Máy tính kích thước mẫu

Công cụ máy tính kích thước mẫu (Sample Size Calculator) này bao gồm hai tính năng chính: tính toán kích thước mẫu và xác định biên độ sai số.

Để tính toán kích thước mẫu, bước đầu tiên là chọn mức độ tin cậy (confidence level) từ danh sách thả xuống. Tiếp theo, nhập biên độ sai số (margin of error) tương đối. Bạn có thể chuyển đổi từ biên độ sai số tuyệt đối sang tương đối bằng cách lấy giá trị tuyệt đối chia cho ước lượng điểm.

Sau đó, nếu bạn đã biết tỷ lệ tổng thể (population proportion), hãy nhập giá trị đó vào. Nếu không, hãy để ở mức mặc định là 50%. Nhập quy mô tổng thể (population size) vào ô cuối cùng nếu bạn có dữ liệu; nếu không, bạn có thể để trống. Cuối cùng, nhấp vào nút "Tính toán" (Calculate).

Để sử dụng tính năng thứ hai của công cụ nhằm tính biên độ sai số, trước tiên hãy chọn mức độ tin cậy từ menu thả xuống. Nhập kích thước mẫu (sample size) của nghiên cứu vào ô thứ hai. Tiếp theo, nhập tỷ lệ tổng thể và quy mô tổng thể vào các ô tương ứng. Nếu chưa biết quy mô tổng thể, bạn cứ để trống. Cuối cùng, nhấp vào "Tính toán" (Calculate).

Mẫu

Một phần hoặc một tập hợp con của tổng thể được gọi là mẫu (sample). Tổng thể (population) bao gồm tất cả các yếu tố hoặc phần tử cần quan tâm trong một nghiên cứu cụ thể. Lý tưởng nhất là chúng ta có thể khảo sát toàn bộ tổng thể. Tuy nhiên, trên thực tế, do nhiều yếu tố khách quan, việc thu thập dữ liệu trên toàn bộ tổng thể thường là điều bất khả thi. Ví dụ, nếu bạn nghiên cứu về các loài côn trùng trong một khu rừng, tổng thể này lớn đến mức gần như vô hạn. Do đó, bạn không thể nghiên cứu mọi cá thể. Thêm vào đó, trong một số thử nghiệm nhất định, việc kiểm tra toàn bộ phần tử là không phù hợp.

Chẳng hạn, nếu bạn mở nắp để đo thể tích của một chai nước ngọt, sản phẩm đó sẽ không thể đem bán ra thị trường được nữa.

Việc khảo sát toàn bộ tổng thể đòi hỏi một lượng lớn thời gian, tiền bạc và các nguồn lực khác. Trong hầu hết các trường hợp, bạn phải hoàn thành nghiên cứu với ngân sách và thời gian có hạn. Do đó, khảo sát toàn bộ tổng thể thường không mang tính thực tiễn. Giải pháp tối ưu nhất là chọn ra một mẫu đại diện và tiến hành nghiên cứu trên mẫu đó.

Biên độ sai số

Trong hầu hết các trường hợp, chúng ta không thể khảo sát tất cả các phần tử của tổng thể. Do đó, các đại lượng thống kê mẫu (các giá trị được tính toán từ mẫu) thường được sử dụng để ước lượng tham số của tổng thể (các giá trị thực của toàn bộ tổng thể). Đại lượng thống kê mẫu được đúc kết từ dữ liệu quan sát hoặc đo lường thực tế trên mẫu. Khi bạn dùng một giá trị duy nhất để ước lượng cho một tham số của tổng thể, đó được gọi là ước lượng điểm (point estimate).

Ví dụ, nếu bạn muốn tính thể tích trung bình của một loại nước ngọt trong dây chuyền sản xuất, bạn có thể chọn ngẫu nhiên một lô và tính thể tích trung bình của lô đó. Giả sử lô đó có thể tích trung bình x̄ là 250 ml. Từ đó, bạn đưa ra ước lượng điểm rằng mỗi chai trên toàn bộ dây chuyền đều chứa thể tích trung bình $(\hat{μ})$ là 250 ml.

Trong thực tế, tham số ước lượng và tham số thực tế hiếm khi hoàn toàn bằng nhau. Sự chênh lệch này phát sinh do việc chúng ta chỉ sử dụng một mẫu để ước lượng thay vì khảo sát toàn bộ tổng thể.

Biên độ sai số được định nghĩa là sự chênh lệch tối đa có thể xảy ra giữa ước lượng điểm của một tham số và giá trị thực tế của nó. Đại lượng này còn thường được gọi là sai số ước lượng tối đa.

