Stichprobenumfangsberechnung

Der Stichprobenumfangsrechner besteht aus zwei Komponenten. Die erste Komponente ist die Berechnung des Stichprobenumfangs, und die zweite Komponente ist die Bestimmung der Fehlerspanne.

Die Auswahl des Konfidenzniveaus aus der Dropdown-Liste ist der erste Schritt zur Bestimmung des Stichprobenumfangs. Als nächstes geben Sie die relative Fehlermarge ein. Sie können die Fehlerspanne vom absoluten in den relativen Wert umrechnen, indem Sie den absoluten Wert durch den Punktschätzer dividieren.

Wenn Sie den Bevölkerungsanteil kennen, geben Sie ihn ein. Andernfalls belassen Sie es bei 50%. Geben Sie die Bevölkerungsgröße in die letzte Zelle ein, wenn Sie sie kennen; andernfalls lassen Sie sie leer. Klicken Sie schließlich auf "Berechnen".

Verwenden Sie die zweite Komponente des Rechners, um die Fehlermarge zu ermitteln. Wählen Sie als ersten Schritt ein Konfidenzniveau aus dem Dropdown-Menü. Geben Sie in der zweiten Zelle den Stichprobenumfang der Studie ein. Anschließend geben Sie den Anteil der Grundgesamtheit ein. Geben Sie in die letzte Zelle die Größe der Grundgesamtheit ein. Wenn Sie die Größe der Grundgesamtheit nicht kennen, lassen Sie diese Zelle leer. Klicken Sie abschließend auf "Berechnen".

Probe

Ein Teil oder ein Teil der Grundgesamtheit wird als Stichprobe bezeichnet. Die Grundgesamtheit bezieht sich auf alle Elemente, die in einer bestimmten Studie von Interesse sind. Die Untersuchung aller Elemente der Grundgesamtheit der gewählten Studie ist der ideale Weg, die Grundgesamtheit zu untersuchen. Aufgrund vieler Faktoren ist es jedoch häufig nicht praktikabel, jedes einzelne Element der Grundgesamtheit zu untersuchen. Wenn Sie zum Beispiel über Insekten im Dschungel forschen, ist die Population unbegrenzt. Daher können Sie nicht die gesamte Population untersuchen. Manchmal kann es vorkommen, dass bei der Prüfung die Gegenstände Ihrer Studie zerstört werden.

Wenn Sie zum Beispiel eine versiegelte Softdrinkflasche öffnen und ihr Volumen überprüfen, können Sie diese Softdrinkflasche nicht auf den Markt bringen.

Sie benötigen viel Zeit, Geld und andere Ressourcen, um die gesamte Bevölkerung zu untersuchen. In den meisten Fällen müssen Sie Ihre Forschung mit begrenzter Zeit, begrenztem Geld und begrenzten Mitteln durchführen. Die Untersuchung der gesamten Bevölkerung ist in den meisten Fällen unpraktisch. Die Lösung besteht darin, eine Stichprobe auszuwählen und die Untersuchung durchzuführen.

Fehlermarge

In den meisten Fällen können wir nicht alle Komponenten der Grundgesamtheit untersuchen. Daher werden häufig Stichprobenstatistiken (aus der Stichprobe berechnete Maße) zur Schätzung von Populationsparametern (aus der Grundgesamtheit berechnete Maße) verwendet. Stichprobenstatistiken werden aus den tatsächlich beobachteten oder gemessenen Daten der Stichprobe abgeleitet. Man spricht von einer Punktschätzung, wenn man eine einzelne Zahl für einen Populationsparameter schätzt.

Wenn Sie beispielsweise das durchschnittliche Volumen einer Softdrinkflasche in einer Produktionslinie schätzen möchten, können Sie eine zufällige Charge auswählen und das durchschnittliche Volumen dieser Charge ermitteln. Nehmen wir an, diese Charge hat ein durchschnittliches Volumen x̄ von 250 ml. Daher schätzt man, dass jede Flasche in der Produktionslinie ein durchschnittliches Volumen \$(\hat{μ})\$ von 250 ml hat.

In der Praxis sind der tatsächliche Parameter und der geschätzte Parameter nicht gleich. Der Unterschied ergibt sich daraus, dass der Parameter anhand einer Stichprobe und nicht anhand der Grundgesamtheit geschätzt wird.

Die Fehlermarge ist definiert als die höchstwahrscheinliche Differenz zwischen der Punktschätzung eines Parameters und seinem tatsächlichen Wert. Dies wird oft als maximaler Fehler der Schätzung bezeichnet.

