Eğim Hesap Makinesi

Eğim Hesap Makinesi

Eğim hesap makinesi, düz bir çizginin eğimini bulmanıza olanak tanıyan basit bir çevrimiçi araçtır. Matematikte, bir çizginin eğimi, dikey koordinatın (y-koordinatı) yatay koordinata (x-koordinatı) göre değişimi olarak tanımlanır.

Kullanılan Notasyon

Eğim m harfi ile gösterilir. Yukarıdaki grafik, hesap makinesinde kullanılan diğer tüm notasyonları görsel olarak göstermektedir. Eğim bulucu iki farklı senaryoda hesaplama yapabilir:

1. Çizgi üzerindeki iki noktanın koordinatları bilindiğinde. Grafikteki iki noktanın koordinatları (x₁,y₁) ve (x₂,y₂) şeklindedir. Bu durumda hesap makinesi, çizginin eğimini, m'yi bulacaktır.

2. Bir noktanın koordinatları (x₁,y₁), mesafe d ve çizginin eğimi bilindiğinde, hesap makinesi çizgi üzerindeki ikinci noktanın koordinatlarını, (x₂,y₂), bulacaktır.

Her iki senaryoda da, hesap makinesi çizginin diğer eksik özelliklerini de döndürecektir: yatay değişiklik ∆x, dikey değişiklik ∆y, eğim açısı θ, çizgi uzunluğu veya mesafe, d.

Kullanım Talimatları

Öncelikle bilinen değerleri tanımlayın ve uygun hesap makinesini seçin. İki noktanın koordinatları biliniyorsa, "Eğer 2 Nokta Biliniyorsa" seçeneğini seçin.

Yalnızca noktalardan birinin koordinatlarını biliyorsanız, hesaplamaları yapabilmek için mesafe, d ve çizginin eğimi, m'yi bilmelisiniz. Bu durumda, "Eğer 1 Nokta ve Eğim Biliniyorsa" seçeneğini seçin.

Eğer 2 Nokta Biliniyorsa

Bilinen noktaların koordinatlarını ilgili alanlara girin, sonra "Hesapla"ya basın. Hesap makinesi aşağıdaki bilgileri döndürecektir:

• eğim m,
• eğim açısı θ,
• çizginin uzunluğu d,
• yatay değişiklik ∆x,
• dikey değişiklik ∆y.

Hesap makinesi, eğimi ve çizginin diğer karakteristik değerlerini bulmak için kullanılan formülleri de gösterecektir. Hesap makinesi, çizginin ilgili denklemini gösterecek ve çizgiyi görsel temsil için şematik olarak çizecektir.

Eğer 1 Nokta ve Eğim Biliniyorsa

Bilinen noktanın koordinatlarını, mesafeyi ve eğimi ilgili alanlara girin. Eğim yerine, "eğim açısı (teta veya θ)" değerini girebileceğinizi unutmayın. θ değeri derece cinsinden girilmelidir. Bu değerlerden yalnızca biri girilmelidir (ya m ya da θ). Eğer hem m hem de θ girilirse, hesap makinesi θ değerini dikkate almayacak ve yalnızca eğim m'yi hesaplamalar için kullanacaktır.

"Hesapla"ya basın. Hesap makinesi aşağıdaki bilgileri döndürecektir: ikinci noktanın koordinatları (x₂,y₂), yatay değişiklik ∆x, dikey değişiklik ∆y ve çizginin uzunluğu d. Eğer hesaplamalar için eğim m kullanılmışsa, hesap makinesi ayrıca θ değerini de döndürecektir. Eğer hesaplamalar için eğim açısı θ kullanılmışsa, hesap makinesi cevapta m değerini döndürecektir. Ayrıca, hesap makinesi çizginin ilgili denklemini gösterecek ve çizgiyi görsel temsil için şematik olarak çizecektir.

