Dezimal-zu-Bruch-Rechner

Dezimal-zu-Bruch-Rechner

Der Dezimal-zu-Bruch-Rechner ist ein benutzerfreundliches Online-Tool, das Dezimalzahlen schnell und präzise in echte Brüche oder gemischte Zahlen umwandelt. Der Bruchrechner verarbeitet sowohl endliche als auch periodische Dezimalzahlen als Eingabe und liefert das Ergebnis in Form eines gekürzten echten Bruchs oder einer gemischten Zahl.

Anleitung zur Verwendung des Bruchrechners

Um den Rechner zu nutzen, geben Sie einfach die gewünschte Zahl in Dezimalform ein. Tragen Sie anschließend die Anzahl der periodischen Nachkommastellen ein (siehe ausführliche Erklärung unten) und klicken Sie auf "Berechnen".

So geben Sie die Anzahl der periodischen Nachkommastellen ein

Periodische Nachkommastellen sind jene Ziffern nach dem Komma, die sich in einer Dezimalzahl unendlich oft wiederholen.

Nehmen wir zum Beispiel an, Sie möchten die periodische Dezimalzahl \$0,333\ldots=0,\bar{3}\$ umwandeln. In diesem Fall geben Sie zunächst 0,3 in das erste Feld ("Dezimalzahl eingeben") ein. Tragen Sie dann eine 1 in das zweite Eingabefeld ein, da diese Zahl nur eine sich wiederholende Nachkommastelle hat – die 3. (Das Ergebnis lautet \$\frac{1}{3}\$.)

Wenn Sie eine periodische Dezimalzahl wie \$0,454545\ldots=0,\bar{45}\$ eingeben möchten, tippen Sie zunächst 0,45 in das Feld "Dezimalzahl eingeben". Geben Sie anschließend eine 2 in das zweite Feld ein, da die Periode aus zwei Ziffern besteht – 45. (Das Ergebnis lautet in diesem Fall \$\frac{5}{11}\$.)

Für eine gemischt-periodische Dezimalzahl wie \$2,83333333\ldots=2,8\bar{3}\$ geben Sie zunächst 2,83 in das Feld "Dezimalzahl eingeben" ein. Tragen Sie dann eine 1 in das zweite Eingabefeld ein, da sich nur eine einzige Ziffer wiederholt – die 3. (Das Ergebnis lautet \$2\frac{5}{6}\$.)

Bei einer Dezimalzahl wie \$0,285714285714\ldots=0,\bar{285714}\$ geben Sie zunächst 0,285714 in das erste Feld ein. Tragen Sie dann eine 6 in das zweite Feld ein, da die Periode dieser Zahl aus sechs Ziffern besteht – 285714. (Das Ergebnis lautet \$\frac{2}{7}\$.)

Der Konverter akzeptiert sowohl positive als auch negative Dezimalzahlen.

Nach der Eingabe der Dezimalzahl und der Länge der Periode wandelt das Tool die Dezimalzahl in einen Bruch oder eine gemischte Zahl um. Zudem erhalten Sie neben dem Endergebnis auch einen detaillierten Rechenweg mit Erklärungen.

Wichtige Definitionen

Dezimalzahlen

Dezimalzahlen lassen sich in zwei große Gruppen unterteilen: endliche und unendliche Dezimalzahlen. Dezimalzahlen mit einer begrenzten Anzahl von Nachkommastellen bezeichnet man als endlich (oder abbrechend), da sie an einem bestimmten Punkt aufhören. Im Gegensatz dazu haben unendliche Dezimalzahlen unendlich viele Nachkommastellen. Diese unendlichen Zahlen lassen sich wiederum in zwei Untergruppen aufteilen: periodische und nicht-periodische Dezimalzahlen. Wenn sich eine oder mehrere Ziffern nach dem Komma unendlich oft wiederholen, spricht man von einer periodischen Dezimalzahl. Beispiele für solche Dezimalzahlen sind:

$$16,3333333\ldots=16,\bar{3}$$

oder

$$3,961961961\ldots=3,\overline{961}$$

Unendliche Dezimalzahlen, bei denen sich keine Ziffernfolge wiederholt, werden als nicht-periodische Dezimalzahlen (irrationale Zahlen) bezeichnet. Da man solche Zahlen niemals vollständig ausschreiben kann, ist es unmöglich, sie als exakte Eingabe für die Umwandlung von Dezimalzahlen in Brüche zu verwenden. Ein Beispiel für eine nicht-periodische Dezimalzahl ist:

$$6,7102984637\ldots$$

Brüche und gemischte Zahlen

Dieser Dezimal-zu-Bruch-Konverter wandelt die eingegebene Dezimalzahl in einen Bruch oder eine gemischte Zahl um. Wenn das Ergebnis ein Bruch ist, liefert der Rechner stets einen echten Bruch. Ein echter Bruch stellt einen Wert dar, der kleiner als 1 ist – was bedeutet, dass der Zähler kleiner als der Nenner ist. Beispiele für echte Brüche sind:

$$\frac{4}{9}\ oder \ \frac{3}{7}$$

Ein Bruch wird als unechter Bruch bezeichnet, wenn er einen Wert größer oder gleich 1 darstellt. In diesem Fall ist der Zähler größer oder gleich dem Nenner. Beispiele für unechte Brüche sind:

$$\frac{11}{7}\ oder \ \frac{13}{2}$$

Besteht eine Zahl aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch, spricht man von einer gemischten Zahl (oder einem gemischten Bruch). Beispiele für gemischte Zahlen sind:

$$3\frac{3}{5}\ oder \ 6\frac{17}{31}$$

Der Rechner gibt das Endergebnis immer entweder als gekürzten echten Bruch oder als gemischte Zahl aus.

