Calcolatore di Z-Score

Il Calcolatore di Z-Score può essere utilizzato per qualsiasi tipo di calcolo relativo allo Z-Score. Puoi inserire un punteggio grezzo (X), la media della popolazione (μ) e la deviazione standard (σ) nel primo calcolatore per trovare lo Z-Score con i passaggi e le probabilità correlate a quel punteggio grezzo.

Il Convertitore di Z-Score e Probabilità ti aiuta a convertire tra Z-Score e probabilità senza dover consultare una tabella Z. I risultati includeranno tutti i calcoli di probabilità possibili con quel singolo z-score. Usa l'ultimo calcolatore per trovare la probabilità tra 2 Z-Score.

Cos'è lo z-score?

Lo z-score è una misura statistica che descrive il numero di deviazioni standard di un punto dati dalla media di un insieme di dati. Lo Z-score è utilizzato per confrontare un singolo punto dati con l'intero insieme di dati e aiuta a standardizzare i dati in modo che sia più facile confrontare e analizzare.

Lo Z-score ci permette di determinare quanto un singolo punto dati sia "tipico" o al contrario "atipico" rispetto all'intero insieme di dati.

• Rilevare valori anomali: gli Z-score possono aiutarci a identificare i punti dati significativamente diversi dal resto dei dati. Questo è utile in aree come la finanza e la ricerca medica, dove i valori anomali possono indicare schemi o anomalie importanti.
• Confrontare dati di diversi insiemi: lo Z-score ci permette di confrontare dati di diversi insiemi, anche se hanno unità o intervalli diversi. Questo è utile in aree come l'apprendimento automatico, dove è necessario confrontare dati da diverse fonti per costruire modelli.
• Normalizzare i dati: convertendo i dati in Z-score, possiamo standardizzare i dati e renderli più facili da confrontare e analizzare. Questo è utile in aree come la visualizzazione dei dati, dove dobbiamo presentare i dati in modo comprensibile.

La formula dello Z-Score

Lo Z-Score per una popolazione

Z = Punteggio grezzo - Media della popolazione / Deviazione standard della popolazione

Z = (X - μ) / σ

Lo Z-Score per un campione

Z = Punteggio grezzo - Media del campione / Deviazione standard del campione

Z = (X - x̄) / s

Interpretazione dei risultati dello Z-score ottenuto

Z-score positivo: Uno Z-score positivo significa che il tuo punto dati è al di sopra del valore medio dell'insieme di dati. In altre parole, il tuo punto dati osservato è superiore al valore tipico nell'insieme di dati.

Z-score negativo: Uno Z-score negativo significa che il tuo punto dati è al di sotto del valore medio dell'insieme di dati. In altre parole, il tuo punto dati osservato è inferiore al valore tipico nell'insieme di dati.

Z-score: Lo Z-score ti dice quanto è distante il tuo punto dati dalla media dell'insieme di dati. Maggiore è lo Z-score, più il tuo punto dati osservato è lontano dal valore medio.

Z-score e deviazione standard

Lo Z-score e la deviazione standard sono correlati perché la deviazione standard è utilizzata per calcolare lo Z-score. Infatti, la deviazione standard è una componente chiave della formula dello Z-score.

La deviazione standard è una misura della dispersione dell'insieme di dati. Mostra quanto ogni punto dati sia lontano dal valore medio dell'insieme di dati. Maggiore è la deviazione standard, maggiore è la dispersione dei dati.

Lo Z-score, d'altra parte, ti dice quanto un punto dati sia lontano dalla media dell'insieme di dati rispetto alla deviazione standard. Utilizzando la deviazione standard per calcolare lo Z-score, puoi confrontare un punto dati con l'intero insieme di dati e vedere quanto sia insolito o tipico.

Z-score e la distribuzione normale

La distribuzione normale è un tipo di distribuzione spesso trovata in molti fenomeni del mondo reale. È una curva a campana che rappresenta la distribuzione dei dati attorno alla media di un insieme di dati. La distribuzione normale è anche nota come distribuzione gaussiana, in onore del matematico Carl Friedrich Gauss.

