Gleichwertige Brüche Rechner

Dieser Rechner ermittelt gleichwertige (äquivalente) Brüche für vorgegebene Brüche, ganze Zahlen sowie gemischte Zahlen. Dabei werden sowohl positive als auch negative Eingabewerte unterstützt. Um äquivalente Brüche für ganze oder gemischte Zahlen zu berechnen, wandelt der Bruchrechner diese im ersten Schritt automatisch in gewöhnliche Brüche um. Somit eignet sich dieses Tool nicht nur für komplexe Umwandlungen, sondern dient auch als vielseitiger und praktischer Bruchrechner.

Anleitung zur Benutzung

Geben Sie einfach den gewünschten Wert in das Eingabefeld ein und klicken Sie auf „Calculate“ (Berechnen), um die Ergebnisse sofort zu erhalten.

Zulässige Eingabewerte

Unser Rechner für äquivalente Brüche verarbeitet folgende Zahlenformate:

1. Echte Brüche. Zum Beispiel \$\frac{1}{3}\$ oder \$-\frac{16}{32}\$. Beachten Sie, dass die Brüche vor der Eingabe nicht gekürzt (vereinfacht) werden müssen.
2. Unechte Brüche. Zum Beispiel \$-\frac{5}{2}\$ oder \$\frac{16}{8}\$.
3. Gemischte Zahlen. Trennen Sie bei der Eingabe einer gemischten Zahl die ganze Zahl durch ein Leerzeichen vom Bruch. Beispiel: \$2\frac{2}{3}\$ oder \$5\frac{9}{2}\$. Der Bruchteil der gemischten Zahl darf dabei sowohl echt als auch unecht sein.
4. Ganze Zahlen (mit Ausnahme der Null). Zum Beispiel 92 oder -1.

Definition: Was sind äquivalente Brüche?

Gleichwertige (äquivalente) Brüche sind Brüche, die exakt denselben mathematischen Wert repräsentieren, obwohl sie aus unterschiedlichen Zählern und Nennern bestehen. So ist beispielsweise der Bruch \$\frac{1}{2}\$ äquivalent zu \$\frac{4}{8}\$ – der Anteil, den sie beschreiben, bleibt unverändert.

So ermitteln Sie äquivalente Brüche

Um gleichwertige Brüche zu berechnen, müssen Sie den Zähler und den Nenner des Ausgangsbruchs mit derselben Zahl multiplizieren (Erweitern) oder durch dieselbe Zahl dividieren (Kürzen). Dieser Vorgang ist nur dann gültig, wenn beide resultierenden Zahlen ganze Zahlen bleiben (es dürfen keine Dezimalzahlen oder Doppelbrüche entstehen).

Möchten Sie beispielsweise äquivalente Brüche für \$\frac{1}{2}\$ finden, können Sie Zähler und Nenner fortlaufend mit einer beliebigen ganzen Zahl multiplizieren.

Im folgenden Beispiel ermitteln wir äquivalente Brüche zu \$\frac{1}{2}\$, indem wir jeweils mit 4 erweitern:

\$\frac{1}{2}\$ = \$\frac{1 × 4}{2 × 4}\$ = \$\frac{4}{8}\$ = \$\frac{16}{32}\$ = \$\frac{64}{128}\$ …

Da sich dieser Multiplikationsprozess (das Erweitern) theoretisch unendlich fortsetzen lässt, besitzt jeder Bruch eine unendliche Anzahl an gleichwertigen Brüchen.

Weil äquivalente Brüche stets durch Multiplikation oder Division mit demselben Faktor gebildet werden, ist der vollständig gekürzte Bruch (die Grundform) bei allen gleichwertigen Brüchen identisch.

Daraus folgt logischerweise auch: Zwei Brüche, die in ihrer vollständig gekürzten Form unterschiedlich sind, können niemals äquivalent sein.

Überprüfen, ob zwei Brüche gleichwertig sind

Um schnell festzustellen, ob zwei Brüche gleichwertig sind, können Sie die Methode der Kreuzmultiplikation anwenden. Die Brüche sind genau dann äquivalent, wenn ihre Kreuzprodukte identisch sind.

Beispiel 1

Prüfen wir, ob \$\frac{1}{3}\$ und \$\frac{4}{11}\$ gleichwertig sind. Um das Kreuzprodukt zu berechnen, multiplizieren Sie den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs – und umgekehrt den Nenner des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs:

$$\frac{1}{3}\ und\ \frac{4}{11}$$

Die Kreuzprodukte ergeben hier (1 × 11) = 11 sowie (3 × 4) = 12. Da 11 ≠ 12 ist, gilt folglich \$\frac{1}{3}\$ ≠ \$\frac{4}{11}\$. Die beiden untersuchten Brüche sind somit nicht gleichwertig.

Beispiel 2

Welcher dieser beiden Brüche ist äquivalent zu \$\frac{2}{3}\$: \$\frac{12}{18}\$ oder \$\frac{12}{19}\$?

