Calculatrice de cotes-probabilités

Les probabilités et les cotes sont des notions mathématiques couramment utilisées pour établir des pronostics et évaluer des risques. Bien que souvent confondus dans le langage courant, les termes "probabilité" et "cote" ne sont pas synonymes. Comprendre la différence entre ces deux concepts est essentiel, que ce soit pour les statistiques, la finance ou les paris sportifs.

Définition de la probabilité

La probabilité d'un événement définit les chances que cet événement précis se produise. En termes mathématiques, il s'agit de la fraction ou du ratio entre le nombre de résultats favorables et le nombre total de résultats possibles.

Utilisons un exemple concret pour mieux illustrer ce concept.

Exemple de probabilité

Un jeu de cartes standard de 52 cartes contient 12 figures (le Roi, la Dame et le Valet pour chacune des quatre couleurs).

Supposons qu'un ami mélange ce jeu de cartes et vous demande d'en tirer une au hasard. Vous pensez pouvoir gagner de l'argent grâce à un pari. Par conséquent, vous pariez que si vous ne tirez pas une figure, vous lui donnez 1 $. À l'inverse, si vous tirez une figure, il vous versera 5 $.

Déterminons quelle est votre probabilité de gagner.

Votre probabilité de gagner correspond aux chances de tirer une figure parmi l'ensemble des résultats possibles. Le jeu contenant 52 cartes, il y a donc 52 résultats possibles au total. L'événement favorable (celui que vous souhaitez) est d'obtenir une figure. Pour cet événement spécifique, il y a 12 résultats possibles puisque le jeu contient 12 figures.

Pour trouver la solution, vous rapportez le nombre total de cas favorables au nombre total de résultats possibles. Le calcul donne donc 12/52. C'est de cette manière que l'on calcule une probabilité de réussite.

Définition de la cote

Les cotes (ou odds en anglais) mesurent la probabilité qu'un événement se produise en comparant le nombre de résultats favorables au nombre de résultats défavorables. En d'autres termes, les cotes sont un moyen de représenter le ratio entre la proportion de succès et la proportion d'échecs dans une situation précise.

Reprenons l'exemple précédent pour mieux comprendre.

Exemple de cotes

Dans l'exemple ci-dessus, votre résultat favorable est de tirer une figure. Par conséquent, il y a 12 résultats favorables. Le nombre de résultats défavorables se calcule en soustrayant le nombre de résultats favorables au nombre total de résultats. Vous devez donc soustraire 12 à 52, puisqu'il y a 52 résultats au total.

Nombre de résultats défavorables = Nombre total de résultats - Nombre de résultats favorables = 52 - 12 = 40

Pour exprimer la cote, vous utilisez maintenant un rapport qui oppose le nombre total de résultats souhaités au nombre total de résultats indésirables. C'est ce ratio que l'on appelle la cote.

Calcul des probabilités

En mathématiques, la probabilité se calcule en divisant le nombre de résultats souhaités par le nombre total de résultats.

Probabilité = Nombre de résultats souhaités / Nombre total de résultats

Calculons maintenant la probabilité de gagner pour l'exemple précédent.

Probabilité de gagner = Nombre de figures / Nombre total de cartes dans le jeu = 12/52 = 3/13

Nous allons désormais calculer la probabilité de perdre. Cela revient à évaluer la probabilité de l'événement complémentaire à l'événement souhaité.

Si l'événement souhaité est A, son événement complémentaire est noté Aᶜ ou A¹. On calcule la probabilité d'un événement complémentaire en soustrayant à 1 la probabilité de l'événement souhaité.

P(Aᶜ) = 1-P(A)

Calculons la probabilité de perdre pour notre exemple de cartes.

Nous avons déjà déterminé que la probabilité de gagner est de 3/13. Par conséquent :

Probabilité de perdre = 1 - probabilité de gagner = 1 - 3/13 = 10/13

Calcul des cotes

Les cotes se calculent en trouvant le rapport le plus simple entre le nombre de résultats souhaités et le nombre de résultats indésirables. On peut également les déterminer en calculant le ratio entre la probabilité des événements favorables et la probabilité des événements défavorables.

Il existe deux types de calculs pour évaluer les cotes :

• les cotes en faveur,
• les cotes contre.

