Kalkulator Segi Tiga Bersudut Tegak

Kalkulator segi tiga bersudut tegak kami ialah penyelesai segi tiga dalam talian yang serba boleh, dikhaskan secara eksklusif untuk segi tiga bersudut tegak. Sama ada anda perlu mencari sisi yang hilang, sudut, atau sifat-sifat lain, hanya masukkan mana-mana dua nilai yang diketahui, dan kalkulator akan menentukan selebihnya dengan serta-merta. Input yang disokong termasuk panjang sisi (a, b, dan c), sudut tirus (α dan β), perimeter (P), luas (A), dan tinggi ke hipotenus (h).

Untuk menggunakan kalkulator ini, masukkan mana-mana dua daripada nilai yang dinyatakan di atas dan klik "Kira".

Anda boleh memasukkan nilai sudut sama ada dalam darjah atau radian. Untuk menggunakan radian yang melibatkan π, hanya taip "pi". Sebagai contoh, jika sudut anda ialah π/3, masukkan "pi/3".

Bersama-sama dengan nilai-nilai yang hilang, penyelesai segi tiga bersudut tegak ini menyediakan langkah pengiraan yang terperinci dan langkah demi langkah. Ia juga menghasilkan perwakilan visual berskala berkadar bagi segi tiga anda, berserta nilai tepat untuk jejari dalam (inradius) dan jejari luar (circumradius) bulatan.

Had pada nilai input kalkulator segi tiga

1. Anda hanya boleh memasukkan tepat dua nilai sahaja.
2. Nilai sudut α dan β mestilah kurang daripada 90° atau (π/2) rad.
3. Panjang tinggi ke hipotenus (h) tidak boleh melebihi panjang mana-mana kaki segi tiga (a atau b).
4. Panjang setiap sisi segi tiga (a, b, atau c) mestilah kurang daripada jumlah dua sisi yang lain.
5. Bagi mana-mana panjang hipotenus yang diberikan, segi tiga tersebut mempunyai perimeter maksimum yang mungkin. Kalkulator tidak akan menerima sebarang perimeter yang melebihi had ini. Perimeter maksimum bagi segi tiga bersudut tegak dengan hipotenus yang diberikan berlaku apabila segi tiga tersebut adalah sama kaki (a=b). Dalam kes ini, \$a=b=\frac{c}{\sqrt2}\$, dan perimeter maksimum ialah \$P=a+b+c=c+\frac{2c}{\sqrt2}\$.

Segi tiga bersudut tegak: definisi dan maklumat berguna

Segi tiga bersudut tegak ialah poligon yang mempunyai satu sudut pedalaman berukuran tepat 90° atau \$\frac{π}{2}\ rad\$. Sisi yang bertentangan secara langsung dengan sudut tegak dikenali sebagai hipotenus. Dua sisi lain yang membentuk sudut tegak dirujuk sebagai kaki, atau katetus, bagi segi tiga tersebut.

Sering kali, kaki b dianggap sebagai tapak segi tiga bersudut tegak, manakala kaki a mewakili tingginya.

Kaki segi tiga bersudut tegak sentiasa lebih pendek daripada hipotenus. Disebabkan satu sudut adalah tepat 90° dan jumlah semua sudut pedalaman dalam mana-mana segi tiga sentiasa 180°, jumlah dua sudut tirus yang selebihnya adalah sentiasa 90°: α+β=90°. Panjang sisi segi tiga bersudut tegak berkongsi hubungan matematik yang jelas, yang ditakrifkan secara terkenal oleh teorem Pythagoras.

Teorem Pythagoras

Teorem Pythagoras boleh dikatakan sebagai prinsip yang paling terkenal dalam geometri Euclid. Ia menetapkan hubungan asas antara tiga sisi segi tiga bersudut tegak, yang menyatakan bahawa kuasa dua hipotenus adalah sama dengan jumlah kuasa dua bagi kedua-dua kaki:

$$c^2=a^2+b^2$$

Oleh itu, jika anda hanya mengetahui panjang kedua-dua kaki, anda boleh mengira hipotenus dengan mudah menggunakan formula ini:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

Sebaliknya, jika anda mengetahui panjang hipotenus dan satu kaki, anda boleh mencari panjang kaki yang hilang dengan persamaan berikut:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

$$b=\sqrt{c^2-a^2}$$

Formula penting yang lain

Selain teorem Pythagoras, pelbagai formula trigonometri dan geometri digunakan untuk mengira nilai segi tiga bersudut tegak yang hilang.

