斜率计算器

斜率计算器

斜率计算器是一个简单的在线工具，用于找到直线的斜率。在数学中，直线的斜率定义为垂直坐标（y坐标）相对于水平坐标（x坐标）的变化。

使用的符号

斜率由字母m表示。上图直观地展示了计算器中使用的所有其他符号。斜率查找器可以在两种不同的情况下进行计算：

1. 当直线上两点的坐标已知时。在图中，这两点的坐标为*(x₁,y₁)* 和 (x₂,y₂)。在这种情况下，计算器将找到直线的斜率m。

2. 如果我们知道一个点*(x₁,y₁)的坐标、距离d和直线的斜率，计算器将找到直线上第二个点的坐标(x₂,y₂)。 在这两种情况下，计算器还将返回直线的其他缺失特征：水平变化∆x*，垂直变化*∆y*，倾斜角度θ，直线长度或距离d。

使用指南

首先，确定已知的数值并选择合适的计算器。如果已知两点的坐标，请选择“如果2点已知”。

如果您只知道其中一个点的坐标，为了进行计算，您将需要知道距离d和直线的斜率m。在这种情况下，请选择“如果1点和斜率已知”。

如果2点已知

将已知点的坐标插入相应的字段中，然后按“计算”。计算器将返回以下信息：

• 斜率m，
• 倾斜角θ，
• 直线长度d，
• 水平变化∆x，
• 垂直变化∆y。

计算器还将展示用于找到斜率和直线的所有其他特征值的公式。计算器将显示直线的相应方程，并将直线示意性地绘制以进行视觉表示。

如果1点和斜率已知

将已知点的坐标、距离和斜率输入相应的字段。请注意，您可以输入“倾斜角（θ）”的值来代替斜率。θ的值必须以度数输入。只需输入这些值中的一个（要么m，要么θ）。假设同时输入了m和θ，在这种情况下，计算器将忽略θ的值，仅使用斜率m进行计算。

按“计算”。计算器将返回以下信息：第二点的坐标*(x₂,y₂)，水平变化∆x*，垂直变化*∆y*，以及直线的长度d。如果用斜率m进行计算，计算器还将返回θ的值。如果您使用倾斜角θ进行计算，计算器将在答案中返回m的值。此外，计算器将显示直线的相应方程，并将直线示意性地绘制以进行视觉表示。

斜率公式

如上所述，直线的斜率定义为直线的垂直坐标（y坐标）相对于水平坐标（x坐标）的变化：

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}=tanθ$$

上述等式称为斜率公式。如果已知直线上两点的坐标，我们可以使用它来找到任何给定直线的斜率。斜率通常表示为m。它用于描述直线的方向以及其陡度：

• 如果直线从左到右向上，则当x₂>x₁时，y₂>y₁。斜率将始终为正，m > 0。在这种情况下，我们说该直线是上升的。

• 如果直线从左到右向下，则当x₂>x₁时，y₂ < y₁。 斜率将为负，m < 0。在这种情况下，我们说该直线是下降的。

• 如果直线是水平的，则y₂=y₁且y₂-y₁=0。那么斜率也等于零：m=0。

• 如果直线是垂直的，则x₂=x₁且x₂-x₁=0。斜率公式的分母中将有一个零，斜率是未定义的。

直线方程

我们可以将任何线性方程写成以下形式：

$$y=mx+b$$

这种形式的线性方程称为斜截式。该方程的绘图将是一条直线，其中m是直线的斜率。B是图形与y轴相交的坐标。B有时也称为直线的y截距，因为当x=0时，y=b。

当已知直线上一个点的坐标和斜率时，我们可以以所谓的点斜式写出直线方程：

$$y-y₁=m(x-x₁)$$

这种形式的线性方程对于找到直线的y截距非常有用。

计算示例

假设我们知道直线上两点的坐标。

已知：

$$x₁=1$$

$$y₁=1$$

$$x₂=9$$

$$y₂=25$$

让我们首先找到这条线的斜率：

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}$$

$$m=\frac{25-1}{9-1}=\frac{24}{8}=3$$

$$m=3$$

现在，让我们找出直线的其他特征值。我们知道m=tanθ。因此，我们可以按照以下方式找到倾斜角θ：

$$\theta=\arctan{\left(m\right)} = arctan\frac{∆x}{∆y} = 71.565051177078°$$

此外，

$$∆x=9-1=8$$

$$∆y=25-1=24$$

我们可以使用勾股定理来找到距离d。它指出，直角三角形斜边的平方等于两条腿的长度的平方和。

将这个定理应用到我们的三角形中，我们得到：

$$d^2=∆x^2+∆y^2$$

因此，

$$d=\sqrt{∆x^2+∆y^2}$$

$$d=\sqrt{8^2+{24}^2}=\sqrt{640}$$

$$d=25.298221281347$$

为了找到直线的y截距，让我们用点斜式写出直线方程，代入我们给定的m、x₁和y₁的值：

$$y-1=3\left(x-1\right)$$

$$y=3x-2$$

因此，y=-2是直线的y截距，换句话说，当x=0时，y=-2。

如果y=0：

$$x=\frac{2}{3}=0.66666666666667$$

草图展示了相应的直线。在我们的例子中，斜率是正的，m>0，我们可以看到直线是上升的——它从左到右向上。我们还可以看到直线相当陡，因为倾斜角θ≈72°。