Khoảng tin cậy

Khoảng tin cậy đại diện cho phạm vi của các giá trị ước lượng. Phạm vi này chỉ ra rằng tham số tổng thể đã được ước lượng rơi vào một khoảng nhất định với một biên độ sai số cụ thể. Để xác định giới hạn dưới của khoảng tin cậy, ta lấy ước lượng điểm trừ đi biên độ sai số. Ngược lại, để xác định giới hạn trên, ta cộng ước lượng điểm với biên độ sai số.

Mối liên kết giữa Mẫu trong Thống kê, Biên độ sai số, và Khoảng tin cậy

Thay vì nghiên cứu toàn bộ tổng thể, chúng ta phân tích một mẫu để ước lượng các tham số của tổng thể đó. Do vậy, luôn tồn tại một sự sai lệch nhất định giữa tham số ước lượng từ mẫu và tham số thực tế của tổng thể. Sự chênh lệch tối đa có thể xảy ra giữa ước lượng điểm và giá trị thực tế được gọi là biên độ sai số.

Đáng chú ý, có một mối tương quan nghịch biến giữa kích thước mẫu và biên độ sai số. Kích thước mẫu càng lớn thì tính đại diện cho tổng thể càng cao, giúp làm giảm biên độ sai số. Ngược lại, khi kích thước mẫu giảm, biên độ sai số sẽ tăng lên.

Bạn sẽ xác định được khoảng tin cậy khi áp dụng biên độ sai số này vào ước lượng điểm.

Công thức tính Kích thước Mẫu

Có nhiều công thức khác nhau để tính toán kích thước mẫu tùy thuộc vào dữ liệu mà bạn đang có.

Mức độ tin cậy mong muốn quyết định độ chắc chắn của kết quả, trong khi biên độ sai số tối đa quyết định mức độ chính xác mà chúng ta muốn đạt được trong phạm vi ước lượng.

Nếu đã biết độ lệch chuẩn của tổng thể, chúng ta có thể tính được kích thước mẫu tối thiểu cần thiết để đạt được khoảng tin cậy mong muốn bằng cách sử dụng công thức dưới đây:

$$n=\left(\frac{z_{\alpha/2}×\sigma}{E}\right)^2$$

Kết quả $n$ cuối cùng nên được làm tròn lên số nguyên gần nhất.

Công thức Cochran cho phép bạn xác định kích thước mẫu tối thiểu dựa trên biên độ sai số mong muốn, mức độ tin cậy và tỷ lệ dự kiến của thuộc tính đang xét trong tổng thể. Công thức Cochran được biểu diễn như sau:

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}$$

• z = Giá trị Z (Z-score) từ bảng phân phối Z dựa trên mức độ tin cậy mong muốn
• p = Tỷ lệ dự kiến của thuộc tính có mặt trong tổng thể
• E = Biên độ sai số

Ví dụ 1

Giả sử chúng ta đang tiến hành một nghiên cứu về sinh viên quốc tế đang theo học các khóa Đại học tại Canada. Ban đầu, chúng ta chưa có nhiều thông tin. Do đó, ta giả định rằng sinh viên quốc tế chiếm 60% tổng số sinh viên Đại học tại Canada. Vậy, tỷ lệ ước lượng của thuộc tính trong tổng thể là 60%. Chúng ta mong muốn đạt mức độ tin cậy là 95% và biên độ sai số là 4%. Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu sinh viên tham gia vào mẫu nghiên cứu (kích thước mẫu tối thiểu)?

$$(1-\alpha)=95\%$$

$$z_{α/2}=z_{{95\%}/2}=1,96$$

$$p=60\%$$

$$E=4\%$$

$$n₀=\frac{z²p(1-p)}{E²}=\frac{1.96²×60\%×(1-60\%)}{4\%²}=576,24≈577$$

Như vậy, nghiên cứu cần sự tham gia của tối thiểu 577 sinh viên để đạt được kết quả với mức độ tin cậy 95% và biên độ sai số 4%.

