Eşdeğer Kesirler Hesaplama Makinesi

Bu eşdeğer kesir hesaplama aracı; girdiğiniz basit kesirlerin, tam sayıların ve tam sayılı kesirlerin eşdeğer (denk) kesirlerini hızlıca bulmanızı sağlar. Girilen değerler pozitif veya negatif olabilir. Tam sayıların ve tam sayılı kesirlerin denk kesirlerini bulmak için aracımız, öncelikle bunları bileşik kesre dönüştürür. Girdiğiniz değer halihazırda bir kesirse, bu aracı pratik bir kesir dönüştürücü olarak da kullanabilirsiniz.

Kullanım Talimatları

Hesaplama aracını kullanmak oldukça basittir; işlem yapmak istediğiniz değeri ilgili alana girin ve "Hesapla" butonuna tıklayın.

Desteklenen Girdi Türleri ve Kurallar

Bu hesaplama aracı aşağıdaki sayı türlerini girdi olarak kabul eder:

1. Basit kesirler (Düzgün kesirler). Örneğin, \$\frac{1}{3}\$ veya \$-\frac{16}{32}\$. Kesirlerin önceden sadeleştirilmiş olması gerekmez.
2. Bileşik kesirler (Düzgün olmayan kesirler). Örneğin, \$-\frac{5}{2}\$ veya \$\frac{16}{8}\$.
3. Tam sayılı kesirler (Karışık sayılar). Tam sayılı bir kesir girerken, tam sayı kısmı ile kesir kısmı arasına bir boşluk bırakın. Örneğin, \$2\frac{2}{3}\$ veya \$5\frac{9}{2}\$. Kesrin küsuratlı kısmı basit veya bileşik kesir olabilir.
4. Sıfır hariç tam sayılar. Örneğin, 92 veya -1.

Tanımlar

Eşdeğer (Denk) kesirler, farklı sayılarla ifade edilmelerine rağmen matematiksel olarak aynı değeri taşıyan kesirlerdir. Örneğin, \$\frac{1}{2}\$ ile \$\frac{4}{8}\$ farklı sayılardan oluşsa da birbirine eşdeğerdir ve aynı bütünü temsil eder.

Eşdeğer Kesirler Nasıl Bulunur?

Bir kesrin eşdeğerini bulmak (kesri genişletmek veya sadeleştirmek) için, payını ve paydasını aynı sayı ile çarpın veya bölün. Bu işlem sonucunda elde edilen yeni pay ve paydanın mutlaka tam sayı olması (ondalıklı olmaması) gerekir.

Örneğin, \$\frac{1}{2}\$ kesrinin denk kesirlerini bulmak istiyorsanız, pay ve paydayı her ikisi de tam sayı kalacak şekilde DİLEDİĞİNİZ herhangi bir sayı ile çarpabilirsiniz.

\$\frac{1}{2}\$ kesrini sürekli 4 ile genişleterek (çarparak) denk kesirlerini yazalım:

\$\frac{1}{2}\$ = \$\frac{1 × 4}{2 × 4}\$ = \$\frac{4}{8}\$ = \$\frac{16}{32}\$ = \$\frac{64}{128}\$ …

Çarpma (genişletme) işlemi sonsuza kadar devam edebileceğinden, her kesrin sonsuz sayıda eşdeğer kesri vardır.

Eşdeğer kesirler, orijinal kesrin pay ve paydasının aynı sayıyla çarpılması veya bölünmesiyle elde edildiği için, birbirine denk olan tüm kesirlerin en sade hali her zaman aynıdır.

Buradan hareketle, en sade halleri birbirinden farklı olan iki kesrin eşdeğer olması mümkün değildir.

İki Kesrin Eşdeğer Olup Olmadığını Kontrol Etme

İki kesrin birbirine denk (eşdeğer) olup olmadığını anlamanın en pratik yolu çapraz çarpım (içler dışlar çarpımı) yapmaktır. Kesirlerin çapraz çarpımları birbirine eşitse, bu kesirler eşdeğerdir.

Örnek 1

\$\frac{1}{3}\$ ve \$\frac{4}{11}\$ kesirlerinin birbirine denk olup olmadığını kontrol edelim. İki kesrin çapraz çarpımını bulmak için; ilk kesrin payını ikinci kesrin paydasıyla, ilk kesrin paydasını ise ikinci kesrin payıyla çarpın:

$$\frac{1}{3}\ ve\ \frac{4}{11}$$

Bu iki kesrin çapraz çarpımları (1 × 11) = 11 ve (3 × 4) = 12'dir. 11 ≠ 12 olduğundan, \$\frac{1}{3}\$ ≠ \$\frac{4}{11}\$ sonucuna varırız; yani verilen kesirler eşdeğer değildir.

Örnek 2

Şu kesirlerden hangisi \$\frac{2}{3}\$ kesrine eşdeğerdir: \$\frac{12}{18}\$ mi yoksa \$\frac{12}{19}\$ mu?

