दशमलव से भिन्न गणक

दशमलव से भिन्न कैलकुलेटर

दशमलव से भिन्न कैलकुलेटर एक उपयोग करने में बेहद आसान ऑनलाइन टूल है, जो दशमलव संख्याओं (decimal numbers) को उचित भिन्न (proper fractions) या मिश्रित संख्याओं (mixed numbers) में आसानी से बदल देता है। यह कैलकुलेटर इनपुट के रूप में शांत (terminating) या असांत आवर्ती (repeating) दशमलव को स्वीकार करता है और सटीक उत्तर को उचित भिन्न या मिश्रित संख्या के रूप में प्रस्तुत करता है।

इस भिन्न कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

इस कैलकुलेटर का उपयोग करने के लिए, सबसे पहले अपनी दी गई संख्या को दशमलव रूप में दर्ज करें (enter करें)। इसके बाद, दोहराए जाने वाले (repeating) दशमलव अंकों की संख्या दर्ज करें (नीचे स्पष्टीकरण देखें) और "कैलकुलेट" (Calculate) बटन पर क्लिक करें। दर्ज किए गए सभी मानों को हटाने के लिए, "क्लियर" (Clear) पर क्लिक करें।

दोहराए जाने वाले (Repeating) दशमलव स्थानों की संख्या कैसे दर्ज करें

दोहराए जाने वाले या आवर्ती (recurring) दशमलव अंक, दशमलव बिंदु (decimal point) के बाद के वे अंक होते हैं जो किसी संख्या में अनंत (infinite) रूप से बार-बार आते हैं।

उदाहरण के लिए, मान लें कि आपको आवर्ती दशमलव \$0.333\ldots=0.\bar{3}\$ दर्ज करना है। इस स्थिति में, सबसे पहले "दशमलव संख्या दर्ज करें" (Enter decimal number) फ़ील्ड में 0.3 दर्ज करें। इसके बाद, दूसरे इनपुट फ़ील्ड में 1 दर्ज करें, क्योंकि इस संख्या में दशमलव के बाद केवल एक ही अंक है जो दोहराया जा रहा है, और वह है - 3। (इसका उत्तर \$\frac{1}{3}\$ होगा।)

यदि आपको \$0.454545\ldots=0.\bar{45}\$ जैसा कोई आवर्ती दशमलव दर्ज करना है, तो पहले "दशमलव संख्या दर्ज करें" फ़ील्ड में 0.45 दर्ज करें। फिर दूसरे इनपुट फ़ील्ड में 2 दर्ज करें, क्योंकि इस संख्या में दशमलव के बाद दो अंक दोहराए जा रहे हैं - 45। (इसका उत्तर \$\frac{5}{11}\$ होगा।)

यदि आपको \$2.83333333\ldots=2.8\bar{3}\$ जैसा कोई दशमलव दर्ज करना है, तो पहले "दशमलव संख्या दर्ज करें" फ़ील्ड में 2.83 दर्ज करें। उसके बाद, दूसरे इनपुट फ़ील्ड में 1 दर्ज करें, क्योंकि इस संख्या में दशमलव के बाद केवल एक ही अंक दोहराया जा रहा है - 3। (इसका उत्तर \$2\frac{5}{6}\$ होगा।)

\$0.285714285714\ldots=0.\bar{285714}\$ जैसे दशमलव के लिए, सबसे पहले "दशमलव संख्या दर्ज करें" फ़ील्ड में 0.285714 दर्ज करें। फिर दूसरे इनपुट फ़ील्ड में 6 दर्ज करें, क्योंकि इस संख्या में दशमलव के बाद छह अंक दोहराए जा रहे हैं - 285714। (इसका उत्तर \$\frac{2}{7}\$ होगा।)

यह कैलकुलेटर धनात्मक (positive) और ऋणात्मक (negative) दोनों प्रकार की दशमलव संख्याओं को इनपुट के रूप में स्वीकार करता है।

आपके द्वारा दशमलव और दोहराए जाने वाले दशमलव अंकों की संख्या दर्ज करने के बाद, यह कैलकुलेटर तुरंत इसे एक भिन्न या मिश्रित संख्या में बदल देगा। साथ ही, यह अंतिम उत्तर के साथ-साथ समाधान की चरण-दर-चरण (step-by-step) विस्तृत व्याख्या भी प्रदर्शित करेगा।

महत्वपूर्ण गणितीय परिभाषाएँ

दशमलव संख्याएँ (Decimal Numbers)

