Calcolatore della deviazione standard

Il calcolatore della deviazione standard calcola la deviazione standard di un insieme di numeri. Inoltre, fornisce informazioni aggiuntive sui numeri, comprese la media e la varianza. Il calcolatore calcola inoltre l'intervallo di confidenza del set di dati per diversi livelli di confidenza e fornisce la tabella di distribuzione della frequenza.

Per utilizzare questo calcolatore, inserisci i numeri nel calcolatore separati da virgole. Seleziona se i numeri rappresentano una popolazione o un campione e fai clic su "Calcola".

La Deviazione Standard

La deviazione standard è una misura statistica che definisce il grado di diffusione o variabilità di un dato set di dati. Fornisce la distanza media aggregata dei punti dati dalla media del set di dati. Quanto più piccola è la deviazione standard, tanto più i dati si avvicinano alla media. Al contrario, maggiore è la deviazione standard, più i dati si allontanano dalla media. La deviazione standard è la radice quadrata di un'altra misura di spread chiamata varianza.

La deviazione standard viene calcolata in base alle informazioni sul set di dati. Se il set di dati rappresenta tutti i punti di interesse (popolazione), la deviazione standard è chiamata deviazione standard della popolazione. Tuttavia, se il set di dati rappresenta un campione di una popolazione, la deviazione standard viene chiamata deviazione standard del campione.

La deviazione standard della popolazione

La deviazione standard della popolazione viene calcolata quando il set di dati rappresenta la popolazione di interesse. Cioè, il set di dati rappresenta tutte le osservazioni prese in considerazione. La deviazione standard della popolazione è indicata con σ.

σ è la minuscola di una lettera greca chiamata Sigma. La deviazione standard della popolazione viene calcolata utilizzando la formula:

$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\mu)^2}}{N}}$$

Dove:

• Σ è la lettera maiuscola greca Sigma, che viene utilizzata per denotare la sommatoria in matematica;
• xᵢ rappresenta ciascuno dei punti dati (ciascuna osservazione del set di dati), a partire dal primo punto dati fino all'Nesimo (l'ultimo) punto dati;
• μ rappresenta la media della popolazione;
• n è la dimensione della popolazione.

Esempio di calcolo della deviazione standard della popolazione generale

L'esempio seguente mostra come trovare la deviazione standard dei dati sulla popolazione.

Gli investitori considerano le azioni un asset rischioso a causa della loro elevata volatilità rispetto ad altre classi di asset. Un gestore degli investimenti desidera analizzare la volatilità di alcuni titoli nel mese precedente e non consiglierà ai suoi clienti titoli la cui deviazione standard è maggiore o uguale alla sua media poiché considera tali titoli "troppo rischiosi".

Di seguito sono elencati tutti i prezzi di chiusura giornalieri (in USD) delle azioni per il mese precedente. Calcolare la deviazione standard e determinare se il gestore considera il titolo "troppo rischioso":

1,31, 1,30, 1,36, 1,40, 1,40, 1,41, 1,27, 1,19, 1,15, 1,12, 0,99, 1,00, 0,97, 0,94, 0,88, 0,90, 0,86, 0,88, 0,80, 0,81

Tieni presente che il gestore è interessato solo ai prezzi delle azioni del mese precedente e che i prezzi sopra elencati sono tutti i prezzi del mese precedente. Di conseguenza, abbiamo la popolazione a nostra disposizione. Quindi calcoleremo la deviazione standard utilizzando la formula per la deviazione standard della popolazione.

