Steekproefgrootte Rekenmachine

Onze steekproefgrootte calculator bestaat uit twee handige onderdelen. Met het eerste deel kunt u de ideale steekproefgrootte berekenen, terwijl het tweede deel u helpt om eenvoudig de foutmarge te bepalen.

Het selecteren van het gewenste betrouwbaarheidsniveau uit de keuzelijst is de eerste stap bij het berekenen van de steekproefgrootte. Voer vervolgens de relatieve foutmarge in. (Tip: u kunt een absolute foutmarge omzetten naar een relatieve foutmarge door de absolute waarde te delen door de puntschatting).

Vul daarna de proportie van de populatie in, als deze bekend is. Is deze onbekend? Laat het veld dan op 50% staan. Voer in het laatste veld de totale populatiegrootte in indien u deze weet; zo niet, dan kunt u dit veld leeglaten. Klik ten slotte op "Bereken".

Gebruik het tweede onderdeel van de calculator om de foutmarge te berekenen. Selecteer ook hier eerst een betrouwbaarheidsniveau uit het keuzemenu. Vul vervolgens de gehanteerde steekproefgrootte van uw onderzoek in. Voer daarna de verwachte proportie van de populatie in. Vul tot slot de totale populatiegrootte in het laatste veld in. Als u deze niet weet, laat u het veld leeg. Klik op "Bereken" om direct uw resultaat te zien.

Steekproef

Een steekproef is een geselecteerd deel van een totale populatie. De term 'populatie' verwijst naar alle elementen of personen die relevant zijn voor uw specifieke onderzoek. Het bestuderen van élk afzonderlijk element uit deze populatie is in theorie de ideale onderzoeksmethode. In de praktijk is dit door diverse factoren echter vaak onhaalbaar. Als uw onderzoek bijvoorbeeld over insecten in het regenwoud gaat, is de populatie vrijwel oneindig. U kunt simpelweg niet de volledige populatie bestuderen. Daarnaast komt het voor dat onderzoeksobjecten tijdens het testen onbruikbaar worden of vernietigd raken.

Denk bijvoorbeeld aan een kwaliteitscontrole waarbij u een verzegelde fles frisdrank opent om het volume te meten; deze fles kan daarna niet meer verkocht worden.

Bovendien kost het onderzoeken van een volledige populatie enorm veel tijd, geld en capaciteit. Omdat de meeste onderzoeken te maken hebben met beperkte middelen en krappe deadlines, is het testen van de gehele populatie onpraktisch. De oplossing hiervoor is het trekken van een representatieve steekproef om uw onderzoek op uit te voeren.

Foutmarge

Omdat we zelden de volledige populatie kunnen onderzoeken, maken we gebruik van steekproefstatistieken (berekeningen op basis van de steekproef) om populatieparameters (de daadwerkelijke waarden in de gehele populatie) te schatten. Steekproefstatistieken komen voort uit de werkelijk geobserveerde of gemeten data van de steekproef. Wanneer u een enkel getal schat voor een populatieparameter, spreken we van een puntschatting.

Stel dat u het gemiddelde volume van een fles frisdrank op een productielijn wilt schatten. U kiest een willekeurige partij en berekent het gemiddelde volume van die specifieke partij. Laten we aannemen dat deze flessen een gemiddeld volume x̄ van 250 ml hebben. Op basis hiervan schat u dat elke fles op de gehele productielijn een gemiddeld volume \$(\hat{μ})\$ van 250 ml bevat.

In de praktijk zullen de werkelijke parameter en de geschatte parameter zelden exact gelijk zijn. Dit verschil ontstaat simpelweg omdat de parameter wordt geschat op basis van een steekproef, in plaats van op de volledige populatie.

De foutmarge wordt gedefinieerd als het maximaal waarschijnlijke verschil tussen de puntschatting van een parameter en de werkelijke waarde ervan. Dit wordt ook wel de maximale schattingsfout genoemd.