दशमलव संख्याओं को मुख्य रूप से दो बड़े समूहों में बांटा जा सकता है: शांत (Terminating) और असांत (Non-terminating) दशमलव संख्याएँ। वे दशमलव संख्याएँ जिनमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या सीमित होती है, शांत दशमलव कहलाती हैं, क्योंकि वे एक निश्चित बिंदु पर आकर समाप्त हो जाती हैं या रुक जाती हैं। इसके विपरीत, जिन दशमलव संख्याओं में दशमलव बिंदु के बाद अनंत अंक होते हैं, उन्हें असांत दशमलव कहा जाता है। इन असांत संख्याओं को आगे दो और समूहों में बांटा जा सकता है: आवर्ती (Repeating) और अनावर्ती (Non-repeating)। यदि दशमलव बिंदु के बाद के कुछ अंक अनंत रूप से बार-बार आते हैं, तो ऐसी संख्या को असांत आवर्ती दशमलव कहा जाता है। ऐसे दशमलवों के उदाहरण नीचे दिए गए हैं:

$$16.3333333\ldots=16.\bar{3}$$

या फिर:

$$3.961961961\ldots=3.\bar{9}61$$

ऐसी असांत दशमलव संख्याएँ, जहाँ दशमलव बिंदु के बाद का हर अंक अलग होता है और कोई निश्चित पैटर्न नहीं दोहराता, अनावर्ती (Non-repeating) दशमलव संख्याएँ कहलाती हैं। आप ऐसी संख्याओं को कभी भी पूर्ण रूप से नहीं लिख सकते। इसीलिए, दशमलव से भिन्न में बदलने वाले कैलकुलेटर में इन्हें इनपुट के रूप में उपयोग करना संभव नहीं है। अनावर्ती दशमलव का एक उदाहरण इस प्रकार है:

$$6.7102984637\ldots$$

भिन्न (Fractions) और मिश्रित संख्याएँ (Mixed Numbers)

यह दशमलव से भिन्न कन्वर्टर (Decimal to Fraction Converter) दी गई दशमलव संख्या को भिन्न या मिश्रित संख्या के रूप में बदलता है। जब उत्तर भिन्न के रूप में होता है, तो यह कैलकुलेटर हमेशा उचित भिन्न (Proper Fraction) का ही उपयोग करता है। उचित भिन्न वह होती है जिसका मान 1 से कम होता है, जिसका सीधा अर्थ यह है कि इसका अंश (Numerator), इसके हर (Denominator) से हमेशा छोटा होगा। उचित भिन्नों के कुछ उदाहरण इस प्रकार हैं:

$$\frac{4}{9}\ or \ \frac{3}{7}$$

किसी भिन्न को अनुचित भिन्न (Improper Fraction) तब कहा जाता है जब वह 1 के बराबर या उससे बड़ी संख्या को दर्शाती है। इसका अर्थ यह है कि ऐसी भिन्न में अंश (Numerator), हर (Denominator) के बराबर या उससे बड़ा होगा। अनुचित भिन्नों के उदाहरण इस प्रकार हैं:

$$\frac{11}{7}\ or \ \frac{13}{2}$$

यदि किसी संख्या में एक पूर्ण संख्या (Whole number) और एक उचित भिन्न दोनों शामिल हों, तो उसे मिश्रित संख्या (Mixed Number) कहा जाता है। मिश्रित संख्याओं के उदाहरण इस प्रकार हैं:

$$3\frac{3}{5}\ or \ 6\frac{17}{31}$$

यह कैलकुलेटर हमेशा एक उचित भिन्न या फिर एक मिश्रित संख्या के रूप में ही अपना अंतिम उत्तर प्रदर्शित करेगा।

दशमलव को भिन्न में कैसे बदलें (How to Convert Decimal to Fraction)

किसी भी दशमलव को भिन्न या मिश्रित संख्या में बदलने के लिए, आपको नीचे दिए गए गणितीय चरणों का पालन करना होगा:

किसी भी दशमलव संख्या x को एक भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ उसके हर (denominator) में 1 होता है, जैसे: \$\frac{x}{1}\$। पहले चरण के तौर पर, दी गई दशमलव संख्या को भिन्न के रूप में लिखें, जिसमें वह संख्या अंश (numerator) बनेगी और 1 उसका हर होगा।

इसके बाद, दशमलव बिंदु के बाद मौजूद अंकों की संख्या गिनें। फिर अंश और हर दोनों को 10 की उतनी ही घात (power) से गुणा करें। उदाहरण के लिए, यदि आपकी संख्या में दशमलव बिंदु के बाद n अंक हैं, तो भिन्न के अंश और हर दोनों को \${10}^n\$ से गुणा किया जाना चाहिए।

