Calculadora de tamaño de muestra

Nuestra calculadora de tamaño de muestra consta de dos funciones principales: la primera te permite calcular el tamaño ideal de la muestra para tu estudio, mientras que la segunda sirve para determinar el margen de error de una muestra estadística.

Para calcular el tamaño de la muestra, el primer paso es seleccionar el nivel de confianza en el menú desplegable. A continuación, ingresa el margen de error relativo. (Nota: puedes convertir el margen de error de términos absolutos a relativos dividiendo el valor absoluto entre la estimación puntual).

Luego, si conoces la proporción de la población, introdúcela; de lo contrario, déjala en el 50 %. En la última celda, ingresa el tamaño de la población si dispones de este dato; si lo desconoces, déjalo en blanco. Finalmente, haz clic en "Calcular".

Utiliza la segunda función de la calculadora para obtener el margen de error. Como primer paso, elige el nivel de confianza en el menú desplegable. Ingresa el tamaño de la muestra de tu investigación en la segunda celda. Luego, añade la proporción de la población e introduce el tamaño de la población en la última celda. Si no conoces el tamaño real de la población, deja esa celda en blanco. Por último, haz clic en "Calcular".

Muestra estadística

Una muestra es una parte o fracción representativa de una población. En investigación empírica, la "población" abarca todos los elementos o individuos de interés para un estudio específico. Lo ideal sería analizar cada uno de estos elementos; sin embargo, en la práctica, suele ser inviable por múltiples factores. Por ejemplo, si investigas los insectos de una selva, la población es infinita y no podrías estudiarla en su totalidad. Además, en ciertos ensayos (como pruebas de calidad), los elementos evaluados pueden llegar a destruirse durante el proceso.

Por ejemplo, si abres y verificas el volumen de una botella de refresco sellada, esa botella ya no podrá ser enviada al mercado.

Evaluar a toda una población requiere demasiado tiempo, dinero y recursos. En la inmensa mayoría de los casos, tendrás que realizar tu investigación con limitaciones logísticas. Como estudiar a toda la población no es práctico, la solución estadística es seleccionar una muestra representativa y realizar el estudio a partir de ella.

Margen de error

Dado que rara vez podemos examinar a todos los miembros de una población, se utilizan muestras estadísticas (métricas calculadas a partir de la muestra) para estimar los parámetros de la población (métricas reales de la población). Estas estadísticas muestrales se derivan de datos reales observados o medidos. A esto se le llama estimación puntual: cuando se calcula un único valor numérico para estimar un parámetro poblacional.

Por ejemplo, si deseas estimar el volumen promedio de las botellas de refresco en una línea de producción, puedes seleccionar un lote aleatorio y calcular su volumen medio. Supongamos que ese lote tiene un volumen promedio (x̄) de 250 ml. Por lo tanto, tu estimación puntual será que cada botella en la línea de producción contiene un volumen promedio \$(\hat{μ})\$ de 250 ml.

En la práctica, el parámetro estimado y el parámetro real nunca son exactamente iguales. Esta diferencia estadística surge por el hecho de estimar el parámetro usando una muestra en lugar de medir a la población completa.

El margen de error se define como la diferencia máxima probable entre la estimación puntual de un parámetro y su valor real. En estadística, esto también se conoce como el error máximo de la estimación.

Intervalo de confianza

El intervalo de confianza representa el rango de estimaciones dentro del cual se espera encontrar el valor real. Este rango sugiere que el parámetro poblacional se ha estimado dentro de un margen de error específico. Para determinar el límite inferior del intervalo de confianza, se resta el margen de error a la estimación puntual. Para hallar el límite superior, se suma el margen de error a la estimación puntual.

Interconexión entre Muestra Estadística, Margen de Error e Intervalo de Confianza

En lugar de investigar a la población completa, estudiamos una muestra para estimar sus parámetros. Naturalmente, puede existir una diferencia entre el parámetro estimado y el valor real de la población. El margen de error cuantifica esa diferencia máxima probable.

Además, existe una relación inversamente proporcional entre el tamaño de la muestra y el margen de error. Un tamaño de muestra más grande representará a la población con mayor precisión, lo que reducirá el margen de error. Del mismo modo, un tamaño de muestra más pequeño aumentará el margen de error.

Finalmente, el intervalo de confianza se obtiene al aplicar este margen de error a la estimación puntual obtenida del estudio.

Fórmula para calcular el tamaño de la muestra

Existen diferentes fórmulas para calcular el tamaño de la muestra dependiendo de los datos que tengas disponibles para tu investigación.

El nivel de confianza deseado define el grado de certeza, mientras que el rango máximo en el margen de error determina el nivel de precisión que queremos lograr con nuestra estimación.

Si conocemos la desviación estándar de la población, podemos calcular el tamaño de muestra mínimo requerido para alcanzar el intervalo de confianza deseado utilizando la siguiente fórmula:

$$n=\left(\frac{z_{\alpha/2}×\sigma}{E}\right)^2$$

El resultado final n debe redondearse al número entero más cercano.

Para estimar proporciones, la fórmula de Cochran te permite determinar el tamaño mínimo de la muestra en función del margen de error aceptado, el nivel de confianza deseado y la proporción esperada del atributo en la población. La fórmula de Cochran es:

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}$$

• z = Valor Z (obtenido de la tabla Z) en función del nivel de confianza deseado.
• p = La proporción esperada del atributo presente en la población.
• E = Margen de error.