Lo Z-score è un modo per misurare quanto un punto dati sia lontano dalla media di un insieme di dati rispetto alla deviazione standard. Convertendo ogni punto dati in uno Z-score, puoi confrontare un punto dati individuale con l'intero insieme di dati e vedere quanto sia insolito o tipico.

Il collegamento tra uno Z-score e una distribuzione normale è che lo Z-score può essere utilizzato per standardizzare i dati e conformarli a una distribuzione normale. Ciò significa che puoi convertire qualsiasi insieme di dati in una distribuzione normale convertendo ogni punto dati in uno Z-score. Questo è utile perché molti metodi statistici presuppongono che i dati siano normalmente distribuiti, quindi convertire i dati in una distribuzione normale può aiutarti ad utilizzare questi metodi con maggiore precisione.

Confronto dei punti dati

Lo Z-score può aiutarti a capire quanto un punto dati sia lontano dalla media di un insieme di dati rispetto alla deviazione standard.

Il nostro esempio di utilizzo dello Z-score per confrontare i punti dati si applica alla finanza. Ad esempio, hai investito in due diversi portafogli azionari e vuoi confrontarne le prestazioni. Il rendimento medio del portafoglio A è del 10% con una deviazione standard del 2%, e il rendimento medio del portafoglio B è dell'8% con una deviazione standard del 3%. Convertendo i rendimenti in Z-score, puoi confrontare i rendimenti di ciascun portafoglio e determinare quale si comporta meglio.

Un altro esempio pratico dell'uso dello Z-score per confrontare i punti dati è nello sport. Ad esempio, vuoi confrontare le prestazioni di due giocatori di basket, giocatore A e giocatore B. Il giocatore A segna in media 20 punti a partita con una deviazione standard di 5 punti, e il giocatore B segna in media 18 punti a partita con una deviazione standard di 3 punti. Convertendo i punteggi in Z-score, puoi confrontare le prestazioni di ciascun giocatore e determinare quale giocatore sta andando meglio.

Normalizzazione dei dati

La normalizzazione dei dati è il processo di conversione dei dati in una scala standard in modo che possano essere facilmente confrontati e analizzati. Questo è importante perché i dati possono avere diverse forme e scale, e normalizzare i dati assicura che siano sulla stessa scala e facilita il confronto e l'analisi.

Convertendo ciascun punto dati in uno Z-score, puoi standardizzare i dati e metterli sulla stessa scala. Questo perché lo Z-score è sempre su una scala standard, dove la media è 0 e la deviazione standard è 1.

Un esempio pratico dell'uso dello Z-score per normalizzare i dati si riferisce al campo della psicologia. Ad esempio, vuoi confrontare i risultati di due test di QI, Test A e Test B. Il Test A ha un punteggio medio di 100 con una deviazione standard di 15, e il Test B ha un punteggio medio di 110 con una deviazione standard di 10. Convertendo i punteggi in Z-score, i punteggi possono essere standardizzati e ridotti a una singola scala, che facilita il confronto e l'analisi.

Un altro esempio pratico dell'uso dello Z-score per normalizzare i dati è nell'educazione. Ad esempio, vuoi confrontare i voti di due studenti, studente A e studente B. Lo studente A ha un voto medio di 80 con una deviazione standard di 5, e lo studente B ha un voto medio di 90 con una deviazione standard di 3. Convertendo i voti in coefficienti Z, puoi standardizzare i voti e metterli tutti sulla stessa scala, il che rende il confronto e l'analisi più facili.

Test delle ipotesi

Il test delle ipotesi è una tecnica statistica utilizzata per determinare se ci sono prove sufficienti per rifiutare l'ipotesi nulla, o l'assunzione standard che non ci sia relazione tra due variabili. È importante in molti campi, inclusi la ricerca medica, le scienze sociali e il business, dove prendere decisioni informate basate sui dati è fondamentale.

Quando si testano le ipotesi, gli Z-coefficienti possono essere utilizzati per determinare la probabilità che si verifichi un particolare risultato. Ad esempio, potresti testare se il peso medio di un gruppo di persone differisce dal peso medio dell'intera popolazione. Puoi usare lo Z-score per determinare se la differenza è statisticamente significativa.

