksempler på datasæt:

(Sæt I) 11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27,

(Sæt II) 12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

Ved at indtaste Sæt I i variansberegneren får man:

n=11

x̄=16

SS=704

s²=70.4

s=8.39

for en stikprøve, og

n=11

μ=16

SS=704

σ²=64

σ=8

for populationen.

På samme måde giver indtastning af Sæt II i beregneren:

n=11

x̄=16

SS=56

s²=5.6

s=2.36

for en stikprøve, og

n=11

μ=16

SS=56

σ²=5.09

σ=2.25

for populationen.

• I Sæt I afviger tallene markant fra stikprøvegennemsnittet, hvilket resulterer i en højere varians:

s²=70.4

σ²=64

• I Sæt II er den overordnede spredning meget mindre:

s²=5.6

σ²=5.09

Formlen for varians: populationsvarians vs. stikprøvevarians

Populationsvarians

Inden for statistik refererer en population til alle mulige observationer i et eksperiment. For N observationer er formlen for populationsvarians:

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}$$

hvor:

• σ² er populationsvariansen,
• Σ repræsenterer summen,
• xᵢ er hver enkelt observation,
• μ er populationens gennemsnit,
• N er det samlede antal observationer i populationen.

Stikprøvevarians

Stikprøvevariansen er defineret ved følgende formel:

$$s^2=\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}$$

hvor:

• s² er stikprøvevariansen,
• Σ repræsenterer summen,
• xᵢ er hver enkelt observation,
• x̄ er stikprøvens gennemsnit,
• n er det samlede antal observationer i stikprøven.

Trin til at beregne variansen

At beregne varians manuelt indebærer følgende standardtrin:

Trin 1: Beregn stikprøvens eller populationens gennemsnit. Dette er summen af alle datapunkter divideret med antallet af datapunkter (n for en stikprøve og N for en population), dvs.

Stikprøvegennemsnit:

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

Populationsgennemsnit:

$$\mu=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}$$

Trin 2: Beregn de individuelle afvigelser ved at trække stikprøvens eller populationens gennemsnit fra hvert datapunkt, dvs.

Stikprøveafvigelser:

$$(x_1-\bar{x}), (x_2-\bar{x}), (x_3-\bar{x}), \ldots, (x_n-\bar{x})$$

Populationsafvigelser:

$$(x_1-\mu), (x_2-\mu), (x_3-\mu), \ldots, (x_N-\mu)$$

Trin 3: Beregn de kvadrerede afvigelser for hvert datapunkt.

Stikprøvens kvadrerede afvigelser:

$$(x_1-\bar{x})^2, (x_2-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2, \ldots, (x_n-\bar{x})^2$$

Populationens kvadrerede afvigelser:

$$(x_1-\mu)^2, (x_2-\mu)^2, (x_3-\mu)^2, \ldots, (x_N-\mu)^2$$

Trin 4: Beregn summen af de kvadrerede afvigelser.

Stikprøvens sum af kvadrerede afvigelser:

$$SS=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$

Populationens sum af kvadrerede afvigelser:

$$SS=\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2$$

Trin 5: Divider summen af de kvadrerede afvigelser med n-1 for en stikprøve og N for populationen for at finde den endelige varians.

Stikprøvevarians:

$$s^2=\frac{SS}{n-1}$$

Populationsvarians:

$$\sigma^2=\frac{SS}{N}$$

Eksempel på beregning af varians for en stikprøve

Lad os se på et praktisk eksempel ved hjælp af følgende datasæt: 1, 2, 4, 5, 6 og 12. For at beregne stikprøvevariansen følger vi disse trin:

Trin 1: Beregn stikprøvens gennemsnit (middelværdi).

$$\bar{x}=\frac{1+2+4+5+6+12}{6}=\frac{30}{6}=5$$

Trin 2: Beregn afvigelserne fra gennemsnittet for hvert datapunkt.

Trin 3: Beregn kvadraterne af afvigelserne.

Trin 4: Læg de kvadrerede afvigelser sammen (sum).

$$SS=\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x})}^2=16+9+1+0+1+49=76$$

Trin 5: Beregn stikprøvevariansen ved at dividere summen af de kvadrerede afvigelser med frihedsgraderne (n-1).

$$s^2=\frac{SS}{n-1}=\frac{76}{6-1}=\frac{76}{5}=15.2$$

For en population ville du dividere med n (det samlede antal datapunkter) i stedet for n-1 for at beregne populationsvariansen.

Betydningen af varians

Varians og spredning er afgørende metrikker inden for investeringsverdenen. De gør det muligt for formueforvaltere at optimere deres investeringsafkast og administrere porteføljer effektivt. Finansielle analytikere stoler i høj grad på varians for at vurdere den individuelle risiko og historiske præstation af specifikke aktiver i en investeringsportefølje.

Når investorer overvejer et nyt køb, beregner de varians for at afgøre, om en potentiel investering er den forbundne risiko værd. Spredningsmetrikker hjælper analytikere med at kvantificere usikkerhed – en faktor, der er næsten umulig at vurdere præcist uden varians og standardafvigelse.

Selvom usikkerhed i sig selv ikke er direkte målbar, giver varians og standardafvigelse (kvadratroden af varians) investorer mulighed for at bestemme den opfattede volatilitet og den påvirkning, en bestemt aktie vil have på en bredere portefølje.

Ud over finansverdenen er varians et essentielt værktøj for forskere, statistikere, matematikere og dataanalytikere. Det giver dybdegående matematiske indsigter i eksperimenter og stikprøvepopulationer.

Forskere er ofte afhængige af varians til at identificere strukturelle forskelle mellem testgrupper, hvilket afgør, om de er ensartede nok til at teste en hypotese med succes. Jo højere variansen er, desto mere spredte er værdierne i datasættet. Dataforskere udnytter denne information til at forstå, hvor præcist gennemsnittet repræsenterer datasættet som helhed.

En ulempe ved at bruge varians er dog dens følsomhed over for store afvigere (outliers). Da afvigelser fra gennemsnittet matematisk set kvadreres, får afvigere en uforholdsmæssigt stor vægt, hvilket utilsigtet kan forvride dataenes overordnede repræsentation.

Af denne grund foretrækker mange forskere og finansielle fagfolk at arbejde med standardafvigelse. Fordi den beregnes som kvadratroden af variansen, udtrykkes standardafvigelse i de samme enheder som de oprindelige data. Det giver et mindre, mere intuitivt tal, der er meget nemmere at fortolke, mens det forbliver en smule mindre forvredet af ekstreme afvigere.