Công thức trên được áp dụng khi quy mô tổng thể rất lớn hoặc vô hạn. Nếu tổng thể có kích thước nhỏ hoặc hữu hạn, chúng ta cần phải điều chỉnh lại kích thước mẫu bằng công thức dưới đây:

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}$$

• n₀ = Kích thước mẫu được tính từ công thức Cochran
• N = Quy mô tổng thể
• n = Kích thước mẫu đã được điều chỉnh cho tổng thể hữu hạn

Ví dụ 2

Hãy tưởng tượng bạn đang nghiên cứu về tỷ lệ sinh viên quốc tế đang theo học tại chính trường Đại học của bạn ở Canada. Ban đầu, bạn giả định sinh viên quốc tế chiếm 60% tổng số sinh viên của trường (tỷ lệ ước lượng là 60%). Tổng số sinh viên toàn trường là 12.000. Bạn mong muốn mức độ tin cậy 95% và biên độ sai số 4%. Cần bao nhiêu sinh viên để đạt đủ kích thước mẫu tối thiểu cho nghiên cứu này?

Trong trường hợp này, trước tiên bạn phải tính n₀ bằng công thức Cochran, sau đó điều chỉnh kích thước mẫu vì tổng thể là một con số hữu hạn.

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{{E}^2}=\frac{1,96^2×{60\%}×(1-{60\%})}{{4\%}^2}=576,24$$

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}=\frac{576,24}{1+\left(\frac{576,24-1}{12,000}\right)}=549,88\approx550$$

Với sự hỗ trợ của một máy tính kích thước mẫu, bạn có thể hoàn tất những phép tính phức tạp kể trên chỉ trong chớp mắt.

Công thức tính Biên độ sai số

Bạn có thể biến đổi công thức tính kích thước mẫu để suy ra công thức tính biên độ sai số.

Từ công thức tính kích thước mẫu tối thiểu:

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

Hãy chuyển E (biên độ sai số) sang vế trái của phương trình trên:

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

$${n₀}×{E}^2=z^2p\left(1-p\right)$$

$$E^2=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}$$

$$E=\sqrt{\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

Ví dụ 3

Trở lại ví dụ nghiên cứu sinh viên quốc tế đang theo học các chương trình Đại học tại Canada. Với giả định tỷ lệ sinh viên quốc tế chiếm 60% tổng thể. Giả sử chúng ta mong muốn mức độ tin cậy 95% và bạn chọn đúng 577 sinh viên cho nghiên cứu của mình. Vậy biên độ sai số của nghiên cứu này là bao nhiêu?

$$z_{{95\%}/2}=1,96$$

$$p=60\%$$

$$n₀=577$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n_0}}=1,96 \times \sqrt{\frac{60\% \times \left(1-60\%\right)}{577}}=4\%$$

Nếu tổng thể là hữu hạn, trước tiên bạn cần tính n₀ bằng công thức chuyển đổi sau:

$$n₀=\frac{n-nN}{n-N}$$

Sau đó, áp dụng kết quả vào công thức dưới đây để tính ra biên độ sai số:

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

Tính năng thứ hai của công cụ máy tính kích thước mẫu sẽ giúp bạn bỏ qua mọi công đoạn tính toán thủ công này và đưa ra biên độ sai số chính xác chỉ trong vài giây.

Công thức tính khoảng tin cậy

Khoảng tin cậy rất dễ xác định nếu bạn đã biết biên độ sai số. Bạn có thể sử dụng các công thức dưới đây để tính toán:

Khoảng tin cậy = Ước lượng điểm ± Biên độ sai số

Giới hạn trên của khoảng tin cậy = Ước lượng điểm + Biên độ sai số

Giới hạn dưới của khoảng tin cậy = Ước lượng điểm - Biên độ sai số

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình μ là:

x̄ - E < μ < x̄ + E

Trong đó, x̄ - E là giới hạn dưới và x̄ + E là giới hạn trên.

Khoảng tin cậy cho tỷ lệ P là:

p - E < P < p + E

Ví dụ 4

Bạn đang thực hiện nghiên cứu về chi phí học tập trung bình của sinh viên quốc tế tại Canada. Bạn đã chọn ngẫu nhiên một mẫu gồm 1.000 sinh viên. Dựa trên dữ liệu thu thập được, bạn ước lượng rằng chi phí trung bình của sinh viên quốc tế tại Canada là 20.000 CAD. Biên độ sai số được tính ra là 5.000 CAD. Hãy tìm khoảng tin cậy cho mức chi phí học tập trung bình này.

Giới hạn trên = x̄ + E = 20.000 CAD + 5.000 CAD = 25.000 CAD

Giới hạn dưới = x̄ - E = 20.000 CAD - 5.000 CAD = 15.000 CAD

Do đó, khoảng tin cậy của nghiên cứu là:

x̄ - E < μ < x̄ + E

15.000 CAD < μ < 25.000 CAD