Un esempio pratico dell'uso dello Z-score per testare le ipotesi è nel campo medico. Ad esempio, vuoi testare se un nuovo farmaco è efficace nel ridurre i sintomi di una certa malattia. Puoi usare lo Z-score per determinare se la differenza nei sintomi tra il gruppo che assume il farmaco e il gruppo di controllo sia statisticamente significativa.

Un altro esempio pratico dell'uso dello Z-score per testare le ipotesi è nell'area della finanza. Ad esempio, vuoi testare se una particolare azione ha un rendimento superiore rispetto alla media del mercato. Puoi usare lo Z-score per determinare se la differenza nei rendimenti sia statisticamente significativa.

Normalizzazione delle caratteristiche

La normalizzazione delle caratteristiche è una tecnica utilizzata nel machine learning e in altre applicazioni di analisi dei dati per garantire che tutte le caratteristiche in un insieme di dati abbiano la stessa scala. Questo è importante perché alcuni algoritmi di machine learning sono sensibili alla scala dei dati e possono produrre risultati inaccurati se la scala non corrisponde.

Un metodo comune per la normalizzazione delle caratteristiche è la normalizzazione Z-score, nota anche come standardizzazione. In questo processo, ogni caratteristica viene convertita in modo che il suo valore medio sia 0 e la sua deviazione standard sia 1. La formula per calcolare lo Z-score di una caratteristica è la seguente:

Z = (X - Media) / Deviazione Standard

dove X è il valore della caratteristica, Media è la media della caratteristica e Deviazione Standard è la Deviazione Standard della caratteristica.

Un esempio pratico dell'uso dello Z-score per normalizzare le caratteristiche è nel campo della visione artificiale. Quando si lavora con dati di immagini, è solitamente necessario normalizzare i valori dei pixel in modo che siano nel range da 0 a 1. Questo può essere ottenuto normalizzando lo Z-score, poiché ogni valore di pixel può essere trasformato in modo che il suo valore medio sia 0, e la sua deviazione standard sia 1.

Un altro esempio pratico dell'uso dello Z-score per la normalizzazione delle caratteristiche è nel processamento del linguaggio naturale. Quando si lavora con dati testuali, è prassi comune normalizzare i valori di frequenza del termine e frequenza inversa del documento (TF-IDF) in modo che siano nel range da 0 a 1. Anche questo può essere ottenuto utilizzando la normalizzazione Z-score.

Modellazione predittiva

La modellazione predittiva è una tecnica utilizzata nel machine learning e in altre applicazioni di analisi dei dati per fare previsioni basate su dati storici. Essa implica l'addestramento di un modello su un insieme di dati e l'uso di quel modello per fare previsioni su nuovi dati non visti.

Un aspetto importante della modellazione predittiva è la selezione delle caratteristiche, che implica la scelta delle caratteristiche più rilevanti dall'insieme di dati da utilizzare nel modello. Spesso, le caratteristiche che sono altamente correlate con la variabile target sono preferite perché sono più propense a predire la variabile target.

Lo Z-score può essere utilizzato per identificare le caratteristiche che sono altamente correlate con la variabile target perché le caratteristiche che hanno un alto Z-score sono più propense a predire la variabile target. La formula per calcolare lo Z-score di una caratteristica è la seguente:

Z = (X - Media) / Deviazione Standard

dove X è il valore della caratteristica, Media è la media della caratteristica e Deviazione Standard è la Deviazione Standard della caratteristica.

Un esempio pratico dell'uso dello Z-score nella modellazione predittiva appartiene al campo della finanza. Nel prevedere i prezzi delle azioni, lo Z-score delle prestazioni passate dell'azione può essere utilizzato per determinare il suo potenziale di rendimento futuro. Uno Z-score elevato indica che il rendimento passato di un'azione è ben al di sopra della media e può essere proiettato per rendimenti più elevati in futuro.