Per trovare la deviazione standard, calcola prima la media. Ricorda che la media μ si ottiene dividendo la somma dei numeri per il conteggio dei numeri.

$$\mu=\frac{1,31+1,30+1,36+1,40+1,40+1,41+1,27+1,19+1,15+1,12+0,99+1,00+0,97+0,94+0,88+0,90+0,86+0,88+0,80+0,81}{20}=1,097$$

Successivamente, sottrai la media da ciascun numero ed eleva la differenza al quadrato. Quindi aggiungi i risultati e dividi il risultato per il conteggio. Il risultato è chiamato varianza σ².

$$\sigma^2=\frac{\left(1,31-1,097\right)^2+\left(1,30-1,097\right)^2+\left(1,36-1,097\right)^2+\left(1,40-1,097\right)^2+\ldots+\left(0,81-1,097\right)^2}{20}=0,045031$$

Infine, prendi la radice quadrata della varianza per ottenere la deviazione standard.

$$\sigma=\sqrt{0,045031}\approx0,21$$

Come puoi vedere, la deviazione standard dei prezzi di questo titolo per il mese precedente è inferiore alla media. Pertanto, il gestore non considererà questo titolo “troppo rischioso”.

La Deviazione Standard Campionaria

La deviazione standard campionaria viene calcolata quando il set di dati in esame rappresenta un campione della popolazione di interesse. Il set di dati rappresenta un insieme più piccolo di osservazioni da tutte le osservazioni prese in considerazione. La deviazione standard campionaria è indicata con s. La deviazione standard del campione viene calcolata utilizzando la formula:

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}$$

Dove:

• Σ denota la sommatoria;
• xᵢ rappresenta ciascuno dei punti dati;
• x̄ rappresenta la media campionaria;
• n è la dimensione del campione.

Illustreremo come trovare la deviazione standard dei dati del campione utilizzando lo stesso esempio della deviazione standard della popolazione. Ma in questa situazione, il gestore degli investimenti non ha accesso ai prezzi di chiusura di tutti i giorni di negoziazione del mese precedente. Tuttavia, ha i prezzi di chiusura di alcuni 5 giorni casuali del mese precedente. Di conseguenza, stimerà la deviazione standard dei prezzi di chiusura delle azioni utilizzando i dati del campione disponibile.

Supponiamo che abbia i prezzi di chiusura per 5 giorni:

1,31, 1,40, 0,86, 0,88, 1,40

Tieni presente che il manager è interessato ai prezzi delle azioni del mese precedente. Tuttavia non dispone di tutti i prezzi del mese precedente, ma di un piccolo sottoinsieme dei prezzi di chiusura di soli 5 giorni. Quindi in questo caso abbiamo a che fare con un campione. Calcoleremo la deviazione standard utilizzando la formula della deviazione standard campione.

Innanzitutto, calcola la media del campione.

$$\bar{x}=\frac{1,31+1,40+0,86+0,88+1,40}{5}=1,17$$

Poi, calcola la varianza s².

$$s^2=\frac{\left(1,31-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2+\left(0,86-1,17\right)^2+\left(0,88-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2}{5-1}=0,0764$$

Infine, prendi la radice quadrata della varianza per ottenere la deviazione standard.

$$s=\sqrt{0,0764}\approx 0,28$$

Margine di Errore

Uno degli usi della deviazione standard è calcolare l'intervallo di valori "accettabile". Ciò svolge un ruolo significativo nella garanzia della qualità statistica del settore e nell’analisi predittiva. Supponiamo che i dati sottostanti in esame seguano una distribuzione normale. In tal caso, questo intervallo viene definito intervallo di confidenza (fare riferimento alla sezione successiva). Questi intervalli di confidenza sono forniti a vari livelli di confidenza (o percentuali).

Il margine di errore è una componente dell'intervallo di confidenza che fornisce l'ampiezza dell'intervallo di confidenza. Cioè, il margine di errore fornisce i valori massimo e minimo accettati della quantità in esame.

Il margine di errore si calcola utilizzando la formula:

$$Margine\ di\ errore = z_{\alpha/2}\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

Applichiamo questa formula se è nota la deviazione standard della popolazione, σ. E allo stesso tempo il campione dovrebbe essere sufficientemente ampio (di solito n>30).

