Calculadora de Declive

Calculadora de declive

A calculadora de declive (também conhecida como calculadora de coeficiente angular ou inclinação) é uma ferramenta online prática que permite encontrar o declive de uma reta. Na matemática, a inclinação de uma reta é definida como a variação da coordenada vertical (eixo y) em relação à variação da coordenada horizontal (eixo x).

Notação usada

O declive é representado pela letra m. O gráfico acima demonstra todas as outras notações utilizadas nesta calculadora de inclinação. A ferramenta pode realizar cálculos em dois cenários diferentes:

1. Quando as coordenadas dos dois pontos da reta são conhecidas. No gráfico, os dois pontos têm as coordenadas (x₁,y₁) e (x₂,y₂). Neste caso, a calculadora encontrará o declive da reta, m.

2. Se soubermos as coordenadas de um ponto (x₁,y₁), a distância d e o declive de uma reta, a calculadora encontrará as coordenadas do segundo ponto da reta, (x₂,y₂).

Em ambos os cenários, a calculadora também fornecerá outras características ausentes da reta: a variação horizontal ∆x, a variação vertical ∆y, o ângulo de inclinação θ, o comprimento da reta, ou a distância, d.

Instruções de uso

Primeiro, identifique os valores conhecidos e escolha a opção adequada na calculadora. Se as coordenadas dos dois pontos forem conhecidas, selecione "Se os 2 Pontos são Conhecidos".

Se você tiver apenas as coordenadas de um dos pontos, precisará saber a distância, d, e o declive da reta, m, para realizar os cálculos. Neste caso, escolha "Se 1 Ponto e o Declive são Conhecidos".

Se os 2 Pontos são Conhecidos

Insira as coordenadas conhecidas dos pontos nos respectivos campos e clique em "Calcular". A calculadora retornará as seguintes informações:

• o declive m,
• o ângulo de inclinação θ,
• o comprimento da linha d,
• a mudança horizontal ∆x,
• a mudança vertical ∆y.

A calculadora também demonstrará o passo a passo com as fórmulas utilizadas para encontrar o declive e todos os outros valores característicos da reta. Além disso, exibirá a equação correspondente da reta e traçará o seu gráfico para facilitar a visualização geométrica.

Para limpar todos os campos, clique em "Limpar".

Se 1 Ponto e o Declive são Conhecidos

Insira as coordenadas conhecidas do ponto, a distância e o declive nos campos correspondentes. Note que, em vez do declive, você pode inserir o valor do "ângulo de inclinação (theta ou θ)"; o valor de θ deve ser inserido em graus. Apenas um destes valores deve ser preenchido (ou m ou θ). Se ambos (m e θ) forem inseridos, a calculadora ignorará o valor de θ e usará apenas o declive m para os cálculos.

Clique em "Calcular". A calculadora retornará as seguintes informações: as coordenadas do segundo ponto (x₂,y₂), a variação horizontal ∆x, a variação vertical ∆y e o comprimento da reta d. Se o declive m for utilizado nos cálculos, a ferramenta também retornará o valor de θ. Se o ângulo de inclinação θ for usado, o valor de m será fornecido na resposta. Além disso, a calculadora exibirá a equação correspondente da reta e gerará o gráfico para representação visual.

Para limpar todos os campos, clique em “Limpar”.

Fórmula do declive

Como mencionado anteriormente, o declive de uma reta (coeficiente angular) é definido como a razão entre a variação na coordenada vertical (eixo y) e a variação na coordenada horizontal (eixo x):

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}=tanθ$$

A equação acima é conhecida como a fórmula do declive. Ela pode ser usada para encontrar a inclinação de qualquer reta, desde que as coordenadas de dois pontos pertencentes a ela sejam conhecidas. O declive é comumente denotado pela letra m e é usado para descrever a direção da reta, assim como a sua inclinação:

• Se a reta sobe da esquerda para a direita, então y₂>y₁ quando x₂>x₁. O declive será sempre positivo, m>0. Neste caso, dizemos que a reta é crescente.

• Se a reta desce da esquerda para a direita, então y₂<y₁ quando x₂>x₁. O declive será negativo, m<0. Neste caso, dizemos que a reta é decrescente.

• Se a reta for horizontal, então y₂=y₁ e y₂-y₁=0. Então o declive também será igual a zero: m=0.

• Se a reta for vertical, então x₂=x₁ e x₂-x₁=0. A fórmula do declive terá um zero no denominador, o que significa que o declive é indefinido.

Equação da reta

Podemos escrever qualquer equação linear na seguinte forma:

$$y=mx+b$$

Esta forma de equação linear é chamada de equação reduzida da reta (ou forma declive-interseção). O gráfico desta equação será uma reta, onde m é a inclinação da reta, e b é a coordenada na qual o gráfico intercepta o $y-axis$. O valor b também é frequentemente chamado de coeficiente linear (ou interseção em y) da reta, uma vez que y=b quando x=0.

Quando as coordenadas de um ponto na reta e o seu declive são conhecidos, podemos escrever a equação da reta na chamada forma ponto-declive (ou equação fundamental da reta):

$$y-y₁=m(x-x₁)$$

Esta forma de equação linear é muito útil para encontrar a interseção em y de uma reta.

Exemplo de cálculo

Vamos supor que conhecemos as coordenadas de dois pontos de uma reta.

Dados:

$$x₁=1$$

$$y₁=1$$

$$x₂=9$$

$$y₂=25$$

Primeiro, vamos encontrar o declive desta reta:

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}$$

$$m=\frac{25-1}{9-1}=\frac{24}{8}=3$$

$$m=3$$

Agora, vamos encontrar os outros valores característicos da reta. Sabemos que m=tanθ, portanto, podemos calcular o ângulo de inclinação θ da seguinte maneira:

$$\theta=\arctan{\left(m\right)}= arctan\frac{∆x}{∆y} = 71,565051177078°$$

Adicionalmente,

$$∆x=9-1=8$$

$$∆y=25-1=24$$

Podemos encontrar a distância d usando o Teorema de Pitágoras. Este teorema afirma que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos de um triângulo retângulo.

Aplicando este teorema ao nosso triângulo, obtemos:

$$d^2=∆x2+∆y2$$

Logo,

$$d=∆x2+∆y2$$

$$d=\sqrt{8^2+{24}^2}=\sqrt{640}$$

$$d=25,298221281347$$

Para encontrar a interseção em y (coeficiente linear) da reta, vamos escrever a equação na forma ponto-declive, substituindo os valores fornecidos de m, x₁ e y₁:

$$y-1=3\left(x-1\right)$$

$$y=3x-2$$

Portanto, y=-2 é a interseção em y da reta. Em outras palavras, quando x=0, y=-2.

Se y=0:

$$x=\frac{2}{3}=0,66666666666667$$

O gráfico ilustra a reta correspondente. Em nosso caso, o declive é positivo, m>0, e podemos notar que a reta é crescente — ela sobe da esquerda para a direita. Podemos observar também que a reta é bastante íngreme, uma vez que o ângulo de inclinação é θ ≈ 72°.