サンプルサイズ計算機

サンプルサイズ計算ツールには2つのコンポーネントがあります。最初の成分はサンプルサイズを計算することであり、2番目の成分は誤差の範囲を決定することです。

ドロップダウンリストから信頼水準を選択することは、サンプルサイズ決定の最初のステップです。次に、相対誤差幅を挿入します。誤差幅を絶対値から相対値に変換するには、点推定値から絶対値を取ります。

次に、母集団比率がわかっている場合は、それを入力します。それ以外の場合は、50%のままにします。最後のセルに人口サイズを入力します (わかっている場合) 。 それ以外の場合は、空白のままにします。最後に、[計算]をクリックします。

電卓の2番目のコンポーネントを使用して、許容誤差を取得します。最初の手順として、ドロップダウン メニューから信頼レベルを選択します。2番目のセルに分析のサンプルサイズを入力します。その後、母比率を挿入します。最後のセルに人口サイズを入力します。人口サイズがわからない場合は、そのセルを空白のままにします。最後に、 [計算]をクリックします。

サンプル

母集団の一部または一部はサンプルとして知られています。母集団は、特定の研究で関心のあるすべての要素を指します。選択した研究の母集団のすべての要素を調査することは、母集団を調べるための理想的な方法です。ただし、多くの要因により、母集団のすべての項目を調べることはしばしば実用的ではありません。たとえば、ジャングルの昆虫に関する研究の場合、人口は無制限です。したがって、あなたはあなたの全人口を研究することはできません。テスト時に、試験の項目が破壊されることがあります。 たとえば、密封された清涼飲料ボトルを開けて容量を確認すると、その清涼飲料ボトルを市場に送ることはできません。

人口全体を調べるには、多くの時間、お金、その他のリソースが必要です。ほとんどの場合、限られた時間、お金、その他のリソースで調査を完了する必要があります。ほとんどの場合、人口全体を調査することは実用的ではありません。解決策は、サンプルを選択して調査を行うことです。

許容誤差

ほとんどの場合、母集団のすべての構成要素を調べることはできません。したがって、サンプル統計量 (サンプルから計算された測定値)は、母集団パラメータ(母集団から計算された測定値)を推定するためによく使用されます。サンプル統計は、サンプルから観察または測定された実際のデータから導き出されます。母集団パラメータの単一の数値を推定する場合、これを点推定と呼びます。 たとえば、生産ライン内の清涼飲料ボトルの平均容量を見積もる場合は、ランダムなバッチを選択して、そのバッチの平均容量を見つけることができます。バッチの平均容量 x̄ が 250 ml であるとします。したがって、生産ラインの各ボトルには、250 mlの平均容量 \$(\hat{μ})\$ が含まれていると推定します。

実際には、実際のパラメータと推定パラメータは等しくありません。違いは、完全な母集団ではなくサンプルを使用してパラメータを推定することから生じます。

許容誤差は、パラメータのポイント推定値とその実際の値との間の最大可能性差として定義されます。これは、多くの場合、推定値の最大誤差と呼ばれます。

信頼区間

信頼区間は推定値の範囲を表します。推定値の範囲または信頼区間は、パラメータが特定の誤差範囲内で推定されたことを示唆しています。信頼区間の下限を決定するために、誤差幅が点推定値から差し引かれます。信頼区間の上側境界を決定するために、誤差幅が点推定値に追加されます。

統計量のサンプル、誤差幅、信頼区間の相互接続

完全な母集団を研究する代わりに、母集団のパラメータを推定するためのサンプルを研究しています。したがって、母集団の推定パラメータと母集団の実際のパラメータとの間に差がある可能性があります。許容誤差は、パラメータのポイント推定値とその実際の値との間の最大可能性差です。さらに、サンプルサイズと許容誤差の間には逆リンクがあります。サンプルサイズを大きくすると、母集団がより正確に表現され、誤差幅が狭くなります。同様に、サンプルサイズを小さくすると、許容誤差が大きくなります。 信頼区間は、この誤差幅を点推定値に適用すると得られます。

サンプルサイズを計算する式

情報に応じて、サンプルサイズを計算するためにさまざまな式を使用できます。

必要な信頼水準によって精度の程度が決まり、許容誤差の最大範囲によって、範囲推定で達成したい精度が決まります。

以下の式を使用して母標準偏差もわかっている場合は、目的の信頼区間を取得するために必要な最小サンプルサイズを計算できます。

$$n=\left(\frac{z_{\alpha/2}×\sigma}{E}\right)^2$$

最終結果nは、最も近い整数に切り上げられる必要があります。

コクラン式を使用すると、必要な許容誤差レベル、必要な信頼レベル、および母集団に存在する属性の期待される比率に基づいて、最小サンプルサイズを決定できます。コクランの公式は、