Betrouwbaarheidsinterval

Het betrouwbaarheidsinterval vertegenwoordigt de marge waarbinnen uw schattingen vallen. Dit interval geeft aan dat de werkelijke parameter met een bepaalde mate van zekerheid binnen een specifieke foutmarge is geschat. Om de ondergrens van het betrouwbaarheidsinterval te bepalen, trekt u de foutmarge af van de puntschatting. Voor de bovengrens van het betrouwbaarheidsinterval telt u de foutmarge juist op bij de puntschatting.

Verband tussen Steekproef in Statistiek, Foutmarge en Betrouwbaarheidsinterval

In plaats van de volledige populatie te onderzoeken, bestuderen we een steekproef om de eigenschappen (parameters) van de populatie te schatten. Hierdoor ontstaat onvermijdelijk een verschil tussen de geschatte parameter en de werkelijke populatieparameter. De foutmarge geeft het maximaal waarschijnlijke verschil aan tussen de puntschatting en de daadwerkelijke waarde.

Er bestaat een omgekeerd evenredig verband tussen de steekproefgrootte en de foutmarge. Een grotere steekproefgrootte leidt tot een nauwkeurigere weergave van de populatie, waardoor de foutmarge kleiner wordt. Omgekeerd zal een kleinere steekproef de foutmarge vergroten.

Wanneer u deze foutmarge toepast op uw puntschatting, ontstaat het betrouwbaarheidsinterval.

Formule om Steekproefgrootte te berekenen

Afhankelijk van de beschikbare gegevens, zijn er verschillende formules om de steekproefgrootte te berekenen.

Het gekozen betrouwbaarheidsniveau bepaalt de mate van zekerheid, terwijl de maximaal acceptabele foutmarge de precisie van onze schatting bepaalt.

Als de standaarddeviatie van de populatie bekend is, kunnen we de minimale steekproefgrootte berekenen die nodig is voor het gewenste betrouwbaarheidsinterval. Dit doen we met de onderstaande formule:

$$n=\left(\frac{z_{\alpha/2}×\sigma}{E}\right)^2$$

Het uiteindelijke resultaat n moet altijd naar boven worden afgerond op het dichtstbijzijnde hele getal.

Met de formule van Cochran kunt u de minimale steekproefgrootte bepalen op basis van de gewenste foutmarge, het betrouwbaarheidsniveau en de verwachte proportie van de onderzochte eigenschap binnen de populatie. De formule van Cochran luidt als volgt:

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}$$

• z = Z-waarde uit de Z-tabel op basis van het gewenste betrouwbaarheidsniveau
• p = De verwachte proportie van het kenmerk in de populatie
• E = Foutmarge

Voorbeeld 1

Stel dat we onderzoek doen naar internationale studenten die staan ingeschreven voor universitaire opleidingen in Canada. Vooraf hebben we weinig concrete data. Daarom nemen we aan dat internationale studenten 60% uitmaken van de totale universitaire studentenpopulatie in Canada. De geschatte proportie van het kenmerk in de populatie is dus 60%. We hanteren een gewenst betrouwbaarheidsniveau van 95% en een foutmarge van 4%. Hoeveel studenten moeten we minimaal opnemen in de steekproef van ons onderzoek?

$$(1-\alpha)=95\%$$

$$z_{α/2}=z_{{95\%}/2}=1,96$$

$$p=60\%$$

$$E=4\%$$

$$n₀=\frac{z²p(1-p)}{E²}=\frac{1,96²×60\%×(1-60\%)}{4\%²}=576,24≈577$$

Er moeten dus minimaal 577 studenten in de studie worden opgenomen om een betrouwbaarheidsniveau van 95% met een foutmarge van 4% te realiseren.