Un altro esempio pratico dell'uso dello Z-score nella modellazione predittiva è nel campo della sanità. Nel prevedere gli esiti dei pazienti, lo Z-score può essere utilizzato per determinare il potenziale di un paziente per gli esiti futuri. Uno Z-score elevato indica che gli esiti di salute di un paziente sono significativamente peggiori della media e possono indicare cattivi esiti futuri.

Utilizzo della tabella Z

Una tabella Z, nota anche come tabella normale standard o tabella normale unitaria, è una tabella che contiene valori standardizzati utilizzati per calcolare la probabilità che una data statistica cada sotto, sopra o tra la distribuzione normale standard.

z	0	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0	0	0,00399	0,00798	0,01197	0,01595	0,01994	0,02392	0,0279	0,03188	0,03586
0,1	0,03983	0,0438	0,04776	0,05172	0,05567	0,05962	0,06356	0,06749	0,07142	0,07535
0,2	0,07926	0,08317	0,08706	0,09095	0,09483	0,09871	0,10257	0,10642	0,11026	0,11409
0,3	0,11791	0,12172	0,12552	0,1293	0,13307	0,13683	0,14058	0,14431	0,14803	0,15173
0,4	0,15542	0,1591	0,16276	0,1664	0,17003	0,17364	0,17724	0,18082	0,18439	0,18793
0,5	0,19146	0,19497	0,19847	0,20194	0,2054	0,20884	0,21226	0,21566	0,21904	0,2224
0,6	0,22575	0,22907	0,23237	0,23565	0,23891	0,24215	0,24537	0,24857	0,25175	0,2549
0,7	0,25804	0,26115	0,26424	0,2673	0,27035	0,27337	0,27637	0,27935	0,2823	0,28524
0,8	0,28814	0,29103	0,29389	0,29673	0,29955	0,30234	0,30511	0,30785	0,31057	0,31327
0,9	0,31594	0,31859	0,32121	0,32381	0,32639	0,32894	0,33147	0,33398	0,33646	0,33891
1	0,34134	0,34375	0,34614	0,34849	0,35083	0,35314	0,35543	0,35769	0,35993	0,36214
1,1	0,36433	0,3665	0,36864	0,37076	0,37286	0,37493	0,37698	0,379	0,381	0,38298
1,2	0,38493	0,38686	0,38877	0,39065	0,39251	0,39435	0,39617	0,39796	0,39973	0,40147
1,3	0,4032	0,4049	0,40658	0,40824	0,40988	0,41149	0,41308	0,41466	0,41621	0,41774
1,4	0,41924	0,42073	0,4222	0,42364	0,42507	0,42647	0,42785	0,42922	0,43056	0,43189
1,5	0,43319	0,43448	0,43574	0,43699	0,43822	0,43943	0,44062	0,44179	0,44295	0,44408
1,6	0,4452	0,4463	0,44738	0,44845	0,4495	0,45053	0,45154	0,45254	0,45352	0,45449
1,7	0,45543	0,45637	0,45728	0,45818	0,45907	0,45994	0,4608	0,46164	0,46246	0,46327
1,8	0,46407	0,46485	0,46562	0,46638	0,46712	0,46784	0,46856	0,46926	0,46995	0,47062
1,9	0,47128	0,47193	0,47257	0,4732	0,47381	0,47441	0,475	0,47558	0,47615	0,4767
2	0,47725	0,47778	0,47831	0,47882	0,47932	0,47982	0,4803	0,48077	0,48124	0,48169
2,1	0,48214	0,48257	0,483	0,48341	0,48382	0,48422	0,48461	0,485	0,48537	0,48574
2,2	0,4861	0,48645	0,48679	0,48713	0,48745	0,48778	0,48809	0,4884	0,4887	0,48899
2,3	0,48928	0,48956	0,48983	0,4901	0,49036	0,49061	0,49086	0,49111	0,49134	0,49158
2,4	0,4918	0,49202	0,49224	0,49245	0,49266	0,49286	0,49305	0,49324	0,49343	0,49361
2,5	0,49379	0,49396	0,49413	0,4943	0,49446	0,49461	0,49477	0,49492	0,49506	0,4952
2,6	0,49534	0,49547	0,4956	0,49573	0,49585	0,49598	0,49609	0,49621	0,49632	0,49643
2,7	0,49653	0,49664	0,49674	0,49683	0,49693	0,49702	0,49711	0,4972	0,49728	0,49736
2,8	0,49744	0,49752	0,4976	0,49767	0,49774	0,49781	0,49788	0,49795	0,49801	0,49807
2,9	0,49813	0,49819	0,49825	0,49831	0,49836	0,49841	0,49846	0,49851	0,49856	0,49861
3	0,49865	0,49869	0,49874	0,49878	0,49882	0,49886	0,49889	0,49893	0,49896	0,499
3,1	0,49903	0,49906	0,4991	0,49913	0,49916	0,49918	0,49921	0,49924	0,49926	0,49929
3,2	0,49931	0,49934	0,49936	0,49938	0,4994	0,49942	0,49944	0,49946	0,49948	0,4995
3,3	0,49952	0,49953	0,49955	0,49957	0,49958	0,4996	0,49961	0,49962	0,49964	0,49965
3,4	0,49966	0,49968	0,49969	0,4997	0,49971	0,49972	0,49973	0,49974	0,49975	0,49976
3,5	0,49977	0,49978	0,49978	0,49979	0,4998	0,49981	0,49981	0,49982	0,49983	0,49983
3,6	0,49984	0,49985	0,49985	0,49986	0,49986	0,49987	0,49987	0,49988	0,49988	0,49989
3,7	0,49989	0,4999	0,4999	0,4999	0,49991	0,49991	0,49992	0,49992	0,49992	0,49992
3,8	0,49993	0,49993	0,49993	0,49994	0,49994	0,49994	0,49994	0,49995	0,49995	0,49995
3,9	0,49995	0,49995	0,49996	0,49996	0,49996	0,49996	0,49996	0,49996	0,49997	0,49997
4	0,49997	0,49997	0,49997	0,49997	0,49997	0,49997	0,49998	0,49998	0,49998	0,49998