Umrechnung von Dezimalzahlen in Brüche

Um eine Dezimalzahl manuell in einen Bruch oder eine gemischte Zahl umzuwandeln, gehen Sie folgendermaßen vor:

Jede Dezimalzahl x lässt sich als Bruch mit einer 1 im Nenner (\$\frac{x}{1}\$) darstellen. Schreiben Sie im ersten Schritt die gegebene Dezimalzahl als Bruch um, sodass die Zahl selbst im Zähler und eine 1 im Nenner steht.

Zählen Sie dann die Anzahl der Nachkommastellen und erweitern Sie den Bruch, indem Sie Zähler und Nenner mit der entsprechenden Zehnerpotenz multiplizieren. Hat Ihre Zahl n Nachkommastellen, müssen Zähler und Nenner mit \${10}^n\$ multipliziert werden.

Ermitteln Sie anschließend den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner des entstandenen Bruchs. Kürzen Sie den Bruch vollständig, indem Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner durch den ggT dividieren.

Sollten Sie nach dem Kürzen einen unechten Bruch erhalten, wandeln Sie diesen abschließend in eine gemischte Zahl um.

Rechenbeispiel (endliche Dezimalzahlen)

Wandeln wir als Beispiel die Dezimalzahl 0,125 in einen Bruch um. Wenn wir die oben genannten Schritte anwenden, sieht das so aus:

Wir stellen die Zahl zunächst als Bruch mit 1 im Nenner dar:

$$0,125=\frac{0,125}{1}$$

Diese Dezimalzahl hat 3 Ziffern nach dem Komma (125). Daher müssen wir Zähler und Nenner mit \${10}^3\$ (also 1000) multiplizieren:

$$\frac{0,125}{1}×\frac{1000}{1000}=\frac{125}{1000}$$

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) von Zähler und Nenner ist 125. Um den Bruch zu kürzen, dividieren wir folglich beide Werte durch 125:

$$\frac{125\div125}{1000\div125}=\frac{1}{8}$$

Das Ergebnis ist bereits ein echter Bruch. Es ist keine weitere Vereinfachung nötig.

Antwort: \$0,125=\frac{1}{8}\$

Umwandlung von Dezimalzahlen in Brüche (periodische Dezimalzahlen)

Um eine periodische Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, gehen Sie wie folgt vor:

Stellen Sie eine Gleichung auf, in der eine Variable (z. B. x) gleich der Dezimalzahl gesetzt wird. Notieren Sie die periodischen Ziffern dabei mit dem Überstrich. Wenn Sie beispielsweise die Dezimalzahl \$5,61111\ldots=5,6\bar{1}\$ haben, lautet die Gleichung:

$$x=5,6\bar{1}$$

Bestimmen Sie die Anzahl der Ziffern innerhalb der Periode (n) und multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \${10}^n\$. In unserem Fall gibt es nur eine sich wiederholende Ziffer, nämlich die 1. Daher müssen beide Seiten mit \${10}^1=10\$ multipliziert werden:

$$10x=56,1\bar{1}$$

Subtrahieren Sie nun die erste Gleichung von der zweiten. In unserem Beispiel erhalten wir:

$$10x=56,1\bar{1}$$

$$x=5,6\bar{1}$$

$$9x=50,5$$

Wenn wir diese Gleichung nach x auflösen, erhalten wir:

$$x=\frac{50,5}{9}$$

Um das Komma im Zähler zu eliminieren, erweitern Sie den Bruch, indem Sie Zähler und Nenner mit 10 hoch n multiplizieren, wobei n die Anzahl der Nachkommastellen im Zähler ist. In unserem Fall gibt es nur eine Stelle nach dem Komma – die 5. Wir multiplizieren also mit 10:

$$\frac{50,5}{9}×\frac{10}{10}=\frac{505}{90}$$

Ermitteln Sie anschließend den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner. Kürzen Sie den Bruch, indem Sie beide Werte durch den ggT dividieren. In unserem Fall ist der ggT 5:

$$\frac{505\div5}{90\div5}=\frac{101}{18}$$

Da es sich um einen unechten Bruch handelt, wandeln wir ihn im letzten Schritt in eine gemischte Zahl um:

$$\frac{101}{18}=5\frac{11}{18}$$

Daraus folgt das Endergebnis: \$5,6\bar{1}=5\frac{11}{18}\$.