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}$$

• z = 必要な信頼度に基づくz表のZ値
• p = 母集団に存在する属性の期待される割合
• E = 許容誤差

例1

カナダの学部課程に在籍する留学生を研究していると想像してみてください。当初、私たちは多くの情報を持っていません。したがって、留学生はカナダの全学部生の60%を占めると想定しています。その結果、母集団における属性の推定割合は60%です。95%の信頼水準と4%の誤差範囲が必要です。研究の最小サンプルサイズには何人の学生を含める必要がありますか?

$$(1-\alpha)=95\%$$

$$z_{α/2}=z_{{95\%}/2}=1.96$$

$$p=60\%$$

$$E=4\%$$

$$n₀=\frac{z²p(1-p)}{E²}=\frac{1.96²×60\%×(1-60\%)}{4\%²}=576.24≈577$$

したがって、95% の信頼水準と 4% の誤差範囲を得るには、最低 577 人の学生を調査に含める必要があります。

上記の式は、母集団のサイズが大きい場合または無限の場合に使用されます。 母集団のサイズが小さいか有限である場合は、サンプル サイズを調整する必要があります。 サンプルサイズは、以下の式を使用して調整されます。

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}$$

• n₀ =コクラン式から計算されたサンプルサイズ
• N =人口規模
• n =有限母集団に対する調整済みサンプルサイズ

例2

カナダで勉強している大学の学部課程に在籍する留学生を調査していると想像してみてください。当初、私たちは多くの情報を持っていません。したがって、留学生が大学の全学部生の60%を占めると仮定します。その結果、母集団における属性の推定割合は60%です。あなたの大学内の学生の総数は12,000です。95%の信頼水準と4%の誤差範囲が必要です。研究の最小サンプルサイズには何人の学生を含める必要がありますか?

この場合、最初にコクランの公式を使用して n₀ を計算し、次に母集団が有限であるためサンプルサイズを調整する必要があります。

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{{E}^2}=\frac{1.96^2×{60\%}×(1-{60\%})}{{4\%}^2}=576.24$$

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}=\frac{576.24}{1+\left(\frac{576.24-1}{12,000}\right)}=549.88\approx550$$

最小サンプルサイズ計算機を使用すると、前述の複雑な計算を1秒未満で完了できます。

許容誤差を計算する式

サンプルサイズの式を並べ替えて、許容誤差の式を見つけることができます。

最小サンプルサイズの式は,

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

Eまたは許容誤差を上記の式の主題にしましょう。

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

$${n₀}×{E}^2=z^2p\left(1-p\right)$$

$$E^2=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}$$

$$E=\sqrt{\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

例3

カナダの学部課程に在籍する留学生を研究していると想像してみてください。当初、私たちは多くの情報を持っていません。したがって、留学生はカナダの全学部生の60%を占めると想定しています。その結果、母集団における属性の推定割合は60%です。95%の信頼水準が必要で、研究のために577人の学生を選択したとします。あなたの研究の許容誤差はどれくらいですか?

$$z_{95\%/2}=1.96$$

$$p=60\%$$

$$n₀=577$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n_0}}=1.96 \times \sqrt{\frac{60\% \times \left(1-60\%\right)}{577}}=4\%$$

母集団が有限である場合、まず以下の式を使用して n₀ を見つける必要があります。 $$n₀=\frac{n-nN}{n-N}$$

次に、次の式の答えを適用して誤差範囲を見つけます:

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

最小サンプルサイズ計算機の2番目のコンポーネントは、これらの手順をすべてスキップして、1秒未満で許容誤差を計算するのに役立ちます。

信頼区間を計算する式

信頼区間は、誤差幅がわかっているかどうかを簡単に判断できます。以下に示す式は、信頼区間の計算に使用されます。

信頼区間=ポイント見積もり±許容誤差

信頼区間の上限=ポイント見積もり+許容誤差

信頼区間の下限=ポイント見積もり-許容誤差

平均μの信頼区間は,

x̄ - E < μ < x̄ + E

x̄ - E は下限であり、x̄ + E は上限です。

Pの信頼区間は次式で表されます,

p - E < P < p + E

例4

あなたはカナダで勉強している留学生の平均プログラム費用を調査しています。サンプルに 1,000 人の学生を選択し、サンプルに基づいて、カナダで勉強している留学生の平均プログラム コストは CAD 20,000 であると見積もっています。許容誤差は5,000 カナダドルです。カナダで勉強している留学生の平均プログラム費用の信頼区間を見つけます。

上限値 = x̄ + E = CAD 20,000 + CAD 5,000 = CAD 25,000

下限値 = x̄ - E = CAD 20,000 - CAD 5,000 = CAD 15,000

したがって、信頼区間は次のようになります,

x̄ - E < μ < x̄ + E

CAD 15,000 < μ < CAD 25,000