De bovenstaande formule wordt gebruikt bij een grote of oneindige populatiegrootte. Is de populatiegrootte klein of eindig? Dan moeten we de steekproefgrootte corrigeren met behulp van de onderstaande formule:

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}$$

• n₀ = De steekproefgrootte berekend met de formule van Cochran
• N = Populatiegrootte
• n = Gecorrigeerde steekproefgrootte voor een eindige populatie

Voorbeeld 2

Stel je voor dat we een onderzoek uitvoeren onder internationale studenten die studeren aan jouw specifieke instelling in Canada. We hebben vooraf weinig informatie, dus we gaan er opnieuw vanuit dat 60% van alle studenten op de instelling internationaal is. De geschatte proportie is dus 60%. Het totale aantal studenten op jouw instelling is 12.000. We willen een betrouwbaarheidsniveau van 95% bereiken, met een foutmarge van 4%. Wat is de minimale steekproefgrootte voor dit onderzoek?

In dit geval berekent u eerst n₀ met de formule van Cochran. Daarna corrigeert u deze steekproefgrootte, aangezien de populatie eindig is (12.000 studenten).

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{{E}^2}=\frac{1,96^2×{60\%}×(1-{60\%})}{{4\%}^2}=576,24$$

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{12.000}\right)}=\frac{576,24}{1+\left(\frac{576,24-1}{12.000}\right)}=549,88\approx550$$

Met een betrouwbare steekproef calculator voert u dit soort complexe berekeningen gelukkig in een fractie van een seconde uit.

Formule om Foutmarge te berekenen

U kunt de formule voor de steekproefgrootte wiskundig herschrijven om de formule voor de foutmarge af te leiden.

We weten dat de formule voor de minimale steekproefgrootte als volgt is:

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

Laten we E (de foutmarge) het onderwerp van deze vergelijking maken:

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

$${n₀}×{E}^2=z^2p\left(1-p\right)$$

$$E^2=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}$$

$$E=\sqrt{\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

Voorbeeld 3

Stel dat we opnieuw de internationale studenten aan Canadese universiteiten onderzoeken. We gaan er nog steeds vanuit dat 60% van de populatie uit internationale studenten bestaat. U streeft naar een betrouwbaarheidsniveau van 95% en u heeft uiteindelijk 577 studenten geselecteerd voor uw onderzoek. Wat is in dit geval de foutmarge van uw studie?

$$z_{{95\%}/2}=1,96$$

$$p=60\%$$

$$n₀=577$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n_0}}=1.96 \times \sqrt{\frac{60\% \times \left(1-60\%\right)}{577}}=4\%$$

Indien de populatie eindig is, moet u eerst n₀ berekenen met de onderstaande formule:

$$n₀=\frac{n-nN}{n-N}$$

Pas vervolgens het resultaat toe in de volgende formule om de daadwerkelijke foutmarge te vinden:

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

Het tweede onderdeel van onze calculator helpt u om al deze handmatige stappen over te slaan en de foutmarge direct en foutloos te berekenen.

Formule om het betrouwbaarheidsinterval te berekenen

Zodra u de foutmarge kent, is het bepalen van het betrouwbaarheidsinterval erg eenvoudig. Gebruik de onderstaande formules om het interval te berekenen.

Betrouwbaarheidsinterval = Puntschatting ± Foutmarge

De bovengrens van het betrouwbaarheidsinterval = Puntschatting + Foutmarge

De ondergrens van het betrouwbaarheidsinterval = Puntschatting - Foutmarge

Het betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde μ is:

x̄ - E < μ < x̄ + E

Hierbij is x̄ - E de ondergrens en x̄ + E de bovengrens.

Het betrouwbaarheidsinterval voor P is:

p - E < P < p + E

Voorbeeld 4

U doet onderzoek naar de gemiddelde studiekosten van internationale studenten in Canada. U heeft een steekproef getrokken van 1.000 studenten. Op basis hiervan schat u dat de gemiddelde studiekosten (programmakosten) voor deze groep CAD 20.000 bedragen. De berekende foutmarge is CAD 5.000. Wat is het betrouwbaarheidsinterval voor de gemiddelde studiekosten van deze populatie?

Bovengrens = x̄ + E = CAD 20.000 + CAD 5.000 = CAD 25.000

Ondergrens = x̄ - E = CAD 20.000 - CAD 5.000 = CAD 15.000

Het betrouwbaarheidsinterval is daarom:

x̄ - E < μ < x̄ + E

CAD 15.000 < μ < CAD 25.000