Les cotes en faveur

Les cotes en faveur représentent le rapport simplifié entre le nombre de cas où l'événement souhaité se produit et le nombre de cas où il ne se produit pas. Disons que nous souhaitons que l'événement A se produise. On calcule la cote en faveur de l'événement A de la manière suivante.

En se basant sur le nombre de résultats :

Les chances en faveur de l'événement A = n(A) : n(Aᶜ)

En se basant sur les probabilités :

Les chances en faveur de l'événement A = P(A) : P(Aᶜ)

Calculons la cote en faveur de la victoire dans notre exemple.

1. En se basant sur le nombre de résultats :

Dans l'exemple précédent, l'événement souhaité était de tirer une figure.

Nombre de résultats souhaités = 12

Nombre de résultats indésirables = Nombre total de résultats - Nombre de résultats souhaités = 52 - 12 = 40

Par conséquent,

La cote en faveur est = Nombre de résultats souhaités / Nombre de résultats indésirables = 12/40 = 3/10

2. En se basant sur les probabilités :

L'événement souhaité est de tirer une figure.

Probabilité de gagner = Nombre de résultats souhaités / Nombre total de résultats = 12/52 = 3/13

Probabilité de perdre = 1 - probabilité de gagner = 1 - 3/13 = 10/13

Cote en faveur = probabilité de gagner / probabilité de perdre = 3/13 : 10/13 = 3:10

Les cotes contre

Les cotes contre représentent le rapport simplifié entre le nombre de cas défavorables (où l'événement souhaité ne se produit pas) et le nombre de cas favorables. Supposons que l'événement souhaité soit A. Les cotes contre l'événement A se calculent ainsi.

En se basant sur le nombre de résultats :

Les chances contre l'événement A = n(Aᶜ) : n(A)

En se basant sur les probabilités :

Les chances contre l'événement A = P(Aᶜ) : P(A)

Calculons les cotes contre la victoire pour notre exemple de cartes.

1. En se basant sur le nombre de résultats :

L'événement souhaité est de tirer une figure.

Nombre de résultats souhaités = 12

Nombre de résultats indésirables = Nombre total de résultats - Nombre de résultats souhaités = 52 - 12 = 40

Par conséquent,

• Cotes contre la victoire = nombre de résultats indésirables : nombre de résultats souhaités = 40 : 12 = 10 : 3

2. En se basant sur les probabilités :

L'événement souhaité est de tirer une figure.

Probabilité de gagner = Nombre de résultats souhaités / Nombre total de résultats = 12/52 = 3/13

Probabilité de perdre = 1 - probabilité de gagner = 1 - 3/13 = 10/13

Cotes contre la victoire = probabilité de perdre : probabilité de gagner = 10/13 : 3/13 = 10 : 3

Expression

Exprimer des probabilités

Les probabilités peuvent s'exprimer de différentes manières : sous la forme d'un nombre décimal, d'un pourcentage, d'une fraction ou d'un rapport.

Dans l'exemple précédent, nous avons d'abord calculé la probabilité de gagner à l'aide d'une fraction.

Probabilité de gagner = Nombre de résultats souhaités / Nombre total de résultats = 12/52 = 3/13

Nous pouvons également exprimer cette probabilité de gagner avec un nombre décimal.

• Probabilité de gagner = Nombre de résultats souhaités / Nombre total de résultats = 12/52 = 3/13 = 0,2308

La probabilité de gagner peut aussi s'exprimer en pourcentage, une méthode très appréciée pour sa clarté.

• Probabilité de gagner = (Nombre de résultats souhaités / Nombre total de résultats) × 100 % = (12/52) × 100 % = (3/13) × 100 % = 23,08 %

Enfin, on peut utiliser un rapport (ratio) pour représenter cette même probabilité.

Probabilité de gagner = Nombre de résultats souhaités : Nombre total de résultats = 12 : 52 = 3 : 13

En résumé :

• Probabilité de gagner = 3/13 = 0,2308 = 23,08 %

Exprimer des cotes

La cote s'exprime généralement sous la forme d'un rapport réduit à ses termes les plus simples.

D'après notre exemple :

• Cote en faveur = nombre de résultats souhaités : nombre de résultats indésirables = 12 : 40 = 3 : 10

• Cote contre = nombre de résultats indésirables : nombre de résultats souhaités = 40 : 12 = 10 : 3

L'intervalle de valeurs

L'intervalle de probabilité

Lorsqu'un événement est certain de se produire, sa probabilité est de 1. Lorsqu'il est impossible qu'un événement se produise, sa probabilité est de 0. Par conséquent, la probabilité mathématique d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1. Si l'on exprime cette probabilité en pourcentage, elle sera comprise entre 0 % et 100 %.

