Калькулятор перевода десятичной дроби в простую дробь

Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную (простую)

Калькулятор перевода десятичных дробей в обыкновенные — это удобный и быстрый онлайн-инструмент. Он принимает на вход конечные, а также бесконечные периодические десятичные дроби, моментально преобразуя их в правильную обыкновенную дробь или смешанное число.

Инструкция по использованию калькулятора

Чтобы воспользоваться онлайн-калькулятором, введите исходное число в десятичном формате в первое поле. Если дробь является периодической (подробное объяснение приведено ниже), укажите количество цифр в ее периоде во втором поле и нажмите кнопку «Вычислить». Для сброса всех введенных данных используйте кнопку «Очистить».

Как вводить периодические десятичные дроби

Период десятичной дроби (повторяющиеся десятичные знаки) — это цифра или последовательность цифр после запятой, которые бесконечно повторяются в записи числа.

Например, вам нужно перевести периодическую десятичную дробь \$0,333\ldots=0,\bar{3}\$. В этом случае сначала введите 0,3 в поле «Введите десятичное число». Затем введите 1 во второе поле, так как в периоде повторяется только одна цифра — 3. (Результат вычисления составит \$\frac{1}{3}\$).

Если необходимо ввести периодическую дробь вида \$0,454545\ldots=0,\bar{45}\$, сначала введите 0,45 в первое поле, а затем укажите 2 во втором поле, поскольку период состоит из двух цифр — 45. (Ответ будет \$\frac{5}{11}\$).

Для десятичной дроби, такой как \$2,83333333\ldots=2,8\bar{3}\$, введите 2,83 в поле для десятичного числа, а затем введите 1 во второе поле, так как бесконечно повторяется только один знак — 3. (Ответ составит \$2\frac{5}{6}\$).

В случае с дробью \$0,285714285714\ldots=0,\bar{285714}\$, введите 0,285714 в первое поле и 6 — во второе, поскольку период содержит шесть знаков после запятой (285714). (Результат составит \$\frac{2}{7}\$).

Калькулятор успешно работает как с положительными, так и с отрицательными числами.

После ввода десятичной дроби и количества цифр в периоде инструмент выполнит перевод в обыкновенную дробь или смешанное число и выведет ответ вместе с подробным пошаговым решением.

Важные математические определения

Десятичные дроби

Десятичные дроби принято делить на две большие группы: конечные и бесконечные. Дроби с ограниченным количеством знаков после запятой называются конечными, так как их запись в определенный момент заканчивается. Дроби, имеющие бесконечное число знаков после запятой, называются бесконечными.

Бесконечные дроби, в свою очередь, делятся на периодические и непериодические. Если определенная цифра или группа цифр после запятой бесконечно повторяется, такое число называется периодической десятичной дробью. Примеры таких дробей:

$$16,3333333\ldots=16,\bar{3}$$

или

$$3,961961961\ldots=3,\bar{961}$$

Бесконечные десятичные дроби, в которых цифры после запятой не образуют повторяющейся последовательности, называются непериодическими. Такие числа невозможно записать цифрами до конца, поэтому их нельзя перевести в обыкновенную дробь с помощью данного алгоритма, и калькулятор их не обрабатывает. Пример непериодической десятичной дроби (число Пи):

$$6,7102984637\ldots$$

Обыкновенные дроби и смешанные числа

Наш конвертер переводит заданное десятичное число в формат обыкновенной (простой) дроби или смешанного числа. Калькулятор всегда стремится использовать правильную дробь — такую, где числитель строго меньше знаменателя (число по модулю меньше 1). Примеры правильных дробей:

$$\frac{4}{9}\ или \ \frac{3}{7}$$

Дробь называется неправильной, если она представляет собой число, большее или равное 1. В такой дроби числитель больше знаменателя или равен ему. Примеры неправильных дробей:

$$\frac{11}{7}\ или \ \frac{13}{2}$$

Если число состоит из целой части и правильной дроби, оно называется смешанным числом. Примеры смешанных чисел:

$$3\frac{3}{5}\ или \ 6\frac{17}{31}$$

В качестве итогового ответа калькулятор выдает либо правильную дробь, либо смешанное число.

Алгоритм перевода конечных десятичных дробей в обыкновенные

Чтобы преобразовать конечную десятичную дробь в обыкновенную или в смешанное число, выполните следующие математические действия:

Любое десятичное число x можно представить в виде дроби со знаменателем 1: \$\frac{x}{1}\$. На первом этапе запишите исходное число в виде дроби, где числителем будет само число, а знаменателем — единица.

Подсчитайте количество знаков после запятой и умножьте числитель и знаменатель на 10 в соответствующей степени. Если число имеет n знаков после запятой, обе части дроби нужно умножить на \${10}^n\$.

Найдите наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя получившейся дроби. Сократите дробь, разделив и числитель, и знаменатель на их НОД.

Если после сокращения у вас получилась неправильная дробь (числитель больше знаменателя), выделите целую часть, преобразовав ее в смешанное число.

Пример вычисления для конечной десятичной дроби

Переведем десятичную дробь 0,125 в простую (обыкновенную) дробь. Следуя описанному выше алгоритму, мы получим:

Представим число в виде дроби с единицей в знаменателе:

$$0,125=\frac{0,125}{1}$$

У этого числа 3 знака после запятой (125). Следовательно, нам нужно умножить числитель и знаменатель на \${10}^3\$ (то есть на 1000):

$$\frac{0,125}{1}×\frac{1000}{1000}=\frac{125}{1000}$$

Наибольший общий делитель (НОД) для чисел 125 и 1000 равен 125. Чтобы сократить эту дробь, разделим числитель и знаменатель на 125:

$$\frac{125\div125}{1000\div125}=\frac{1}{8}$$

В результате получилась правильная несократимая дробь. Дальнейшее упрощение не требуется.

Ответ: \$0,125=\frac{1}{8}\$

Алгоритм перевода бесконечных периодических дробей в обыкновенные

Чтобы перевести периодическую десятичную дробь в обыкновенную, используйте следующий метод:

Составьте уравнение, в котором переменная (например, x) равна десятичному числу. При этом повторяющиеся цифры (период) запишите только один раз. Например, для бесконечной дроби \$5,61111\ldots=5,6\bar{1}\$ уравнение будет выглядеть так:

$$x=5,6\bar{1}$$

Определите количество цифр в периоде (обозначим как n) и умножьте обе части уравнения на \${10}^n\$. В нашем примере в периоде только одна цифра — 1. Поэтому обе стороны уравнения нужно умножить на \${10}^1=10\$:

$$10x=56,1\bar{1}$$

Вычтите первое уравнение из второго. В нашем примере получается следующее:

$$10x=56,1\bar{1}$$

$$x=5,6\bar{1}$$

$$9x=50,5$$

Выразив x из полученного уравнения, получаем:

$$x=\frac{50,5}{9}$$

Чтобы избавиться от запятой в числителе, умножьте числитель и знаменатель на 10 в степени, равной количеству знаков после запятой в числителе. В нашем случае после запятой стоит только одна цифра (5), поэтому умножаем на 10:

$$\frac{50,5}{9}×\frac{10}{10}=\frac{505}{90}$$

Найдите наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя и сократите дробь. В данном случае НОД равен 5:

$$\frac{505\div5}{90\div5}=\frac{101}{18}$$

Поскольку получилась неправильная дробь, выделим из нее целую часть, преобразовав в смешанное число:

$$\frac{101}{18}=5\frac{11}{18}$$

Итоговый ответ: \$5,6\bar{1}=5\frac{11}{18}\$.