Bu soruyu yanıtlamak için her iki kesir çiftinin çapraz çarpımlarını kontrol etmemiz gerekir:

$$\frac{2}{3}\ ve\ \frac{12}{18}$$

$$\frac{2}{3}\ ve\ \frac{12}{19}$$

\$\frac{2}{3}\$ ve \$\frac{12}{18}\$ için çapraz çarpımlar (2 × 18) = 36 ve (3 × 12) = 36'dır. Çapraz çarpımlar birbirine eşit olduğu için \$\frac{2}{3}\$ ile \$\frac{12}{18}\$ eşdeğer kesirlerdir.

\$\frac{2}{3}\$ ve \$\frac{12}{19}\$ için çapraz çarpımlar (2 × 19) = 38 ve (3 × 12) = 36'dır. 38 ≠ 36 olduğu için \$\frac{2}{3}\$ ile \$\frac{12}{19}\$ eşdeğer değildir.

Hesaplama Örneği

Günlük hayatta farklı paydalara sahip kesirleri toplarken, çıkarırken, karşılaştırırken veya tam sayılı kesirler ile tam sayılar arasında işlem yaparken denk kesirleri bulmak son derece işe yarar.

Pizza Dilimleme Problemi

Pizza dilimleme üzerinden basit bir örnek verelim. Bir arkadaşınızla pizza sipariş ettiniz ancak pizza bütün halde, kesilmemiş olarak geldi. Pizzayı ikiniz arasında eşit olarak paylaşmak istiyorsunuz. Pizzayı sadece ortadan ikiye bölüp devasa bir yarımı tek seferde yemek pek pratik olmayacaktır. Peki, pizzayı kaç dilime bölebilirsiniz ve her birinize kaçar dilim düşer?

Çözüm 1

Her ikinizin de pizzanın tam yarısını, yani \$\frac{1}{2}\$ 'sini yemesi gerektiği ortadadır. Soruya cevap bulabilmek için \$\frac{1}{2}\$ 'ye denk (eşdeğer) bazı kesirler bulmalıyız. İlk olarak, \$\frac{1}{2}\$ kesrinin payını ve paydasını sürekli 2 ile çarparak (genişleterek) ilerleyelim. Şunu elde ederiz:

\$\frac{1}{2}\$ = \$\frac{1 × 2}{2 × 2}\$ = \$\frac{2}{4}\$ = \$\frac{4}{8}\$ = \$\frac{8}{16}\$ …

Bu hesaplamaya göre; pizzayı 4 dilime kesip her biriniz 2'şer dilim yiyebilirsiniz. Ya da daha küçük boyutlu 8 dilime kesip 4'er dilim yiyebilirsiniz. Bir başka seçenek olarak 16 dilime bölüp 8'er dilim yiyebilirsiniz. Pizzayı 16'dan fazla parçaya bölmek yemeyi zorlaştıracağı için burada durabiliriz.

Çözüm 2

Aynı problemi, orijinal kesri her seferinde farklı bir sayıyla çarparak da çözebileceğinizi unutmayın:

\$\frac{1}{2}\$ = \$\frac{1 × 2}{2 × 2}\$ = \$\frac{2}{4}\$ = \$\frac{1 × 2}{2 × 2}\$ = \$\frac{3}{6}\$ = \$\frac{1 × 3}{2 × 3}\$ = \$\frac{4}{8}\$ = \$\frac{1 × 4}{2 × 4}\$ = \$\frac{5}{10}\$ = \$\frac{1 × 5}{2 × 5}\$ = \$\frac{6}{12}\$ = \$\frac{1 × 6}{2 × 6}\$ = \$\frac{7}{14}\$ = \$\frac{1 × 7}{2 × 7}\$ = \$\frac{8}{16}\$ …

Bu durumda elde edeceğimiz bazı kesirler Çözüm 1 ile aynı olurken bazıları farklı olacaktır. Burada \$\frac{2}{4}\$, \$\frac{4}{8}\$ ve \$\frac{8}{16}\$ gibi aynı seçeneklerin yanı sıra \$\frac{3}{6}\$, \$\frac{5}{10}\$, \$\frac{6}{12}\$ ve \$\frac{7}{14}\$ gibi yepyeni alternatifler de bulmuş oluruz.

Bu da demektir ki; pizzayı 6 dilime kesip 3'er dilim yiyebilir, 10 dilime bölüp 5'er dilim yiyebilir ya da 12 dilime kesip 6'şar dilim yiyebilirsiniz. Bu süreç teorik olarak sonsuza kadar devam edebilir ancak biz sadece pizza kesmek için mantıklı ve uygulanabilir olan seçenekleri listeliyoruz.

Cevap

\$\frac{1}{2}\$ = \$\frac{2}{4}\$ = \$\frac{3}{6}\$ = \$\frac{4}{8}\$ = \$\frac{5}{10}\$ = \$\frac{6}{12}\$ = \$\frac{7}{14}\$ = \$\frac{8}{16}\$ …

Elde ettiğimiz bu denk kesirlerde; paydalar pizzadaki toplam dilim sayısını ifade ederken, pay kısımları ise her birinize düşen dilim sayısını temsil etmektedir.