L'intervalle de cote

La cote en faveur tend vers l'infini lorsqu'il est certain qu'un événement va se produire. À l'inverse, si l'événement ne se produira jamais, la cote est de zéro. Par conséquent, les cotes sont représentées par des valeurs comprises entre 0 et l'infini.

Comme illustré dans l'exemple :

• Cote en faveur = 3 : 10 = 0,3

• Cote contre = 10 : 3 = 3,33 (Note : 10 divisé par 3 équivaut à environ 3,33, ajusté ici pour plus de précision)

Convertir des cotes en probabilités

Comme nous l'avons vu, la cote est un excellent moyen de représenter la relation entre la proportion de succès et d'échecs dans une situation donnée.

Cependant, la cote ne donne pas directement le pourcentage de chances qu'un événement se produise. Ainsi, lorsque vous êtes face à des cotes (comme sur un site de paris sportifs), vous devrez souvent les convertir en probabilités pour évaluer le véritable potentiel de votre pronostic. Vous pouvez effectuer cette conversion grâce à la formule suivante.

Si l'événement favorable est A,

vous savez que,

n(S) = n(A) + n(Aᶜ)

Par conséquent,

$$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)}=\frac{n\left(A\right)}{n\left(A\right)+n(A^c)}$$

Exemple : conversion des cotes en probabilités

Dans notre exemple,

• Cote en faveur = 3 : 10

Par conséquent,

• Probabilité de gagner = Nombre de résultats souhaités / (Nombre de résultats souhaités + Nombre de résultats indésirables) = 3 / (3 + 10) = 3/13

Dans l'autre sens,

• Cote contre = 10 : 3

Par conséquent,

• Probabilité de perdre = Nombre de résultats indésirables / (Nombre de résultats indésirables + Nombre de résultats souhaités) = 10 / (10 + 3) = 10/13

Passer des cotes aux probabilités, ou simplifier des cotes sous forme de ratio, est aujourd'hui un jeu d'enfant. Notre calculatrice de cotes et probabilités est l'outil en ligne idéal pour vous aider à convertir instantanément vos chances de victoire en probabilités statistiques claires, tout en réduisant vos cotes à leur rapport le plus simple. Elle se charge également de convertir toute cote contre en probabilité d'échec.

Pour vérifier les résultats de l'exemple précédent à l'aide de notre convertisseur de cotes, saisissez simplement 12 pour A et 40 pour B, sélectionnez l'option correspondante pour définir si les cotes sont "en faveur" ou "contre" la victoire, puis lancez le calcul. En inversant les valeurs (40 pour A et 12 pour B) et en sélectionnant « Les cotes contre la victoire sont », vous obtiendrez les mêmes résultats analytiques. Les réponses s'afficheront en une fraction de seconde sur votre écran.

L'importance des cotes

L'analyse des cotes et le calcul de probabilités trouvent des applications cruciales dans une multitude de domaines.

La recherche scientifique, et plus particulièrement l'épidémiologie (l'étude de la transmission des maladies), utilise massivement le système de cotes (odds ratio). Pour comprendre comment un virus se propage et pour développer des traitements efficaces, les chercheurs s'appuient sur les cotes pour comparer la proportion d'une population qui contracte la maladie à celle qui reste en bonne santé.

Les experts financiers et les analystes boursiers se servent quant à eux des cotes pour évaluer le rapport risque/rendement d'un actif. Cet indicateur mathématique précieux les aide à prendre des décisions d'investissement éclairées et stratégiques.

Enfin, les cotes sont la pierre angulaire de l'industrie des paris sportifs et des jeux de hasard. Il est primordial de comprendre que les cotes affichées par un bookmaker ne représentent jamais exactement la probabilité pure qu'un événement sportif se produise. L'opérateur de paris ajoute systématiquement une marge bénéficiaire (souvent appelée vig ou house edge) à ces cotes. De ce fait, le gain reversé au parieur victorieux est toujours légèrement inférieur à ce qu'il aurait été si les cotes avaient reflété avec une totale justesse les probabilités mathématiques réelles.