Ejemplo 1

Imagina que estamos investigando a los estudiantes internacionales matriculados en cursos universitarios en Canadá. Al principio, no tenemos mucha información. Por lo tanto, asumimos que los estudiantes internacionales representan el 60 % de todos los estudiantes universitarios en Canadá. Como resultado, la proporción estimada del atributo en la población es del 60 %. Deseamos un nivel de confianza del 95 % y un margen de error del 4 %. ¿Cuántos estudiantes deben incluirse como mínimo en la muestra del estudio?

$$(1-\alpha)=95\%$$

$$z_{α/2}=z_{{95\%}/2}=1,96$$

$$p=60\%$$

$$E=4\%$$

$$n₀=\frac{z²p(1-p)}{E²}=\frac{1,96²×60\%×(1-60\%)}{4\%²}=576,24≈577$$

Por lo tanto, se debe incluir un mínimo de 577 estudiantes en el estudio para garantizar un nivel de confianza del 95 % con un margen de error del 4 %.

La fórmula de Cochran se utiliza cuando el tamaño de la población es grande o infinito. Si el tamaño de la población es pequeño o finito, debemos ajustar el tamaño de la muestra utilizando la siguiente fórmula:

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}$$

• n₀ = El tamaño de la muestra calculado a partir de la fórmula de Cochran.
• N = Tamaño de la población.
• n = Tamaño de la muestra ajustado para una población finita.

Ejemplo 2

Siguiendo con el caso anterior, imagina que ahora estudiamos solo a los estudiantes internacionales de tu universidad. Asumimos la misma proporción del 60 %. Sin embargo, el número total de estudiantes matriculados en tu universidad es de 12.000. Si mantenemos un nivel de confianza del 95 % y un margen de error del 4 %, ¿cuántos estudiantes deben formar parte de la muestra mínima del estudio?

En este caso, primero debes calcular n₀ usando la fórmula de Cochran y luego ajustar el resultado ya que nos enfrentamos a una población finita.

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{{E}^2}=\frac{1,96^2×{60\%}×(1-{60\%})}{{4\%}^2}=576,24$$

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}=\frac{576,24}{1+\left(\frac{576,24-1}{12.000}\right)}=549,88\approx550$$

Utilizando nuestra calculadora de tamaño de muestra, puedes resolver todos estos complejos cálculos matemáticos en menos de un segundo.

Fórmula para calcular el margen de error

Puedes reorganizar matemáticamente la fórmula del tamaño de la muestra para despejar y encontrar la fórmula del margen de error.

Sabiendo que la fórmula del tamaño mínimo de la muestra es:

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

Despejemos E (el margen de error) en la ecuación anterior:

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

$${n₀}×{E}^2=z^2p\left(1-p\right)$$

$$E^2=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}$$

$$E=\sqrt{\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

Ejemplo 3

Retomemos la investigación sobre estudiantes internacionales en Canadá. Nuevamente, asumimos que representan el 60 % de los estudiantes universitarios. Supongamos que deseas un nivel de confianza del 95 % y logras seleccionar a 577 estudiantes para tu investigación. ¿Cuál será el margen de error real de tu estudio?

$$z_{{95\%}/2}=1,96$$

$$p=60\%$$

$$n₀=577$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}=1,96×\sqrt{\frac{60%×\left(1-60%\right)}{577}}=4%$$

Si la población es finita, primero debes hallar $n₀$ utilizando la siguiente fórmula:

$$n₀=\frac{n-nN}{n-N}$$

Luego, aplica el resultado en la ecuación para encontrar el margen de error:

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

La segunda función de nuestra calculadora estadística te ayuda a omitir todos estos pasos manuales, entregándote el margen de error de forma instantánea.

Fórmula para calcular el intervalo de confianza

El intervalo de confianza es muy fácil de determinar si ya conoces el margen de error. Para calcularlo, se utiliza la siguiente estructura matemática:

Intervalo de confianza = Estimación puntual ± Margen de error

El límite superior del intervalo de confianza = Estimación puntual + Margen de error

El límite inferior del intervalo de confianza = Estimación puntual - Margen de error

El intervalo de confianza para la media (μ) es:

x̄ - E < μ < x̄ + E

Donde x̄ - E es el límite inferior y x̄ + E es el límite superior.

El intervalo de confianza para la proporción (P) es:

p - E < P < p + E

Ejemplo 4

Estás investigando el costo promedio de los programas universitarios para estudiantes internacionales en Canadá. Has seleccionado a 1.000 estudiantes para tu muestra y, con base en sus datos, estimas que el costo promedio del programa es de CAD 20.000. El margen de error calculado es de CAD 5.000. Encuentra el intervalo de confianza para el costo promedio de los estudios.

Límite superior = x̄ + E = CAD 20.000 + CAD 5.000 = CAD 25.000

Límite inferior = x̄ - E = CAD 20.000 - CAD 5.000 = CAD 15.000

Por lo tanto, el intervalo de confianza estadístico es:

x̄ - E < μ < x̄ + E

CAD 15.000 < μ < CAD 25.000