Utilizzo della tabella Z

Per utilizzare la tabella Z, è necessario trovare la riga corrispondente al tuo Z-score calcolato e quindi individuare la colonna corrispondente che ti dà l'area (probabilità) sotto la curva normale standard. Il valore risultante è la probabilità approssimativa che una variabile casuale da una distribuzione normale standard sia minore o uguale al tuo Z-score calcolato.

Ad esempio, se hai uno Z-score di 1,96, dovresti cercare nella tabella Z la riga corrispondente a 1,9 e la colonna corrispondente a 0,06. Il valore risultante ti darebbe l'area sotto la curva normale standard alla destra di 1,96. Questo valore è approssimativamente 0,975, il che significa che circa il 97,5% dei dati da una distribuzione normale standard sarebbe minore o uguale a 1,96.

È importante notare che la tabella Z funziona solo per una distribuzione normale standard con una media di 0 e una deviazione standard di 1. Se i tuoi dati non seguono questa distribuzione, dovrai prima standardizzarli trasformando i dati in Z-score.

Trovare la probabilità da uno Z-score

Quando convertiamo una variabile distribuita normalmente in uno Z-score, possiamo utilizzare la tabella Z-score e trovare la proporzione di area sotto la curva normale. L'area totale sotto la curva normale standard è uguale a 1. Pertanto, la proporzione di area coperta in una curva normale equivale alla probabilità di quello Z-score.

Esempio 1

I pesi dei pugili sono distribuiti normalmente con una media di 75 kg e una deviazione standard di 3 kg. Qual è la probabilità che il peso di un giocatore selezionato casualmente sia:

• a) Più di 78 kg?
• b) Meno di 69 kg?
• c) Più di 72 kg?
• d) Meno di 79,5 kg?
• e) Tra 72 kg e 76,5 kg?
• f) Tra 72 kg e 73,5 kg?

a) Qual è la probabilità che un giocatore selezionato casualmente pesi più di 78 kg?

• X > 78
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X>78)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{78-75}{3}\right)=P(Z>1)$$

Prima, disegneremo questo in una curva Z.

Ora useremo la Tabella Z per trovare la probabilità corrispondente per lo Z-Score calcolato.