Eğim Formülü

Yukarıda belirtildiği gibi, bir çizginin eğimi, çizginin dikey koordinatındaki (y-koordinatı) değişimin yatay koordinata (x-koordinatı) göre değişimi olarak tanımlanır:

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}=tanθ$$

Yukarıdaki denklem eğim formülü olarak adlandırılır. Çizginin üzerindeki iki noktanın koordinatları biliniyorsa, herhangi bir verilen çizginin eğimini bulmak için bu formülü kullanabiliriz. Eğim genellikle m olarak gösterilir. Çizginin yönünü ve dikliğini tanımlamak için kullanılır:

• Eğer çizgi soldan sağa doğru yukarıya gidiyorsa, y₂>y₁ iken x₂>x₁'dir. Eğim her zaman pozitif olacaktır, m>0. Bu durumda, çizginin artan olduğunu söyleriz.

• Eğer çizgi soldan sağa doğru aşağıya gidiyorsa, y₂ < y₁ iken x₂ > x₁'dir. Eğim negatif olacaktır, m < 0. Bu durumda, çizginin azalan olduğunu söyleriz.

• Eğer çizgi yatay ise, y₂=y₁ ve y₂-y₁=0'dır. O zaman eğim de sıfır olacaktır: m=0.

• Eğer çizgi dikey ise, x₂=x₁ ve x₂-x₁=0'dır. Eğim formülünde paydada sıfır olacağı için eğim tanımsızdır.

Çizgi Denklemi

Herhangi bir doğrusal denklemi aşağıdaki formda yazabiliriz:

$$y=mx+b$$

Bu doğrusal denklem formu, eğim-kesişim formu olarak adlandırılır. Bu denklemin grafiği düz bir çizgi olacaktır, burada m çizginin eğimidir. Ve B, grafiğin y-ekseni ile kesiştiği koordinattır. B bazen çizginin y-kesişimi olarak da adlandırılır, çünkü y=b olduğunda x=0'dır.

Çizgi üzerindeki bir noktanın koordinatları ve eğim bilindiğinde, çizgi denklemini sözde nokta-eğim formunda yazabiliriz:

$$y-y₁=m(x-x₁)$$

Bu doğrusal denklem formu, çizginin y-kesişimini bulmak için faydalıdır.

Hesaplama Örneği

Çizgi üzerindeki iki noktanın koordinatlarını bildiğimizi varsayalım.

Verilenler:

$$x₁=1$$

$$y₁=1$$

$$x₂=9$$

$$y₂=25$$

Öncelikle bu çizginin eğimini bulalım:

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}$$

$$m=\frac{25-1}{9-1}=\frac{24}{8}=3$$

$$m=3$$

Şimdi, çizginin diğer karakteristik değerlerini bulalım. m=tanθ olduğunu biliyoruz. Bu nedenle, eğim açısı θ'yi aşağıdaki gibi bulabiliriz:

$$\theta=\arctan{\left(m\right)} = \arctan\frac{∆x}{∆y} = 71,565051177078°$$

Ayrıca,

$$∆x=9-1=8$$

$$∆y=25-1=24$$

Mesafe d'yi Pisagor teoremi kullanarak bulabiliriz. Bu teorem, dik üçgenin hipotenüsünün uzunluğunun karesinin, bacakların uzunluklarının karelerinin toplamına eşit olduğunu belirtir.

Bu teoremi üçgenimize uyguladığımızda:

$$d^2=∆x^2+∆y^2$$

Bu nedenle,

$$d=∆x^2+∆y^2$$

$$d=\sqrt{8^2+{24}^2}=\sqrt{640}$$

$$d=25,298221281347$$

Çizginin y-kesişimini bulmak için, çizgi denklemini nokta-eğim formunda yazalım, verilen m, x₁ ve y₁ değerlerini yerine koyarak:

$$y-1=3\left(x-1\right)$$

$$y=3x-2$$

Bu nedenle, y=-2 çizginin y-kesişimidir veya başka bir deyişle, x=0 iken y=-2'dir.

Eğer y=0 ise:

$$x=\frac{2}{3}=0,66666666666667$$

Çizim, karşılık gelen çizgiyi gösterir. Bizim durumumuzda, eğim pozitiftir, m>0, ve çizginin arttığını - soldan sağa doğru yukarı çıktığını görebiliriz. Ayrıca, çizginin oldukça dik olduğunu da görebiliriz, çünkü eğim açısı θ ≈ 72°'dir.