Perimeter segi tiga hanyalah jumlah semua panjang sisinya:

$$P = a + b + c$$

Luas segi tiga bersudut tegak dikira menggunakan tapak dan tinggi (kedua-dua kaki):

$$A=\left( \frac{1}{2} \right)ab$$

Untuk mencari sudut tirus bagi segi tiga bersudut tegak, kita bergantung pada nisbah trigonometri: sinus, kosinus, dan tangen. Nisbah ini bergantung pada pengecaman sisi bersebelahan (adjacent) dan bertentangan (opposite) dengan sudut yang berkenaan. Hipotenus dan satu kaki membentuk sudut tirus; kaki tersebut ialah sisi bersebelahan. Kaki yang selebihnya, yang terletak bertentangan dengan sudut tersebut, ialah sisi bertentangan. Sebagai contoh, dalam ilustrasi di bawah, kaki a ialah sisi bertentangan bagi sudut α, manakala kaki b ialah sisi bersebelahan.

Sinus (sin) bagi mana-mana sudut tirus dalam segi tiga bersudut tegak ialah nisbah panjang sisi bertentangan kepada hipotenus:

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}, \sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

Kosinus (kos) bagi sudut tirus ialah nisbah panjang sisi bersebelahan kepada hipotenus:

$$\cos{\alpha}=\frac{b}{c}, \cos{\beta}=\frac{a}{c}$$

Tangen (tan) bagi sudut tirus ialah nisbah panjang sisi bertentangan kepada panjang sisi bersebelahan:

$$\tan{\alpha}=\frac{a}{b}, \tan{\beta}=\frac{b}{a}$$

Panjang tinggi ke hipotenus (h) dikira sebagai:

$$h=\frac{ab}{c}$$

Kalkulator kami juga mengira jejari dalam (jejari bulatan terbesar yang boleh muat di dalam segi tiga) dan jejari luar (jejari bulatan yang melalui ketiga-tiga bucu) menggunakan formula berikut:

$$Jejari\ dalam=\frac{ab}{a+b+c}$$

$$Jejari\ luar=\frac{c}{2}$$

Contoh pengiraan

Mari kita lihat contoh praktikal di mana panjang kedua-dua kaki diketahui: a = 3 dan b = 4. Mari kita cari semua ukuran yang selebihnya untuk segi tiga bersudut tegak ini.

Pertama, kita mengira panjang hipotenus (c) menggunakan teorem Pythagoras:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

$$c=5$$

Seterusnya, kita tentukan sudut tirus. Seperti yang telah ditetapkan sebelum ini:

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}$$

Oleh itu, kita boleh menggunakan fungsi arkus sinus (songsang sin):

$$\alpha=arcsin\left(\frac{a}{c}\right)$$

$$\alpha=arcsin\left(\frac{3}{5}\right)=arcsin(0.6)=0.6435\ rad\ =\ 36.87° = 36°52'12"$$

Begitu juga untuk sudut β:

$$\sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

Oleh itu:

$$\beta=arcsin\left(\frac{b}{c}\right)$$

$$\beta=arcsin\left(\frac{4}{5}\right)=arcsin(0.8)=0.9273\ rad\ =\ 53.13° = 53°7'48"$$

Sekarang, mari kita kira tinggi ke hipotenus (h):

$$h=\frac{ab}{c}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}=2.4$$

Untuk mencari luas (A) segi tiga tersebut:

$$A=\frac{1}{2}ab=\frac{a× b}{2}=\frac{3×4}{2}=6$$

Untuk perimeter (P):

$$P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12$$

Jejari dalam dikira seperti berikut:

$$jejari\ dalam=\frac{ab}{a+b+c}=\frac{3×4}{3+4+5}=\frac{12}{12}=1$$

Akhir sekali, kita cari jejari luar:

$$jejari\ luar=\frac{c}{2}=\frac{5}{2}=2.5$$

Segi tiga bersudut tegak khas

Terdapat dua segi tiga bersudut tegak khas yang terkenal dan diajar secara universal dalam geometri: segi tiga 45-45-90 dan segi tiga 30-60-90. Panjang sisi bagi segi tiga khusus ini sentiasa mengikut nisbah yang jelas dan boleh diramal.

Segi tiga bersudut tegak sama kaki

Segi tiga bersudut tegak dengan dua sudut tirus berukuran tepat 45° dikenali sebagai segi tiga bersudut tegak sama kaki. Disebabkan dua sudut adalah serupa, kedua-dua kaki juga mempunyai panjang yang sama. Nisbah sisinya (a : b : c) sentiasa:

$$a : b : c = 1 : 1 : \sqrt{2}$$

Segi tiga 30-60-90

Dalam segi tiga bersudut tegak ini, sudut tirus berukuran tepat 30° dan 60°. Panjang sisinya mengikut nisbah tepat ini:

$$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$$

di mana 'a' ialah sisi bertentangan dengan sudut 30°, 'b' ialah sisi bertentangan dengan sudut 60°, dan 'c' ialah hipotenus.