Ricorda che lo Z-Score fornisce sempre la probabilità tra lo Z-score e la media. Per ottenere la probabilità dell'area evidenziata nel grafico, dobbiamo sottrarre quella probabilità da 0,5. (La probabilità totale sotto la curva è 1, e la Media della distribuzione standard la divide equamente in 2 parti. Quindi, la probabilità dal punto Medio a entrambe le estremità è 0,5.)

• P (X > 78) = P (Z > 1)
• P (X > 78) = 0,5 - P(0 < Z < 1)
• P (X > 78) = 0,5 - 0,3413
• P (X > 78) = 0,1587

Quindi, c'è una probabilità di 0,1587 che il peso di un giocatore selezionato casualmente sia più di 78 kg.

b) Qual è la probabilità che un giocatore selezionato casualmente pesi meno di 69 kg?

• X < 69
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X<69)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{69-75}{3}\right)=P(Z<-2)$$

Prima, disegneremo questo in una curva Z.

Ora useremo la Tabella Z per trovare la probabilità corrispondente per lo Z-Score calcolato.

Ricorda che lo Z-Score fornisce sempre la probabilità tra lo Z-score e la media. Per ottenere la probabilità dell'area evidenziata nel grafico, dobbiamo sottrarre quella probabilità da 0,5.

• P (X < 69) = P (Z < -2)
• P (X < 69) = 0,5 - P (0 > Z > -2)
• P (X < 69) = 0,5 - 0,4772
• P (X < 69) = 0,0228

Quindi, c'è una probabilità di 0,0228 che il peso di un giocatore selezionato casualmente sia meno di 69 kg.

c) Qual è la probabilità che il peso di un giocatore selezionato casualmente sia tra 72 kg e 76,5 kg?

• 72 < X < 76,5
• μ = 75
• σ = 3

$$P(72 \lt X \lt 76,5)=P\left(\frac{X-μ}{σ} \lt Z \lt \frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(\frac{72-75}{3} \lt Z \lt \frac{76,5-75}{3}\right)=P(-1 \lt Z \lt 0,5)$$

Prima, disegneremo questo in una curva Z.

Ora useremo la Tabella Z per trovare la probabilità corrispondente per lo Z-Score calcolato.

Ricorda che lo Z-Score fornisce sempre la probabilità tra lo Z-score e la media. Per ottenere la probabilità dell'area evidenziata nel grafico, puoi sommare insieme le probabilità di 2 Z-score.

• P (72 < X < 76,5) = P (-1 < Z < 0,5)
• P (72 < X < 76,5) = 0,3413 + 0,1915
• P (72 < X < 76,5) = 0,5328

Quindi, c'è una probabilità di 0,5328 che il peso di un giocatore selezionato casualmente sia tra 72 kg e 76,5 kg.

In questo caso, devi usare il calcolatore di probabilità tra due Z-score per trovare rapidamente la risposta.

Trovare i Valori Corrispondenti per la Probabilità Specificata

Quando sappiamo che la distribuzione è normale, possiamo trovare i valori corrispondenti per le probabilità specificate in base allo Z-Score.

Esempio 2

I punteggi degli aspiranti in un esame competitivo sono distribuiti approssimativamente in modo normale, con una media di 55 e una deviazione standard di 10. Se il 30% superiore degli aspiranti supera il test, trova il punteggio minimo di superamento.

Soluzione

In questo caso, dobbiamo prima trovare lo Z-score corrispondente alla probabilità o percentuale data.

Per trovare lo Z-Score, dobbiamo in realtà trovare la probabilità nell'area evidenziata.

Si ottiene sottraendo 0,30 da 0,50. Pertanto, la probabilità dell'area evidenziata è 0,20.

Ora, nella tabella Z, dobbiamo trovare la probabilità più vicina a 0,20. Lo Z-Score corrispondente è 0,524.

Quindi, dobbiamo trovare il valore X usando la formula dello Z-Score.

• Z = (X - μ)/σ
• 0,524 = (X - 55)/10
• X = (0,524 × 10) + 55
• X = 60,24

Quindi, il punteggio minimo di superamento per l'esame è 60,24.