Um diese Frage zu beantworten, vergleichen wir die Kreuzprodukte der beiden Bruch-Paare:

$$\frac{2}{3}\ und\ \frac{12}{18}$$

$$\frac{2}{3}\ und\ \frac{12}{19}$$

Die Kreuzprodukte von \$\frac{2}{3}\$ und \$\frac{12}{18}\$ lauten (2 × 18) = 36 und (3 × 12) = 36. Da beide Ergebnisse übereinstimmen, sind \$\frac{2}{3}\$ und \$\frac{12}{18}\$ gleichwertige (äquivalente) Brüche.

Die Kreuzprodukte von \$\frac{2}{3}\$ und \$\frac{12}{19}\$ ergeben hingegen (2 × 19) = 38 und (3 × 12) = 36. Da 38 ≠ 36 ist, sind \$\frac{2}{3}\$ und \$\frac{12}{19}\$ nicht gleichwertig.

Ein praktisches Berechnungsbeispiel aus dem Alltag

Im Alltag und in der Mathematik ist das Finden äquivalenter Brüche von großem Nutzen – insbesondere dann, wenn wir Brüche mit unterschiedlichen Nennern, gemischte Zahlen oder ganze Zahlen addieren, subtrahieren oder miteinander vergleichen möchten (sogenanntes Gleichnamigmachen).

Pizza gerecht aufteilen

Schauen wir uns ein einfaches und anschauliches Beispiel an: das Schneiden einer Pizza. Stellen Sie sich vor, Sie und ein Freund haben eine Pizza bestellt, die leider ungeschnitten geliefert wird. Sie möchten die Pizza gerecht unter sich aufteilen. Es ist jedoch unpraktisch, sie einfach nur in zwei riesige Hälften zu schneiden. In wie viele kleinere Stücke können Sie die Pizza stattdessen schneiden, und wie viele Stücke bekommt dann jeder?

Lösungsansatz 1

Logischerweise sollte jeder von Ihnen am Ende genau die Hälfte der Pizza erhalten, was mathematisch \$\frac{1}{2}\$ entspricht. Um sinnvolle Schnittgrößen zu finden, suchen wir nach Brüchen, die genau diesem Wert von \$\frac{1}{2}\$ entsprechen. Dafür multiplizieren (erweitern) wir Zähler und Nenner von \$\frac{1}{2}\$ schrittweise mit 2 und erhalten:

\$\frac{1}{2}\$ = \$\frac{1 × 2}{2 × 2}\$ = \$\frac{2}{4}\$ = \$\frac{4}{8}\$ = \$\frac{8}{16}\$ …

Das bedeutet konkret: Sie können die Pizza in 4 Stücke schneiden, sodass jeder 2 Stücke erhält. Sie können die Pizza auch feiner in 8 Stücke schneiden, dann bekommt jeder 4 Stücke. Oder Sie zerteilen sie in 16 Stücke, sodass jeder 8 Stücke essen kann. Eine Pizza in noch mehr als 16 Stücke zu zerschneiden, wäre für den normalen Verzehr unpraktisch, daher belassen wir es bei diesen Optionen.

Lösungsansatz 2

Sie können dieses Problem natürlich auch flexibler lösen, indem Sie den ursprünglichen Bruch jeweils mit aufsteigenden Zahlen multiplizieren:

\$\frac{1}{2}\$ = \$\frac{1 × 2}{(2 × 2}\$ = \$\frac{2}{4}\$ = \$\frac{1 × 2}{2 × 2}\$ = \$\frac{3}{6}\$ = \$\frac{1 × 3}{2 × 3}\$ = \$\frac{4}{8}\$ = \$\frac{1 × 4}{2 × 4}\$ = \$\frac{5}{10}\$ = \$\frac{1 × 5}{2 × 5}\$ = \$\frac{6}{12}\$ = \$\frac{1 × 6}{2 × 6}\$ = \$\frac{7}{14}\$ = \$\frac{1 × 7}{2 × 7}\$ = \$\frac{8}{16}\$ = \$\frac{1 × 8}{2 × 8}\$ …

Bei dieser Vorgehensweise stimmen einige der ermittelten Brüche mit denen aus dem ersten Lösungsansatz überein, andere kommen neu hinzu. Neben den bekannten Optionen \$\frac{2}{4}\$, \$\frac{4}{8}\$ und \$\frac{8}{16}\$ erhalten wir nun auch die zusätzlichen Aufteilungen 3/6, 5/10, 6/12 und 7/14.

In der Praxis heißt das: Sie könnten die Pizza auch in 6 Stücke schneiden (jeder isst 3); in 10 Stücke (jeder isst 5); oder in 12 Stücke (jeder isst 6) und so weiter. Obwohl sich diese mathematische Reihe theoretisch unendlich fortsetzen ließe, haben wir hier nur die Varianten aufgelistet, die für das reale Zerteilen einer Pizza sinnvoll sind.

Antwort

\$\frac{1}{2}\$ = \$\frac{2}{4}\$ = \$\frac{3}{6}\$ = \$\frac{4}{8}\$ = \$\frac{5}{10}\$ = \$\frac{6}{12}\$ = \$\frac{7}{14}\$ = \$\frac{8}{16}\$ …

In all diesen gleichwertigen Brüchen repräsentiert der Nenner die Gesamtzahl der Pizzastücke, während der jeweilige Zähler angibt, wie viele Stücke jedem von Ihnen zustehen.