เครื่องคำนวนความชัน

เครื่องคำนวณความชัน

เครื่องคำนวณความชัน (Slope Calculator) เป็นเครื่องมือออนไลน์ที่ใช้งานง่าย ซึ่งช่วยให้คุณสามารถหาความชันของเส้นตรงได้อย่างรวดเร็วและแม่นยำ ในทางคณิตศาสตร์ ความชันของเส้นตรงคืออัตราส่วนการเปลี่ยนแปลงของพิกัดในแนวตั้ง (พิกัด y) ต่อการเปลี่ยนแปลงของพิกัดในแนวนอน (พิกัด x)

สัญกรณ์ที่ใช้

ความชันมักถูกเขียนแทนด้วยตัวอักษร m แผนภาพด้านบนแสดงสัญลักษณ์อื่นๆ ทั้งหมดที่ใช้ในกราฟของเครื่องคำนวณ เครื่องมือหาความชันนี้รองรับการคำนวณใน 2 กรณี ได้แก่:

1. เมื่อทราบพิกัด 2 จุดบนเส้นตรง บนกราฟจุดทั้งสองจะมีพิกัดคือ (x₁,y₁) และ (x₂,y₂) ในกรณีนี้ เครื่องคำนวณจะทำการหาค่าความชัน m ของเส้นตรง

2. หากทราบพิกัดของจุด 1 จุด (x₁,y₁) ระยะทาง d และความชันของเส้นตรง เครื่องคำนวณจะช่วยหาพิกัดของจุดที่สองบนเส้นตรง (x₂,y₂)

ในทั้งสองกรณี เครื่องคำนวณจะหาค่าอื่นๆ ของเส้นตรงที่เกี่ยวข้องให้โดยอัตโนมัติ เช่น การเปลี่ยนแปลงในแนวนอน ∆x การเปลี่ยนแปลงในแนวตั้ง ∆y มุมเอียง θ ความยาวของเส้นตรง หรือระยะทาง d

คำแนะนำสำหรับการใช้งาน

ขั้นแรก ให้ระบุค่าที่คุณทราบ แล้วเลือกรูปแบบการคำนวณที่เหมาะสม หากคุณทราบพิกัดของจุดทั้งสองจุด ให้เลือกตัวเลือก “หากทราบจุด 2 จุด”

หากคุณทราบพิกัดเพียงจุดเดียว คุณจำเป็นต้องรู้ระยะทาง d และความชันของเส้นตรง m เพื่อใช้ในการคำนวณ ในกรณีนี้ ให้เลือกตัวเลือก “หากทราบ 1 จุดและความชัน”

หากทราบจุด 2 จุด

กรอกพิกัดของจุดที่ทราบค่าลงในช่องที่กำหนด จากนั้นคลิก “คำนวณ” เครื่องคำนวณจะแสดงผลลัพธ์ข้อมูลต่อไปนี้:

• ความชัน m
• มุมเอียง θ
• ความยาวของเส้น d
• การเปลี่ยนแปลงแนวนอน ∆x
• การเปลี่ยนแปลงแนวตั้ง ∆y

นอกจากนี้ เครื่องคำนวณจะแสดงสูตรที่ใช้ในการหาความชันและค่าอื่นๆ ของเส้นตรง พร้อมทั้งแสดงสมการเส้นตรงที่สอดคล้องกัน และวาดกราฟเส้นตรงเพื่อแสดงภาพประกอบให้เห็นอย่างชัดเจน

หากทราบ 1 จุดและความชัน

กรอกพิกัดของจุด ระยะทาง และความชันที่ทราบค่าลงในช่องที่กำหนด โปรดทราบว่าคุณสามารถเลือกกรอกค่า “มุมเอียง (ทีตา หรือ θ)” แทนการระบุความชันได้ โดยต้องระบุค่า θ เป็นหน่วยองศา คุณต้องระบุค่าใดค่าหนึ่งเพียงค่าเดียวเท่านั้น (m หรือ θ) หากคุณระบุมาทั้งค่า m และ θ เครื่องคำนวณจะยึดตามค่าความชัน m เพื่อใช้ในการคำนวณเพียงอย่างเดียว

คลิก “คำนวณ” เพื่อดูผลลัพธ์ โดยเครื่องจะแสดงข้อมูลต่อไปนี้: พิกัดของจุดที่สอง (x₂,y₂) การเปลี่ยนแปลงแนวนอน ∆x การเปลี่ยนแปลงแนวตั้ง ∆y และความยาวของเส้น d หากคุณใช้ความชัน m ในการคำนวณ เครื่องจะคำนวณค่ามุมเอียง θ ให้ด้วย ในทางกลับกัน หากคุณใช้มุมเอียง θ ในการคำนวณ เครื่องจะหาค่าความชัน m ออกมาเป็นคำตอบ นอกจากนี้ เครื่องคำนวณยังจะแสดงสมการเส้นตรงที่เกี่ยวข้องพร้อมทั้งวาดกราฟเพื่อแสดงภาพประกอบให้เข้าใจง่ายยิ่งขึ้น

สมการความชัน

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ความชันของเส้นตรงถูกกำหนดให้เป็นอัตราส่วนการเปลี่ยนแปลงในพิกัดแนวตั้ง (พิกัด y) ของเส้นตรง เทียบกับการเปลี่ยนแปลงในพิกัดแนวนอน (พิกัด x):