Quando la deviazione standard della popolazione non è nota e il campione è piccolo (solitamente n≤30) utilizziamo la seguente formula:

$$Margine\ di\ errore = t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

In questa formula utilizziamo la deviazione standard del campione s poiché la deviazione standard della popolazione σ non è nota.

\$z_{\alpha/2}\$ and \$t_{n-1, \alpha/2}\$ sono determinati utilizzando rispettivamente la statistica z e la statistica t e sono chiamati valore critico. Sono costanti associate ai livelli di confidenza.

Gli intervalli di confidenza più comuni utilizzati nelle statistiche sono 90%, 95% e 99%. E i loro valori\$z_{\alpha/2}\$ dono 1,645 (for 90%), 1,96 (per il 95%), e 2,575 (per il 99%)

\$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ or \$\frac{s}{\sqrt n}\$ sono chiamati errori standard.

• \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ si usa quando conosciamo la deviazione standard della popolazione σ e abbiamo un campione ampio (solitamente n>30).
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ viene utilizzato per i casi in cui non conosciamo la deviazione standard della popolazione e abbiamo un campione piccolo (solitamente n≤30). Cioè, invece della deviazione standard della popolazione generale σ, dobbiamo utilizzare la deviazione standard del campione a nostra disposizione s.

L'Intervallo di Confidenza

Come introdotto in precedenza, l'intervallo di confidenza è un intervallo (intervallo di valori) in cui ci si aspetta che una determinata quantità si trovi ad un determinato livello di confidenza.

Ad esempio, possiamo dire che un certo valore, ad esempio l'altezza delle ragazze di 13 anni, è compreso tra 59 pollici e 66 pollici con un livello di confidenza del 90%. Cioè, se dovessimo selezionare un gruppo di ragazze di 13 anni, circa il 90% delle volte, la loro altezza sarà compresa tra i valori indicati.

L'intervallo di confidenza si calcola utilizzando la formula:

$$\bar{x}± z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ è la media campionaria,
• \$z_{\alpha/2}\$ è il valore critico,
• σ è la deviazione standard della popolazione,
• n è il numero di osservazioni.

Un'altra formula viene utilizzata quando non conosciamo la deviazione standard della popolazione σ e dobbiamo invece utilizzare la deviazione standard campionaria s:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ è la media campionaria,
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ è il valore critico,
• s è la deviazione standard del campione,
• n è il numero di osservazioni.

Come possiamo ricordare dal capitolo precedente \$z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\$ and \$t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\$ sono i margini di errore.

Esempio di calcolo dell'intervallo di confidenza

Supponiamo di sapere che i prezzi giornalieri delle azioni che stiamo considerando hanno una distribuzione normale. Abbiamo a nostra disposizione un campione dei prezzi delle azioni:

1,31, 1,36, 1,40, 1,27, 1,15, 0,99, 0,97, 0,88, 0,86, 0,80

Dobbiamo calcolare in quale intervallo oscilleranno i prezzi delle azioni con una confidenza del 95%.

Questo è un campione piccolo e non conosciamo la deviazione standard della popolazione, quindi utilizzeremo la deviazione standard del campione e la formula per calcolare:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ è la media campionaria, 1,10
• \$t_{n-1,\alpha/2}$ è il valore critico, \$t_{9, 0.025}\$ = 2.26 (il valore critico per una determinata dimensione del campione e un livello di confidenza viene solitamente calcolato da un tabella z o tabella t)
• s è la deviazione standard del campione, 0,23
• n è il numero di osservazioni, 10,
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ è l’errore standard \$\frac{0.23}{\sqrt{10}}=0.07\$

Quindi inseriamo i numeri nella formula

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

e otteniamo:

$$1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 - 2,26 × 0,07 = 1,10 - 0,16 = 0,94$$

$$1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 + 2,26 × 0,07 = 1,10 + 0,16 = 1,26$$

Ciò significa che siamo sicuri al 95% che il prezzo medio delle azioni rientri nell'intervallo di confidenza (0,94, 1,26).