Konfidenzintervall

Das Konfidenzintervall stellt den Bereich der Schätzungen dar. Der Bereich der Schätzungen oder Konfidenzintervalle deutet darauf hin, dass der Parameter innerhalb einer bestimmten Fehlermarge geschätzt wurde. Um die untere Grenze des Konfidenzintervalls zu bestimmen, wird die Fehlermarge von der Punktschätzung subtrahiert. Um die obere Grenze des Konfidenzintervalls zu bestimmen, wird die Fehlermarge zur Punktschätzung addiert.

Zusammenhang zwischen Stichprobe in der Statistik, Fehlermarge und Konfidenzintervall

Anstatt die gesamte Grundgesamtheit zu untersuchen, untersuchen wir eine Stichprobe, um die Parameter der Grundgesamtheit zu schätzen. Daher kann es eine Differenz zwischen dem geschätzten Parameter der Grundgesamtheit und dem tatsächlichen Parameter der Grundgesamtheit geben. Die Fehlermarge ist die höchstwahrscheinliche Differenz zwischen der Punktschätzung eines Parameters und seinem tatsächlichen Wert. Außerdem besteht ein umgekehrter Zusammenhang zwischen Stichprobengröße und Fehlermarge. Ein größerer Stichprobenumfang führt zu einer genaueren Darstellung der Grundgesamtheit, wodurch die Fehlermarge sinkt. Eine Verkleinerung des Stichprobenumfangs vergrößert die Fehlermarge entsprechend.

Das Konfidenzintervall ergibt sich, wenn Sie diese Fehlermarge auf die Punktschätzung anwenden.

Formel zur Berechnung des Stichprobenumfangs

Für die Berechnung des Stichprobenumfangs stehen je nach Ihren Angaben verschiedene Formeln zur Verfügung.

Das gewünschte Konfidenzniveau bestimmt den Grad der Genauigkeit, während der maximale Bereich der Fehlermarge den Grad der Präzision bestimmt, den wir mit unserer Bereichsschätzung erreichen wollen.

Wir können den Mindeststichprobenumfang berechnen, der erforderlich ist, um das gewünschte Konfidenzintervall zu erhalten, wenn wir auch die Standardabweichung der Grundgesamtheit kennen, indem wir die folgende Formel verwenden.

$$n=\left(\frac{z_{\alpha/2}×\sigma}{E}\right)^2$$

Das Endergebnis n sollte auf die nächste ganze Zahl aufgerundet werden.

Mit der Cochran-Formel können Sie den Mindeststichprobenumfang auf der Grundlage der gewünschten Fehlermarge, des gewünschten Konfidenzniveaus und des erwarteten Anteils des Merkmals in der Grundgesamtheit bestimmen. Die Cochran-Formel lautet,

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}$$

• z = Z-Wert aus der z-Tabelle auf der Grundlage des gewünschten Vertrauensniveaus
• p = der erwartete Anteil des Attributs in der Grundgesamtheit
• E = Fehlermarge

Beispiel 1

Stellen Sie sich vor, wir recherchieren über internationale Studenten, die sich in Kanada für ein Grundstudium eingeschrieben haben. Zu Beginn liegen uns nicht viele Informationen vor. Wir nehmen daher an, dass 60 % aller Studenten in Kanada internationale Studenten sind. Daraus ergibt sich ein geschätzter Anteil des Attributs an der Bevölkerung von 60 %. Wir wünschen ein Konfidenzniveau von 95% und eine Fehlerspanne von 4%. Wie viele Studenten müssen in die Mindeststichprobengröße der Studie einbezogen werden?

$$(1-\alpha)=95\%$$

$$z_{α/2}=z_{{95\%}/2}=1,96$$

$$p=60\%$$

$$E=4\%$$

$$n₀=\frac{z²p(1-p)}{E²}=\frac{1,96²×60\%×(1-60\%)}{4\%²}=576,24≈577$$

Es müssen also mindestens 577 Schüler in die Studie einbezogen werden, um ein Konfidenzniveau von 95 % und eine Fehlermarge von 4 % zu erreichen.

Die obige Formel wird verwendet, wenn die Grundgesamtheit groß oder unendlich groß ist. Wenn die Grundgesamtheit klein oder endlich ist, müssen wir den Stichprobenumfang anpassen. Der Stichprobenumfang wird anhand der folgenden Formel angepasst.