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=∆y∆x=tanθ$$

สมการข้างต้นนี้เรียกว่า "สูตรหาความชัน" เราสามารถใช้สมการนี้เพื่อหาความชันของเส้นตรงใดๆ ก็ได้ หากทราบพิกัด 2 จุดบนเส้นตรงนั้น ความชันมักถูกเขียนแทนด้วยตัวแปร m ซึ่งใช้ในการอธิบายทิศทางและความลาดชันของเส้นตรง:

• หากเส้นตรงชี้ขึ้นจากซ้ายไปขวา หมายความว่า y₂>y₁ เมื่อ x₂>x₁ ความชันจะมีค่าเป็นบวกเสมอ m>0 ในกรณีนี้ เราจะเรียกว่าเส้นตรงมีความชันเป็นบวก (เพิ่มขึ้น)

• หากเส้นตรงชี้ลงจากซ้ายไปขวา หมายความว่า y₂ < y₁ เมื่อ x₂ > x₁ ความชันจะมีค่าเป็นลบ m < 0 ในกรณีนี้ เราจะเรียกว่าเส้นตรงมีความชันเป็นลบ (ลดลง)

• หากเส้นตรงอยู่ในแนวนอน หมายความว่า y₂=y₁ และ y₂-y₁=0 ดังนั้นความชันจะเท่ากับศูนย์: m=0

• หากเส้นตรงอยู่ในแนวดิ่ง หมายความว่า x₂=x₁ และ x₂-x₁=0 สูตรความชันจะมีค่าตัวส่วนเป็นศูนย์ ซึ่งความชันในกรณีนี้จะไม่สามารถหาค่าได้ (Undefined)

สมการเส้นตรง

เราสามารถเขียนสมการเชิงเส้น (Linear Equation) ใดๆ ให้อยู่ในรูปแบบต่อไปนี้ได้:

$$y=mx+b$$

สมการเชิงเส้นในรูปแบบนี้เรียกว่า "รูปแบบความชัน-จุดตัดแกน (Slope-Intercept Form)" กราฟของสมการนี้จะเป็นเส้นตรง โดยที่ m คือความชันของเส้นตรง และ B คือพิกัดที่กราฟตัดแกน y ซึ่งบางครั้ง B จะถูกเรียกว่าจุดตัดแกน y ของเส้นตรง เนื่องจากค่า y=b เมื่อ x=0

เมื่อเราทราบพิกัดของจุด 1 จุดบนเส้นตรงและทราบค่าความชัน เราสามารถเขียนสมการเส้นตรงในรูปแบบที่เรียกว่า "รูปแบบจุด-ความชัน (Point-Slope Form)" ได้ดังนี้:

$$y-y₁=m(x-x₁)$$

สมการเชิงเส้นรูปแบบนี้มีประโยชน์อย่างมากในการหาจุดตัดแกน y ของเส้นตรง

ตัวอย่างการคำนวณ

สมมติว่าเราทราบพิกัดของจุด 2 จุดบนเส้นตรง

กำหนดให้:

$$x₁=1$$

$$y₁=1$$

$$x₂=9$$

$$y₂=25$$

ขั้นแรก ให้หาค่าความชันของเส้นตรงนี้:

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=∆y∆x$$

$$m=\frac{25-1}{9-1}=\frac{24}{8}=3$$

$$m=3$$

ตอนนี้ เรามาหาค่าอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องของเส้นตรงนี้กัน เรารู้ว่า m=tanθ ดังนั้นเราจึงสามารถหามุมเอียง θ ได้ดังนี้:

$$\theta=\arctan{\left(m\right)}=arctan∆x∆y= 71.565051177078°$$

นอกจากนี้:

$$∆x=9-1=8$$

$$∆y=25-1=24$$

เราสามารถหาระยะทาง d ได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (Pythagorean Theorem) ซึ่งกล่าวไว้ว่า กำลังสองของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก จะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก

เมื่อนำทฤษฎีบทนี้มาปรับใช้กับรูปสามเหลี่ยมของเรา จะได้สมการดังนี้:

$$d^2=∆x2+∆y2$$

ดังนั้น:

$$d=∆x2+∆y2$$

$$d=\sqrt{8^2+{24}^2}=\sqrt{640}$$

$$d=25.298221281347$$

หากต้องการหาจุดตัดแกน y ของเส้นตรง ให้เขียนสมการเส้นตรงในรูปแบบจุด-ความชัน โดยแทนที่ค่าคงที่ของเราลงใน m, x₁ และ y₁:

$$y-1=3\left(x-1\right)$$

$$y=3x-2$$

ดังนั้น y=-2 คือจุดตัดแกน y ของเส้นตรง หรืออธิบายได้อีกอย่างว่า เมื่อ x=0, y=-2

และหาก y=0:

$$x=\frac{2}{3}=0.66666666666667$$

แผนภาพด้านบนแสดงกราฟเส้นตรงที่คำนวณได้ ในกรณีนี้ ความชันมีค่าเป็นบวก m>0 ซึ่งเราจะเห็นได้ว่าเส้นกราฟมีแนวโน้มเพิ่มขึ้น โดยชี้ขึ้นจากซ้ายไปขวา นอกจากนี้ เรายังสังเกตเห็นได้ว่าเส้นตรงนั้นมีความชันค่อนข้างมาก เนื่องจากมุมเอียง θ ≈ 72°