Calculatrice de l'écart-type et de la marge d'erreur

Notre calculatrice d'écart-type en ligne permet de calculer rapidement et précisément l'écart-type d'une série de données. En plus de cette mesure statistique clé, cet outil gratuit fournit des informations complémentaires détaillées, telles que la moyenne et la variance. La calculatrice détermine également l'intervalle de confiance de votre jeu de données pour différents niveaux de confiance et génère un tableau de distribution des fréquences.

Pour utiliser cette calculatrice, il vous suffit de saisir vos valeurs séparées par des virgules. Indiquez ensuite si ces données représentent une population globale ou un échantillon, puis cliquez sur le bouton « Calculate ».

L'écart-type

L'écart-type est une mesure statistique fondamentale qui évalue le degré de dispersion ou de variabilité d'un ensemble de données. Il indique la distance moyenne des points de données par rapport à la moyenne globale. Plus l'écart-type est faible, plus les valeurs sont concentrées autour de la moyenne. À l'inverse, un écart-type élevé signifie que les données sont très dispersées. Mathématiquement, l'écart-type correspond à la racine carrée d'une autre mesure de dispersion appelée la variance.

Le calcul de l'écart-type dépend de la nature de vos données. Si votre jeu de données inclut tous les éléments étudiés (la totalité du groupe), on calcule l'écart-type de la population. En revanche, s'il ne représente qu'une partie de ce groupe, on parlera de l'écart-type de l'échantillon.

L'écart-type d'une population

On calcule l'écart-type d'une population lorsque la série de données englobe l'intégralité de la population étudiée. En d'autres termes, toutes les observations possibles sont prises en compte. L'écart-type de la population est symbolisé par σ (la lettre grecque minuscule sigma).

Voici la formule de l'écart-type d'une population :

$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\mu)^2}}{N}}$$

Où :

• Σ est la lettre grecque majuscule sigma, utilisée en mathématiques pour indiquer une somme ;
• xᵢ représente chaque point de données (chaque observation individuelle de l'ensemble), du premier au Nième (le dernier) ;
• μ représente la moyenne de la population ;
• n est la taille de la population.

Exemple : calcul de l'écart-type de la population générale

Découvrons comment calculer l'écart-type d'une population à travers un exemple concret.

Les investisseurs considèrent souvent les actions en bourse comme des actifs à risque en raison de leur forte volatilité par rapport à d'autres catégories d'investissement. Un gestionnaire de fonds souhaite analyser la volatilité de certaines actions sur le mois écoulé. Sa règle est stricte : il ne recommandera à ses clients aucune action dont l'écart-type est supérieur ou égal à sa moyenne, la jugeant « trop risquée ».

Voici les cours de clôture quotidiens (en dollars) d'une action pour le mois précédent. Calculez l'écart-type pour déterminer si le gestionnaire validera cet investissement :

1,31, 1,30, 1,36, 1,40, 1,40, 1,41, 1,27, 1,19, 1,15, 1,12, 0,99, 1,00, 0,97, 0,94, 0,88, 0,90, 0,86, 0,88, 0,80, 0,81

Étant donné que le gestionnaire s'intéresse uniquement aux cours du mois précédent et que la liste ci-dessus contient l'historique complet de ce mois, notre série de données constitue la population entière. Nous utiliserons donc la formule de l'écart-type de la population.

Pour trouver l'écart-type, commencez par calculer la moyenne (μ). Rappel : la moyenne s'obtient en divisant la somme de toutes les valeurs par le nombre total de valeurs.

$$\mu=\frac{1,31+1,30+1,36+1,40+1,40+1,41+1,27+1,19+1,15+1,12+0,99+1,00+0,97+0,94+0,88+0,90+0,86+0,88+0,80+0,81}{20}=1,097$$

Ensuite, soustrayez cette moyenne à chaque nombre et élevez le résultat au carré. Additionnez tous ces écarts au carré, puis divisez cette somme par l'effectif total. Le résultat obtenu est la variance, notée σ².

$$\sigma^2=\frac{\left(1,31-1,097\right)^2+\left(1,30-1,097\right)^2+\left(1,36-1,097\right)^2+\left(1,40-1,097\right)^2+\ldots+\left(0,81-1,097\right)^2}{20}=0,045031$$

Enfin, extrayez la racine carrée de la variance pour obtenir l'écart-type.

$$\sigma=\sqrt{0,045031}\approx0,21$$

Comme vous pouvez le constater, l'écart-type des cours de cette action (0,21) est inférieur à sa moyenne (1,097). Par conséquent, le gestionnaire ne considérera pas cette action comme « trop risquée ».

L'écart-type d'un échantillon

L'écart-type d'un échantillon est utilisé lorsque vos données ne représentent qu'une fraction (un échantillon) de la population globale étudiée. Il s'applique donc à un sous-ensemble d'observations. L'écart-type d'un échantillon est représenté par la lettre s. Sa formule de calcul est la suivante :

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}$$

Où :

• Σ indique une somme ;
• xᵢ représente chaque valeur individuelle de l'échantillon ;
• x̄ représente la moyenne de l'échantillon ;
• n est la taille de l'échantillon.

Reprenons l'exemple précédent pour illustrer le calcul de l'écart-type d'un échantillon. Imaginons cette fois que le gestionnaire de fonds n'ait pas accès à l'ensemble des cours de clôture du mois. Il ne dispose que des cours de 5 jours de cotation pris au hasard au cours du mois écoulé. Il va donc estimer la volatilité globale de l'action à partir de cet échantillon de données.

