Calculateur de pente

Calculatrice de pente

Notre calculatrice de pente est un outil en ligne puissant et intuitif qui vous permet de calculer facilement la pente d'une droite. En mathématiques, la pente d'une droite (souvent appelée coefficient directeur) est définie comme le rapport entre la variation de l'axe vertical (coordonnées y) et la variation de l'axe horizontal (coordonnées x).

Notation utilisée

La pente est généralement désignée par la lettre m. Le schéma ci-dessus illustre visuellement toutes les autres notations employées par notre calculateur. La calculatrice de pente peut effectuer des calculs à partir de deux scénarios différents :

1. Lorsque les coordonnées de deux points de la droite sont connues. Sur le graphique, ces deux points ont pour coordonnées (x₁,y₁) et (x₂,y₂). Dans ce cas, la calculatrice déterminera la pente de la droite, m.

2. Si l'on connaît les coordonnées d'un seul point (x₁,y₁), la distance d et la pente d'une droite, la calculatrice trouvera les coordonnées du second point de la droite, (x₂,y₂).

Dans les deux scénarios, la calculatrice calculera également les autres caractéristiques manquantes de la droite : la variation horizontale ∆x, la variation verticale ∆y, l'angle d'inclinaison θ, ainsi que la longueur de la droite (la distance d).

Mode d'emploi

Tout d'abord, identifiez vos valeurs connues et choisissez le mode de calcul approprié. Si vous connaissez les coordonnées de deux points, sélectionnez "Si les 2 points sont connus".

Si vous ne disposez des coordonnées que d'un seul point, vous devrez connaître la distance, d, et la pente de la droite, m, pour effectuer le calcul. Dans ce cas, sélectionnez "Si 1 point et la pente sont connus".

Si les 2 points sont connus

Saisissez les coordonnées connues de vos points dans les champs correspondants, puis cliquez sur "Calculer". La calculatrice vous fournira les informations suivantes :

• la pente m,
• l'angle d'inclinaison θ,
• la longueur de la droite d,
• la variation horizontale ∆x,
• la variation verticale ∆y.

L'outil détaillera également les étapes et les formules utilisées pour trouver la pente, ainsi que toutes les autres valeurs caractéristiques de la droite. Enfin, la calculatrice affichera l'équation correspondante de la droite et générera un graphique pour une représentation visuelle claire.

Pour réinitialiser le formulaire, cliquez simplement sur "Effacer".

Si 1 point et la pente sont connus

Saisissez les coordonnées connues de votre point, la distance et la pente dans les champs dédiés. Notez qu'à la place de la pente, vous pouvez utiliser la valeur de "l'angle d'inclinaison (θ)". Cette valeur θ doit être renseignée en degrés. Attention : une seule de ces deux valeurs doit être saisie (soit m, soit θ). Si vous entrez à la fois m et θ, la calculatrice ignorera l'angle θ et n'utilisera que la pente m pour ses calculs.

Cliquez sur "Calculer". La calculatrice renverra les informations suivantes : les coordonnées du deuxième point (x₂,y₂), la variation horizontale ∆x, la variation verticale ∆y, et la longueur de la droite d. Si vous avez utilisé la pente m pour le calcul, l'outil vous fournira également la valeur de θ. Inversement, si c'est l'angle d'inclinaison θ qui a été utilisé, la valeur de m sera incluse dans la réponse. L'outil affichera également l'équation de la droite et la tracera sur un graphique.

Pour réinitialiser le formulaire, cliquez sur "Effacer".

Formule de la pente

Comme expliqué précédemment, la pente d'une droite est définie comme la variation des ordonnées (coordonnées y) par rapport à la variation des abscisses (coordonnées x) :

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}=tanθ$$

Cette équation est la formule de la pente. Nous pouvons l'utiliser pour déterminer le coefficient directeur de n'importe quelle droite dès lors que les coordonnées de deux de ses points sont connues. La pente, communément notée m, sert à décrire la direction de la droite ainsi que son inclinaison (sa raideur) :

• Si la droite monte de gauche à droite, alors y₂>y₁ lorsque x₂>x₁. La pente sera toujours positive, m>0. Dans ce cas, on dit que la fonction affine associée est croissante.

• Si la droite descend de gauche à droite, alors y₂ < y₁ lorsque x₂>x₁. La pente sera négative, m<0. Dans ce cas, on dit que la fonction est décroissante.

• Si la droite est parfaitement horizontale, alors y₂=y₁ et y₂-y₁=0. La pente sera donc égale à zéro : m=0.

• Si la droite est parfaitement verticale, alors x₂=x₁ et x₂-x₁=0. La formule de la pente se retrouve avec un zéro au dénominateur ; la pente est alors indéfinie (ou infinie).

Équation linéaire

Toute équation linéaire (ou équation de droite) peut s'écrire sous la forme suivante :

$$y=mx+b$$

Cette formulation est appelée l'équation réduite de la droite. La représentation graphique de cette équation est une ligne droite, où m représente la pente (le coefficient directeur). La variable b correspond au point d'intersection entre la droite et l'axe des ordonnées (l'axe vertical). C'est pourquoi b est appelé l'ordonnée à l'origine, puisque y=b lorsque x=0.

Lorsque l'on connaît la pente et les coordonnées d'un seul point de la droite, on peut écrire son équation sous une forme liant point et pente :

$$y-y₁=m(x-x₁)$$

Cette forme de l'équation est particulièrement utile pour isoler et trouver facilement l'ordonnée à l'origine d'une droite.

Exemple de calcul

Imaginons que nous connaissions les coordonnées de deux points situés sur une droite.

Ces coordonnées sont les suivantes :

$$x₁=1$$

$$y₁=1$$

$$x₂=9$$

$$y₂=25$$

Calculons d'abord la pente de cette droite :

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}$$

$$m=\frac{25-1}{9-1}=\frac{24}{8}=3$$

$$m=3$$

À présent, trouvons les autres caractéristiques de la droite. Sachant que m=tanθ, nous pouvons déduire l'angle d'inclinaison θ de la manière suivante :

$$\theta=\arctan{\left(m\right)}= arctan\frac{∆x}{∆y} = 71,565051177078°$$

De plus, nous avons :

$$∆x=9-1=8$$

$$∆y=25-1=24$$

Nous pouvons trouver la distance d en appliquant le théorème de Pythagore. Celui-ci stipule que le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés du triangle rectangle (les cathètes).

En appliquant ce théorème à notre triangle, on obtient l'égalité suivante :

$$d^2=∆x2+∆y2$$

Par conséquent :

$$d=∆x2+∆y2$$

$$d=\sqrt{8^2+{24}^2}=\sqrt{640}$$

$$d=25,298221281347$$

Pour trouver l'ordonnée à l'origine de la droite, utilisons l'équation sous sa forme "point-pente" en y substituant nos valeurs connues pour m, x₁ et y₁ :

$$y-1=3\left(x-1\right)$$

$$y=3x-2$$

Par conséquent, y=-2 est l'ordonnée à l'origine de la droite. En d'autres termes, lorsque x=0, alors y=-2.

Et si l'on cherche l'abscisse lorsque y=0 :

$$x=\frac{2}{3}=0,66666666666667$$

Le graphique ci-dessus représente la droite étudiée. Dans notre exemple, la pente est positive (m>0), ce qui se traduit visuellement par une droite croissante (elle monte de gauche à droite). Nous pouvons également constater que la ligne est assez raide, ce qui est cohérent avec son angle d'inclinaison θ ≈ 72°.