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}$$

• n₀ = Der nach der Cochran-Formel berechnete Stichprobenumfang
• N = Größe der Population
• n = Bereinigter Stichprobenumfang für endliche Grundgesamtheit

Beispiel 2

Stellen Sie sich vor, wir recherchieren über internationale Studierende, die an der Hochschule, an der Sie in Kanada studieren, in Grundstudiengängen eingeschrieben sind. Zu Beginn liegen uns nicht viele Informationen vor. Wir nehmen daher an, dass 60 % aller Studenten an Ihrer Hochschule internationale Studenten sind. Daraus ergibt sich ein geschätzter Anteil des Attributs an der Bevölkerung von 60 %. Die Gesamtzahl der Studenten an Ihrer Hochschule beträgt 12.000. Wir wünschen ein Konfidenzniveau von 95% und eine Fehlerspanne von 4%. Wie viele Studenten müssen in die Mindeststichprobengröße der Studie einbezogen werden?

In diesem Fall müssen Sie zunächst n₀ anhand der Cochran-Formel berechnen und dann den Stichprobenumfang anpassen, da die Grundgesamtheit endlich ist.

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{{E}^2}=\frac{1,96^2×{60\%}×(1-{60\%})}{{4\%}^2}=576,24$$

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}=\frac{576,24}{1+\left(\frac{576,24-1}{12.000}\right)}=549,88\approx550$$

Mit einem Rechner für den Mindeststichprobenumfang können Sie die oben genannten komplexen Berechnungen in weniger als einer Sekunde durchführen.

Formel zur Berechnung der Fehlermarge

Sie können die Formel für den Stichprobenumfang umstellen, um die Formel für die Fehlermarge zu finden.

Sie wissen, dass die Formel für den Mindestprobenumfang lautet,

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

Machen wir E oder die Fehlermarge zum Gegenstand der obigen Formel.

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

$${n₀}×{E}^2=z^2p\left(1-p\right)$$

$$E^2=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}$$

$$E=\sqrt{\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

Beispiel 3

Stellen Sie sich vor, wir recherchieren über internationale Studenten, die sich in Kanada für ein Grundstudium eingeschrieben haben. Zu Beginn liegen uns nicht viele Informationen vor. Wir nehmen daher an, dass 60 % aller Studenten in Kanada internationale Studenten sind. Daraus ergibt sich ein geschätzter Anteil des Attributs an der Bevölkerung von 60 %. Angenommen, wir wünschen ein Konfidenzniveau von 95 %, und Sie wählen 577 Studenten für Ihre Untersuchung aus. Wie groß ist die Fehlermarge Ihrer Studie?

$$z_{{95\%}/2}=1,96$$

$$p=60\%$$

$$n₀=577$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n_0}}=1.96 \times \sqrt{\frac{60\% \times \left(1-60\%\right)}{577}}=4\%$$

Wenn die Grundgesamtheit endlich ist, muss man zunächst die n₀ mit Hilfe der folgenden Formel ermitteln.

$$n₀=\frac{n-nN}{n-N}$$

Wenden Sie dann die Antwort in der folgenden Formel an, um die Fehlermarge zu ermitteln:

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

Die zweite Komponente des Mindeststichprobenumfangsrechners hilft Ihnen, all diese Schritte zu überspringen und die Fehlermarge in weniger als einer Sekunde zu berechnen.

Formel zur Berechnung des Konfidenzintervalls

Das Konfidenzintervall ist einfach zu bestimmen, wenn Sie die Fehlermarge kennen. Zur Berechnung des Konfidenzintervalls wird die unten stehende Formel verwendet.

Konfidenzintervall = Punktschätzung ± Fehlermarge

Die obere Grenze des Konfidenzintervalls = Punktschätzung + Fehlermarge

Die untere Grenze des Konfidenzintervalls = Punktschätzung - Fehlermarge

Das Konfidenzintervall für den Mittelwert μ ist,

x̄ - E < μ < x̄ + E

x̄ - E ist die untere Grenze, x̄ + E ist die obere Grenze.

Das Konfidenzintervall für P ist,

p - E < P < p + E

Beispiel 4

Sie recherchieren die durchschnittlichen Studienkosten internationaler Studierender in Kanada. Sie haben 1.000 Studenten für Ihre Stichprobe ausgewählt, und auf der Grundlage Ihrer Stichprobe schätzen Sie, dass die durchschnittlichen Studienkosten internationaler Studenten in Kanada 20.000 CAD betragen. Die Fehlermarge beträgt CAD 5.000. Ermitteln Sie das Konfidenzintervall für die durchschnittlichen Studienkosten internationaler Studierender in Kanada.

Obergrenze = x̄ + E = CAD 20.000 + CAD 5.000 = CAD 25.000

Untere Grenze = = x̄ - E = CAD 20.000 - CAD 5.000 = CAD 15.000

Daher ist das Konfidenzintervall gleich,

x̄ - E < μ < x̄ + E

CAD 15.000 < μ < CAD 25.000