ماشین حساب اندازه نمونه

ماشین حساب اندازه نمونه (حجم نمونه) از دو بخش اصلی تشکیل شده است: بخش اول برای محاسبه اندازه نمونه و بخش دوم برای تعیین حاشیه خطا کاربرد دارد.

برای تعیین حجم نمونه، اولین گام انتخاب «سطح اطمینان» (Confidence Level) از منوی کشویی است. سپس، حاشیه خطای نسبی را وارد کنید. (با تقسیم مقدار مطلق بر تخمین نقطه‌ای، می‌توانید حاشیه خطای مطلق را به نسبی تبدیل کنید).

در مرحله بعد، اگر نسبت جامعه آماری را می‌دانید، آن را وارد کنید؛ در غیر این صورت، مقدار آن را روی همان ۵۰٪ نگه دارید. اگر از اندازه کل جامعه آماری مطلع هستید، آن را در کادر آخر وارد کنید؛ وگرنه می‌توانید آن را خالی بگذارید. در نهایت روی دکمه «محاسبه» کلیک کنید.

از بخش دوم این ماشین حساب برای محاسبه حاشیه خطا استفاده می‌شود. برای شروع، سطح اطمینان را از منوی کشویی انتخاب کرده و اندازه نمونه مطالعه خود را در کادر دوم وارد کنید. سپس نسبت جامعه و در نهایت اندازه کل جامعه آماری را وارد نمایید. اگر اندازه جامعه را نمی‌دانید، این کادر را خالی رها کنید. در آخر، دکمه «محاسبه» را بزنید.

نمونه چیست؟

به یک بخش یا قسمت انتخابی از یک جامعه آماری، نمونه (Sample) گفته می‌شود. جامعه آماری به کل عناصر یا افرادی اشاره دارد که موضوع یک مطالعه خاص هستند. مسلماً بررسی تک‌تک اعضای جامعه، بهترین روش برای انجام یک تحقیق دقیق است؛ اما به دلایل متعددی، بررسی کل جامعه اغلب غیرممکن یا غیرعملی است. به عنوان مثال، اگر تحقیق شما درباره حشرات یک جنگل باشد، با یک جامعه آماری نامحدود روبه‌رو هستید و نمی‌توانید کل آن‌ها را مطالعه کنید. همچنین، گاهی اوقات فرآیند آزمایش باعث از بین رفتن نمونه‌ها می‌شود.

برای مثال، اگر برای بررسی حجم نوشابه، درب یک بطری پلمپ‌شده را باز کنید، دیگر نمی‌توانید آن بطری را به بازار عرضه کنید.

علاوه بر این، بررسی کل یک جامعه آماری نیازمند صرف زمان، هزینه و منابع بسیار زیادی است. در بیشتر تحقیقات، شما باید کار خود را با منابع و زمان محدودی به پایان برسانید. از آنجا که بررسی کل جامعه تقریباً همیشه غیرعملی است، بهترین راه‌حل، انتخاب یک نمونه آماری مناسب و انجام تحقیق روی آن است.

حاشیه خطا (Margin of Error)

از آنجا که در بیشتر مواقع بررسی تمام اعضای جامعه آماری مقدور نیست، ما از آماره‌های نمونه (مقادیر محاسبه‌شده از نمونه) برای تخمین پارامترهای جامعه (مقادیر محاسبه‌شده برای کل جامعه) استفاده می‌کنیم. آماره‌های نمونه از داده‌های واقعیِ مشاهده یا اندازه‌گیری‌شده در نمونه به دست می‌آیند. زمانی که شما یک مقدار واحد را برای یک پارامتر جامعه تخمین می‌زنید، به آن تخمین نقطه‌ای می‌گویند.

برای مثال، اگر بخواهید میانگین حجم نوشابه بطری‌های یک خط تولید را تخمین بزنید، می‌توانید یک دسته را به صورت تصادفی انتخاب کرده و میانگین حجم همان دسته را محاسبه کنید. فرض کنید میانگین حجم این دسته (\$x̄\$) برابر با ۲۵۰ میلی‌لیتر باشد. بنابراین، شما تخمین می‌زنید که میانگین حجم هر بطری در کل خط تولید (\$\hat{μ}\$) نیز ۲۵۰ میلی‌لیتر است.

در عمل، پارامتر واقعی جامعه و پارامتر تخمین‌زده‌شده دقیقاً برابر نیستند. این اختلاف به این دلیل به وجود می‌آید که ما به جای کل جامعه، تنها یک نمونه را برای تخمین انتخاب کرده‌ایم.

حاشیه خطا به عنوان بیشترین اختلاف احتمالی میان تخمین نقطه‌ایِ یک پارامتر و مقدار واقعی آن در جامعه تعریف می‌شود. از این مفهوم اغلب با عنوان «حداکثر خطای تخمین» نیز یاد می‌شود.

