Kalkulator nachylenia

Kalkulator nachylenia

Kalkulator nachylenia to prosty w obsłudze internetowy narzędzie, które pozwala znaleźć nachylenie prostej linii. W matematyce nachylenie linii jest definiowane jako zmiana współrzędnej pionowej (współrzędnej y) w stosunku do zmiany współrzędnej poziomej (współrzędnej x).

Używane oznaczenia

Nachylenie jest oznaczone literą m. Powyższy wykres graficznie demonstruje wszystkie inne oznaczenia używane w kalkulatorze. Kalkulator nachylenia może wykonywać obliczenia w dwóch różnych scenariuszach:

1. Gdy znane są współrzędne dwóch punktów na linii. Na wykresie dwa punkty mają współrzędne (x₁, y₁) i (x₂, y₂). W takim przypadku kalkulator znajdzie nachylenie linii, m.

2. Jeśli znamy współrzędne jednego punktu (x₁, y₁), odległość d oraz nachylenie linii, kalkulator znajdzie współrzędne drugiego punktu na linii, (x₂, y₂).

W obu scenariuszach kalkulator zwróci również inne brakujące charakterystyki linii: zmianę poziomą ∆x, zmianę pionową ∆y, kąt nachylenia θ, długość linii lub odległość, d.

Instrukcja użytkowania

Najpierw zidentyfikuj znane wartości i wybierz odpowiedni kalkulator. Jeśli znane są współrzędne dwóch punktów, wybierz opcję „Jeśli znane są 2 punkty”.

Jeśli znasz tylko współrzędne jednego z punktów, do wykonania obliczeń będziesz potrzebować znać odległość, d, i nachylenie linii, m. W takim przypadku wybierz opcję „Jeśli znany jest 1 punkt i nachylenie”.

Jeśli znane są 2 punkty

Wpisz znane współrzędne punktów w odpowiednich polach, a następnie naciśnij „Oblicz”. Kalkulator zwróci następujące informacje:

• nachylenie m,
• kąt nachylenia θ,
• długość linii d,
• zmianę poziomą ∆x,
• zmianę pionową ∆y.

Kalkulator również pokaże wzory używane do znalezienia nachylenia i wszystkich innych charakterystycznych wartości linii. Kalkulator wyświetli odpowiadające równanie linii oraz schematycznie narysuje linię dla wizualnej reprezentacji.

Jeśli znany jest 1 punkt i nachylenie

Wpisz znane współrzędne punktu, odległość oraz nachylenie do odpowiednich pól. Zamiast nachylenia można również wpisać wartość „kąta nachylenia (theta lub θ)”. Wartość θ musi być wprowadzona w stopniach. Wystarczy wprowadzić tylko jedną z tych wartości (albo m, albo θ). Jeśli wprowadzone zostaną zarówno m, jak i θ, kalkulator zignoruje wartość θ i użyje tylko nachylenia m do obliczeń.

Naciśnij „Oblicz”. Kalkulator zwróci następujące informacje: współrzędne drugiego punktu (x₂,y₂), zmianę poziomą ∆x, zmianę pionową ∆y oraz długość linii d. Jeśli do obliczeń użyto nachylenia m, kalkulator zwróci również wartość θ. Jeśli użyto kąta nachylenia θ do obliczeń, kalkulator zwróci wartość m w odpowiedzi. Ponadto kalkulator wyświetli odpowiadające równanie linii oraz schematycznie narysuje linię dla wizualnej reprezentacji.

Wzór na nachylenie

Jak wspomniano wcześniej, nachylenie linii jest definiowane jako zmiana współrzędnej pionowej (współrzędnej y) linii względem zmiany współrzędnej poziomej (współrzędnej x):

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}=tanθ$$

Powyższe równanie to wzór na nachylenie. Możemy go użyć, aby znaleźć nachylenie dowolnej podanej linii, jeśli znane są współrzędne dwóch punktów na linii. Nachylenie jest powszechnie oznaczane jako m. Używa się go do opisania kierunku linii, jak również jej stromości:

• Jeśli linia skierowana jest w górę od lewej do prawej, to y₂>y₁ gdy x₂>x₁. Nachylenie będzie zawsze dodatnie, m>0. W tym przypadku mówimy, że linia rośnie.

• Jeśli linia skierowana jest w dół od lewej do prawej, to y₂ < y₁ gdy x₂ > x₁. Nachylenie będzie ujemne, m < 0. W tym przypadku mówimy, że linia maleje.

• Jeśli linia jest pozioma, to y₂=y₁ i y₂-y₁=0. Wtedy nachylenie również będzie równe zero: m=0.

• Jeśli linia jest pionowa, to x₂=x₁ i x₂-x₁=0. Wzór na nachylenie będzie miał zero w mianowniku, a nachylenie jest nieokreślone.

Równanie linii

Możemy zapisać dowolne równanie liniowe w następującej formie:

$$y=mx+b$$

Ta forma równania liniowego nazywana jest formą przecięcia z osią y. Wykres tego równania będzie prostą linią, gdzie m to nachylenie linii. A B to współrzędna, w której wykres przecina oś y. B jest czasami nazywane przecięciem z osią y, ponieważ y=b gdy x=0.

Gdy znane są współrzędne jednego punktu na linii oraz nachylenie, możemy zapisać równanie linii w tak zwanej formie punkt-nachylenie:

$$y-y₁=m(x-x₁)$$

Ta forma równania liniowego jest korzystna do znalezienia przecięcia z osią y.

Przykład obliczenia

Załóżmy, że znamy współrzędne dwóch punktów na linii.

Dane:

$$x₁=1$$

$$y₁=1$$

$$x₂=9$$

$$y₂=25$$

Najpierw znajdźmy nachylenie tej linii:

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}$$

$$m=\frac{25-1}{9-1}=\frac{24}{8}=3$$

$$m=3$$

Teraz znajdźmy inne charakterystyczne wartości linii. Wiemy, że m=tanθ. Dlatego możemy znaleźć kąt nachylenia θ w następujący sposób:

$$\theta=\arctan{\left(m\right)} = \arctan\frac{∆x}{∆y} = 71.565051177078°$$

Ponadto,

$$∆x=9-1=8$$

$$∆y=25-1=24$$

Możemy znaleźć odległość d korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Stanowi ono, że kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym.

Stosując to twierdzenie do naszego trójkąta, otrzymujemy:

$$d^2=∆x^2+∆y^2$$

Zatem,

$$d=\sqrt{∆x^2+∆y^2}$$

$$d=\sqrt{8^2+{24}^2}=\sqrt{640}$$

$$d=25.298221281347$$

Aby znaleźć punkt przecięcia linii z osią y, zapiszmy równanie linii w formie punkt-nachylenie, podstawiając nasze dane wartości m, x₁ i y₁:

$$y-1=3\left(x-1\right)$$

$$y=3x-2$$

Zatem y=-2 to punkt przecięcia linii z osią y, czyli innymi słowy, gdy x=0, y=-2.

Jeśli y=0:

$$x=\frac{2}{3}=0.66666666666667$$

Szkic pokazuje odpowiadającą linię. W naszym przypadku nachylenie jest dodatnie, m>0, i możemy zobaczyć, że linia rośnie – idzie w górę od lewej do prawej. Możemy również zobaczyć, że linia jest dość stroma, ponieważ kąt nachylenia θ ≈ 72°.