अब, परिणामी भिन्न के अंश और हर का महत्तम समापवर्तक (Greatest Common Factor - GCF) ज्ञात करें। इसके बाद, अंश और हर दोनों को इस GCF से भाग देकर भिन्न को उसके सबसे सरल रूप (simplest form) में ले आएं।

यदि, इस सरलीकरण के बाद, आपको एक अनुचित भिन्न (Improper fraction) प्राप्त होती है, तो उसे भाग देकर एक मिश्रित संख्या में बदल लें।

गणना का उदाहरण (शांत दशमलव / Terminating Decimal)

आइए, एक दशमलव संख्या 0.125 को भिन्न में बदलें। ऊपर बताए गए चरणों का पालन करते हुए, हम इसे इस प्रकार हल करेंगे:

सबसे पहले, संख्या को हर में 1 रखकर एक भिन्न के रूप में लिखें:

$$0.125=\frac{0.125}{1}$$

इस संख्या में दशमलव बिंदु के बाद 3 अंक (125) हैं। इसलिए, हमें अंश और हर दोनों को ${10}^3$ (यानी 1000) से गुणा करना होगा:

$$\frac{0.125}{1}×\frac{1000}{1000}=\frac{125}{1000}$$

यहाँ अंश और हर का महत्तम समापवर्तक (GCF) 125 है। इसलिए, इस भिन्न को सरल बनाने के लिए, हमें अंश और हर दोनों को 125 से विभाजित (divide) करना होगा:

$$\frac{125\div125}{1000\div125}=\frac{1}{8}$$

यह परिणाम पहले से ही एक उचित भिन्न है। इसलिए, इसे आगे और सरल करने की आवश्यकता नहीं है।

उत्तर: \$0.125=\frac{1}{8}\$

दशमलव को भिन्न में बदलना (असांत आवर्ती दशमलव / Repeating Decimal)

किसी आवर्ती दशमलव (Repeating decimal) को भिन्न में बदलने के लिए आपको नीचे दिए गए गणितीय चरणों का पालन करना होगा:

सबसे पहले एक समीकरण (equation) लिखें जहाँ एक चर (variable, जैसे कि x) उस दशमलव संख्या के बराबर हो। इसमें दोहराए जाने वाले अंकों को केवल एक बार लिखें और उस पर बार लगाएँ। उदाहरण के लिए, यदि आपकी दशमलव संख्या \$5.61111\ldots=5.6\bar{1}\$ है, तो समीकरण इस प्रकार बनेगा:

$$x=5.6\bar{1}$$

अब यह पहचानें कि दोहराए जाने वाले दशमलव समूह में कितने अंक (n) हैं। फिर समीकरण के दोनों पक्षों को \${10}^n\$ से गुणा करें। हमारे उदाहरण में, केवल एक ही अंक दोहराया जा रहा है, और वह है: 1। इसलिए, हमें समीकरण के दोनों पक्षों को \${10}^1=10\$ से गुणा करना होगा:

$$10x=56.1\bar{1}$$

अब पहले समीकरण को दूसरे समीकरण में से घटाएं। हमारे उदाहरण के अनुसार, हमें यह प्राप्त होगा:

$$10x=56.1\bar{1}$$

$$x=5.6\bar{1}$$

$$9x=50.5$$

अब x का मान निकालने पर, हमें मिलता है:

$$x=\frac{50.5}{9}$$

अंश में से दशमलव को हटाने के लिए, संख्या के अंश और हर को 10 की घात n से गुणा करें, जहाँ n दशमलव बिंदु के बाद के अंकों की संख्या है। हमारे मामले में, अंश में दशमलव बिंदु के बाद केवल एक अंक है – 5। इसलिए, हमें 10 से गुणा करने की आवश्यकता है:

$$\frac{50.5}{9}×\frac{10}{10}=\frac{505}{90}$$

अब परिणामी भिन्न के अंश और हर का महत्तम समापवर्तक (GCF) ज्ञात करें और अंश व हर को GCF से भाग देकर भिन्न को सरल करें। हमारे मामले में, GCF 5 है, इसलिए:

$$\frac{505\div5}{90\div5}=\frac{101}{18}$$

अंत में, इस अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलकर सरल करें:

$$\frac{101}{18}=5\frac{11}{18}$$

निष्कर्ष के तौर पर, \$5.6\bar{1}=5\frac{11}{18}\$