فاصله اطمینان (Confidence Interval)

فاصله اطمینان، بازه‌ای از تخمین‌ها را نشان می‌دهد. این بازه یا فاصله بیانگر آن است که پارامتر مورد نظر در محدوده یک حاشیه خطای مشخص تخمین زده شده است. برای به دست آوردن حد پایین (کران پایین) فاصله اطمینان، باید حاشیه خطا را از تخمین نقطه‌ای کم کرد. به همین ترتیب، برای تعیین حد بالا (کران بالا)، حاشیه خطا با تخمین نقطه‌ای جمع می‌شود.

ارتباط میان اندازه نمونه، حاشیه خطا و فاصله اطمینان

همان‌طور که در علم آمار رایج است، ما به جای بررسی کل جامعه آماری، یک نمونه را مطالعه می‌کنیم تا پارامترهای جامعه را تخمین بزنیم. همین مسئله باعث ایجاد اختلاف میان پارامتر تخمینی و پارامتر واقعی جامعه می‌شود. حاشیه خطا، نشان‌دهنده بیشترین میزان این اختلاف احتمالی است. نکته مهم این است که ارتباطی معکوس میان اندازه نمونه و حاشیه خطا وجود دارد. هرچه حجم نمونه بزرگ‌تر باشد، نمونه ما نماینده دقیق‌تری از جامعه خواهد بود و در نتیجه حاشیه خطا کاهش می‌یابد. برعکس، کاهش اندازه نمونه باعث افزایش حاشیه خطا می‌شود.

زمانی که این حاشیه خطا را روی تخمین نقطه‌ای اعمال کنید، بازه یا همان فاصله اطمینان به دست می‌آید.

فرمول محاسبه حجم نمونه

بسته به اطلاعات در دسترس شما، فرمول‌های مختلفی برای محاسبه اندازه نمونه وجود دارد.

سطح اطمینانِ مورد نظر شما میزان قطعیت را تعیین می‌کند، در حالی که حداکثر دامنه حاشیه خطا نشان‌دهنده میزان دقتی است که می‌خواهیم از طریق تخمین بازه‌ای خود به آن برسیم.

اگر انحراف معیار جامعه آماری را بدانیم، می‌توانیم حداقل اندازه نمونه مورد نیاز برای رسیدن به فاصله اطمینان مطلوب را با استفاده از فرمول زیر محاسبه کنیم:

$$n=\left(\frac{z_{\alpha/2}×\sigma}{E}\right)^2$$

(توجه: نتیجه نهایی \$n\$ باید به سمت نزدیک‌ترین عدد صحیح بزرگ‌تر گِرد شود.)

فرمول کوکران (Cochran's Formula) یکی از پرکاربردترین روش‌هاست که به شما امکان می‌دهد حداقل اندازه نمونه را بر اساس حاشیه خطای مطلوب، سطح اطمینان مورد نظر و نسبت مورد انتظار از یک ویژگی در جامعه تعیین کنید. فرمول کوکران به شکل زیر است:

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}$$

• z = مقدار Z به‌دست‌آمده از جدول توزیع نرمال (جدول Z) بر اساس سطح اطمینان
• p = نسبت مورد انتظار ویژگی مورد نظر در جامعه آماری
• E = حاشیه خطا

مثال ۱

فرض کنید در حال انجام تحقیقی روی دانشجویان بین‌المللی مقطع کارشناسی در کانادا هستیم. در ابتدا اطلاعات دقیقی در دست نداریم؛ بنابراین، فرض می‌کنیم که دانشجویان بین‌المللی ۶۰٪ از کل دانشجویان کارشناسی کانادا را تشکیل می‌دهند. در نتیجه، نسبت تخمینی ما در این جامعه آماری ۶۰٪ است. ما به دنبال سطح اطمینان ۹۵٪ و حاشیه خطای ۴٪ هستیم. حداقل چند دانشجو باید در نمونه آماری این مطالعه قرار بگیرند؟

$$(1-\alpha)=95\%$$

$$z_{α/2}=z_{{95\%}/2}=1.96$$

$$p=60\%$$

$$E=4\%$$

$$n₀=\frac{z²p(1-p)}{E²}=\frac{1.96²×60\%×(1-60\%)}{4\%²}=576.24≈577$$

بنابراین، برای دستیابی به سطح اطمینان ۹۵٪ و حاشیه خطای ۴٪، حداقل به ۵۷۷ دانشجو در مطالعه نیاز داریم.

فرمول بالا برای زمانی کاربرد دارد که اندازه جامعه آماری بزرگ یا نامحدود باشد. اما اگر اندازه جامعه کوچک یا محدود باشد، باید حجم نمونه را تعدیل کنیم. این تعدیل با استفاده از فرمول زیر انجام می‌شود:

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}$$

• n₀ = اندازه نمونه محاسبه‌شده از فرمول کوکران
• N = اندازه کل جامعه آماری
• n = اندازه نمونه تعدیل‌شده برای جامعه محدود