Supposons qu'il obtienne les prix de clôture de ces 5 jours :

1,31, 1,40, 0,86, 0,88, 1,40

Puisque nous n'avons qu'un petit sous-ensemble des données du mois précédent, nous travaillons avec un échantillon. Nous devons donc appliquer la formule de l'écart-type pour un échantillon.

Commencez par calculer la moyenne de l'échantillon (x̄).

$$\bar{x}=\frac{1,31+1,40+0,86+0,88+1,40}{5}=1,17$$

Calculez ensuite la variance de l'échantillon (s²).

$$s^2=\frac{\left(1,31-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2+\left(0,86-1,17\right)^2+\left(0,88-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2}{5-1}=0,0764$$

Enfin, prenez la racine carrée de cette variance pour trouver l'écart-type (s).

$$s=\sqrt{0,0764}\approx 0,28$$

Marge d’erreur

L'écart-type permet également de définir une plage de valeurs « acceptables » ou probables, un élément crucial pour le contrôle qualité industriel et l'analyse prédictive. Si les données étudiées suivent une distribution normale (courbe en cloche), cette plage est appelée l'intervalle de confiance (détaillé dans la section suivante). Ces intervalles sont calculés selon différents niveaux de confiance, exprimés en pourcentages.

La marge d'erreur est la composante qui détermine la largeur de cet intervalle de confiance. En d'autres termes, elle définit les écarts maximaux et minimaux acceptés autour de la valeur estimée.

La formule pour calculer la marge d'erreur est la suivante :

$$Marge\ d'erreur = z_{\alpha/2}\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

On utilise cette formule lorsque l'écart-type de la population, σ, est connu et que l'échantillon est suffisamment grand (généralement n>30).

Si l'écart-type de la population est inconnu et que la taille de l'échantillon est petite (généralement n≤30), on emploie cette variante :

$$Marge\ d'erreur = t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

Ici, l'écart-type de la population σ est remplacé par l'écart-type de l'échantillon s.

Les variables \$z_{\alpha/2}\$ et \$t_{n-1, \alpha/2}\$ sont des valeurs critiques, déterminées respectivement par la table de la loi normale (statistique z) et la table de Student (statistique t). Ce sont des constantes qui dépendent du niveau de confiance choisi.

En statistiques, les niveaux de confiance les plus fréquents sont 90 %, 95 % et 99 %. Leurs valeurs critiques \$z_{\alpha/2}\$ correspondantes sont 1,645 (pour 90 %), 1,96 (pour 95 %) et 2,575 (pour 99 %).

Les termes \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ et \$\frac{s}{\sqrt n}\$ désignent ce que l'on appelle l'erreur type (ou erreur standard) :

• \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ s'utilise quand l'écart-type de la population σ est connu et que l'échantillon est grand (généralement n>30).
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ s'utilise quand l'écart-type de la population est inconnu et que l'échantillon est petit (généralement n≤30). Dans ce cas, on utilise l'écart-type de l'échantillon s dont on dispose pour estimer celui de la population.

L'intervalle de confiance

Comme évoqué précédemment, l'intervalle de confiance est une fourchette de valeurs dans laquelle on estime qu'un paramètre donné a une certaine probabilité de se trouver, selon un niveau de confiance défini.

Par exemple, nous pourrions affirmer qu'à un niveau de confiance de 90 %, la taille moyenne des adolescentes de 13 ans se situe entre 59 et 66 pouces. Cela signifie que si nous mesurons plusieurs groupes de filles de cet âge, la moyenne de leurs tailles tombera dans cette fourchette environ 90 % du temps.

La formule de l'intervalle de confiance est :

$$\bar{x}± z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ est la moyenne de l'échantillon,
• \$z_{\alpha/2}\$ est la valeur critique,
• σ est l'écart-type de la population,
• n est le nombre d'observations.

Si l'écart-type de la population σ est inconnu, on le remplace par l'écart-type de l'échantillon s en adaptant la formule :

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ est la moyenne de l'échantillon,
• $t_{n-1,\alpha/2}$ est la valeur critique,
• s est l'écart-type de l'échantillon,
• n est le nombre d'observations.

Si nous nous référons au chapitre précédent, les termes \$z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\$ et \$t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\$ correspondent précisément à la marge d'erreur.

Exemple : calcul de l'intervalle de confiance

Supposons que les cours quotidiens de l'action étudiée suivent une distribution normale. Nous disposons d'un échantillon composé de 10 cours de clôture :

1,31, 1,36, 1,40, 1,27, 1,15, 0,99, 0,97, 0,88, 0,86, 0,80

Nous voulons déterminer la fourchette dans laquelle le cours moyen de l'action fluctue, avec un niveau de confiance de 95 %.

S'agissant d'un petit échantillon et l'écart-type de la population totale étant inconnu, nous devons utiliser la formule incluant l'écart-type de l'échantillon et la statistique t :

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ est la moyenne de l'échantillon : 1,10
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ est la valeur critique : \$t_{9, 0,025}\$ = 2,26 (pour une taille d'échantillon et un seuil de confiance donnés, cette valeur se lit dans une table z ou une table t)
• s est l'écart-type de l'échantillon : 0,23
• n est le nombre d'observations : 10
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ représente l'erreur type : \$\frac{0,23}{\sqrt{10}}=0,07\$

Insérons maintenant ces valeurs dans la formule :

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

Calcul de la borne inférieure :

$$1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 - 2,26 × 0,07 = 1,10 - 0,16 = 0,94$$

Calcul de la borne supérieure :

$$1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 + 2,26 × 0,07 = 1,10 + 0,16 = 1,26$$

Conclusion : nous pouvons affirmer avec 95 % de certitude que le cours moyen de cette action se situe à l'intérieur de l'intervalle de confiance (0,94, 1,26).