Calculadora de Declive

Calculadora de declive

A calculadora de declive é uma ferramenta on-line objetiva que lhe permite encontrar o declive de uma linha reta. Na matemática, a declividade de uma linha é definida como a mudança na coordenada vertical (coordenada y) em relação à mudança na coordenada horizontal (coordenada x).

Notação usada

O declive é denotado pela letra m. O gráfico acima demonstra todas as outras notações utilizadas na calculadora. O descobridor de declive pode realizar cálculos em dois cenários diferentes:

1. Quando as coordenadas dos dois pontos da linha são conhecidas. No gráfico, os dois pontos têm as coordenadas (x₁,y₁) e (x₂,y₂). Neste caso, a calculadora vai encontrar o declive da linha, m.

2. Se soubermos as coordenadas de um ponto (x₁,y₁), a distância d e o declive de uma linha, a calculadora vai encontrar as coordenadas do segundo ponto da linha, (x₂,y₂).

Em ambos os cenários, a calculadora também retornará outras características ausentes da linha: a mudança horizontal ∆x, a mudança vertical ∆y, o ângulo de inclinação θ, o comprimento da linha, ou a distância, d.

Instruções de uso

Primeiro, identifique os valores conhecidos e escolha a calculadora apropriada. Se as coordenadas dos dois pontos forem conhecidas, selecione "Se os 2 Pontos são Conhecidos".

Se você tiver apenas as coordenadas de um dos pontos, para poder realizar os cálculos você precisará saber a distância, d, e a inclinação da linha, m. Neste caso, escolha "Se 1 Ponto e o Declive são Conhecidos".

Se os 2 Pontos são Conhecidos

Insira as coordenadas conhecidas dos pontos nos campos respectivos, depois pressione "Calcular". A calculadora retornará as seguintes informações:

• o declive m,
• o ângulo de inclinação θ,
• o comprimento da linha d,
• a mudança horizontal ∆x,
• a mudança vertical ∆y.

A calculadora também demonstrará as fórmulas utilizadas para encontrar o declive e todos os outros valores característicos da linha. A calculadora exibirá a equação correspondente da linha, e esquematizará a linha para representação visual.

Para limpar todos os campos, pressione "Limpar".

Se 1 Ponto e o Declive são Conhecidos

Insira as coordenadas conhecidas do ponto, a distância e o declive até os campos correspondentes. Note que, ao invés do declive, você pode inserir o valor do "ângulo de inclinação (theta ou θ)"; O valor de θ deve ser inserido em graus. Apenas um destes valores deve ser inserido (ou m ou θ). Se ambos m e θ forem inseridos, a calculadora ignorará o valor de θ e usará apenas o declive m para os cálculos.

Pressione "Calcular". A calculadora retornará as seguintes informações: as coordenadas do segundo ponto (x₂,y₂), a mudança horizontal ∆x, a mudança vertical ∆y, o comprimento da linha d. Se o declive m foi utilizado para os cálculos, a calculadora também retornará o valor de θ. Se o ângulo de declive θ foi usado para os cálculos, o valor de m será devolvido na resposta. Além disso, a calculadora exibirá a equação correspondente da linha, e esquematizará a linha para representação visual.

Para limpar todos os campos, pressione “Limpar”.

Fórmula de declive

Como mencionado acima, o declive de uma linha é definido como a mudança na coordenada vertical (coordenada y) de uma linha em relação à mudança na coordenada horizontal (coordenada x):

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}=tanθ$$

A equação acima é chamada de fórmula de declive. Ela pode ser usada para encontrar o declive de qualquer linha dada, se as coordenadas de dois pontos na linha forem conhecidas. O declive é comumente denotado como m, e é usado para descrever a direção da linha, assim como sua inclinação:

• Se a linha vai para cima da esquerda para a direita, então y₂>y₁ quando x₂>x₁. O declive será sempre positivo, m>0. Neste caso, dizemos que a linha está aumentando.

• Se a linha vai para baixo da esquerda para a direita, então y₂<y₁ quando x₂>x₁. O declive será negativo, m<0. Neste caso, dizemos que a linha está diminuindo.

• Se a linha for horizontal, então y₂=y₁ e y₂-y₁=0. Então o declive também será igual a zero: m=0.

• Se a linha for vertical, então x₂=x₁ e x₂-x₁=0. A fórmula do declive terá um zero no denominador, e o declive é indefinido.

Equação de linha

Podemos escrever qualquer equação linear na seguinte forma:

$$y=mx+b$$

Esta forma de equação linear é chamada de forma de intercepção de declives. A trama desta equação será uma linha reta, onde m é a inclinação da linha, e b é a coordenada, na qual o gráfico intercepta o $y-axis$. B também é às vezes chamado de intercepção em y da linha, uma vez que y=b quando x=0.

Quando as coordenadas de um ponto na linha e o declive são conhecidas, podemos escrever a equação da linha na chamada forma de declive do ponto:

$$y-y₁=m(x-x₁)$$

Esta forma de equação linear é benéfica para encontrar a intercepção em y de uma linha.

Exemplo de cálculo

Vamos assumir que conhecemos as coordenadas dos dois pontos da linha.

Dado:

$$x₁=1$$

$$y₁=1$$

$$x₂=9$$

$$y₂=25$$

Vamos primeiro encontrar o declive desta linha:

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}$$

$$m=\frac{25-1}{9-1}=\frac{24}{8}=3$$

$$m=3$$

Agora, vamos encontrar os outros valores característicos da linha. Nós sabemos que m=tanθ, portanto, podemos encontrar o ângulo de inclinação θ como a seguir:

$$\theta=\arctan{\left(m\right)}= arctan\frac{∆x}{∆y} = 71,565051177078°$$

Adicionalmente,

$$∆x=9-1=8$$

$$∆y=25-1=24$$

Podemos encontrar a distância d usando um teorema de Pitágoras. Ele afirma que o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados do comprimento das pernas do triângulo direito.

Aplicando este teorema ao nosso triângulo, obtemos:

$$d^2=∆x2+∆y2$$

Logo,

$$d=∆x2+∆y2$$

$$d=\sqrt{8^2+{24}^2}=\sqrt{640}$$

$$d=25,298221281347$$

Para encontrar o intercepção em y da linha, vamos escrever a equação da linha na forma de ponto inclinado, substituindo nossos valores dados de m, x₁ e y₁:

$$y-1=3\left(x-1\right)$$

$$y=3x-2$$

Portanto, y=-2 é a intercepção em y da linha, ou, em outras palavras, quando x=0, y=-2.

Se y=0:

$$x=\frac{2}{3}=0,66666666666667$$

O esboço demonstra a linha correspondente. Em nosso caso, o declive é positivo, m>0, e podemos ver que a linha está aumentando – ela sobe da esquerda para a direita. Podemos ver também que a linha é bastante íngreme, uma vez que o ângulo de inclinação θ ≈ 72°.