مثال ۲

حال فرض کنید تحقیق ما تنها روی دانشجویان بین‌المللی مقطع کارشناسی در همان دانشکده‌ای است که شما در کانادا در آن تحصیل می‌کنید. مجدداً فرض می‌کنیم نسبت دانشجویان بین‌المللی ۶۰٪ است (نسبت تخمینی ویژگی در جامعه = ۶۰٪). تعداد کل دانشجویان دانشکده شما ۱۲,۰۰۰ نفر است. با سطح اطمینان ۹۵٪ و حاشیه خطای ۴٪، حداقل چند دانشجو باید در نمونه این مطالعه بررسی شوند؟

در این حالت، ابتدا باید مقدار n₀ را با استفاده از فرمول کوکران محاسبه کرده و سپس آن را با توجه به محدود بودن جامعه آماری تعدیل کنید:

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{{E}^2}=\frac{1.96^2×{60\%}×(1-{60\%})}{{4\%}^2}=576.24$$

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}=\frac{576.24}{1+\left(\frac{576.24-1}{12,000}\right)}=549.88\approx550$$

با استفاده از ماشین حساب آنلاین حجم نمونه، می‌توانید چنین محاسبات پیچیده‌ای را در کمتر از یک ثانیه و با بالاترین دقت انجام دهید.

فرمول محاسبه حاشیه خطا

با بازنویسی و جابه‌جایی متغیرهای فرمول محاسبه حجم نمونه، می‌توانید فرمول حاشیه خطا را به دست آورید.

می‌دانیم که فرمول حداقل اندازه نمونه برابر است با:

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

بیایید فرمول بالا را بر اساس متغیر \$E\$ (حاشیه خطا) مرتب کنیم:

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

$${n₀}×{E}^2=z^2p\left(1-p\right)$$

$$E^2=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}$$

$$E=\sqrt{\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

مثال ۳

دوباره تحقیق روی دانشجویان بین‌المللی کارشناسی در کانادا را در نظر بگیرید. همان فرض نسبت ۶۰ درصدی را داریم (نسبت تخمینی ویژگی در جامعه = ۶۰٪). اگر سطح اطمینان مورد نظر ما ۹۵٪ باشد و شما ۵۷۷ دانشجو را برای تحقیق خود انتخاب کرده باشید، حاشیه خطای این مطالعه چقدر خواهد بود؟

$$z_{{95\%}/2}=1.96$$

$$p=60\%$$

$$n₀=577$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n_0}}=1.96 \times \sqrt{\frac{60\% \times \left(1-60\%\right)}{577}}=4\%$$

اگر جامعه محدود باشد، ابتدا باید n₀ را با استفاده از فرمول زیر پیدا کنید:

$$n₀=\frac{n-nN}{n-N}$$

سپس، پاسخ به‌دست‌آمده را در فرمول زیر قرار دهید تا حاشیه خطا مشخص شود:

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

بخش دوم ماشین حساب حاشیه خطا و حجم نمونه به شما کمک می‌کند تا تمام این مراحل طولانی را حذف کرده و حاشیه خطا را در کسری از ثانیه محاسبه نمایید.

فرمول محاسبه فاصله اطمینان

اگر حاشیه خطا را بدانید، تعیین فاصله اطمینان بسیار ساده است. از فرمول‌های زیر برای محاسبه بازه یا فاصله اطمینان استفاده می‌شود:

فاصله اطمینان = تخمین نقطه‌ای ± حاشیه خطا

کران بالا (حد بالا) فاصله اطمینان = تخمین نقطه‌ای + حاشیه خطا

کران پایین (حد پایین) فاصله اطمینان = تخمین نقطه‌ای - حاشیه خطا

فاصله اطمینان برای میانگین جامعه (μ) به شکل زیر است:

x̄ - E < μ < x̄ + E

که در آن x̄ - E حد پایین و x̄ + E حد بالا است.

همچنین فاصله اطمینان برای نسبت جامعه (P) به این صورت بیان می‌شود:

p - E < P < p + E

مثال ۴

شما در حال تحقیق روی میانگین هزینه‌های تحصیل دانشجویان بین‌المللی در کانادا هستید. نمونه‌ای متشکل از ۱۰۰۰ دانشجو را انتخاب کرده‌اید و بر اساس داده‌های این نمونه، تخمین می‌زنید که میانگین هزینه تحصیل دانشجویان بین‌المللی در کانادا برابر با ۲۰,۰۰۰ دلار کانادا است. حاشیه خطا نیز ۵,۰۰۰ دلار کانادا محاسبه شده است. فاصله اطمینان برای میانگین هزینه تحصیل این دانشجویان را پیدا کنید.

حد بالا = x̄ + E = ۲۰,۰۰۰ دلار کانادا + ۵,۰۰۰ دلار کانادا = ۲۵,۰۰۰ دلار کانادا

حد پایین = x̄ - E = ۲۰,۰۰۰ دلار کانادا - ۵,۰۰۰ دلار کانادا = ۱۵,۰۰۰ دلار کانادا

بنابراین، فاصله اطمینان به شکل زیر خواهد بود:

x̄ - E < μ < x̄ + E

۱۵,۰۰۰ دلار کانادا < μ < ۲۵,۰۰۰ دلار کانادا