Stichprobenumfangsberechnung

Unser Stichprobenumfangsrechner bietet Ihnen zwei zentrale Funktionen: die exakte Berechnung des benötigten Stichprobenumfangs und die Bestimmung der Fehlermarge für Ihre empirische Forschung.

Um den optimalen Stichprobenumfang zu berechnen, wählen Sie im ersten Schritt das gewünschte Konfidenzniveau aus dem Dropdown-Menü. Geben Sie anschließend die relative Fehlermarge ein. (Hinweis: Sie können eine absolute Fehlermarge ganz einfach in einen relativen Wert umrechnen, indem Sie den absoluten Wert durch die Punktschätzung dividieren.)

Falls Ihnen der Anteil in der Grundgesamtheit bekannt ist, tragen Sie diesen ein. Ist dies nicht der Fall, belassen Sie den Standardwert bei 50 %. Wenn Sie die genaue Größe der Grundgesamtheit kennen, geben Sie diese in das letzte Eingabefeld ein; andernfalls lassen Sie das Feld einfach leer. Klicken Sie abschließend auf „Berechnen“.

Mit der zweiten Funktion des Rechners können Sie die Fehlermarge ermitteln. Wählen Sie auch hier zunächst das Konfidenzniveau aus dem Dropdown-Menü. Tragen Sie im zweiten Feld den tatsächlichen Stichprobenumfang Ihrer Studie ein. Danach ergänzen Sie den Anteil in der Grundgesamtheit. In das letzte Feld geben Sie die Größe der Grundgesamtheit ein (lassen Sie es leer, falls diese unbekannt ist). Ein Klick auf „Berechnen“ liefert Ihnen sofort das Ergebnis.

Stichprobe

Als Stichprobe bezeichnet man eine definierte Teilmenge einer Grundgesamtheit. Die Grundgesamtheit (oder Population) umfasst dabei alle Elemente, die für eine bestimmte Studie oder Umfrage von Interesse sind. Der idealste Weg, um präzise Daten zu gewinnen, wäre die Untersuchung aller Elemente – also eine Vollerhebung. In der Praxis ist es jedoch aufgrund zahlreicher Faktoren meist unmöglich, jedes einzelne Element zu erfassen. Wenn Sie beispielsweise die Insektenpopulation in einem Dschungel erforschen, ist die Grundgesamtheit nahezu unbegrenzt. Eine vollständige Erfassung ist schlichtweg nicht machbar. In anderen Fällen kann die Prüfung sogar dazu führen, dass die untersuchten Objekte zerstört werden (zerstörende Werkstoffprüfung).

Ein klassisches Beispiel: Wenn Sie eine versiegelte Getränkeflasche öffnen müssen, um ihr exaktes Volumen zu überprüfen, kann diese Flasche anschließend nicht mehr verkauft werden.

Zudem erfordert die Untersuchung einer gesamten Population enorm viel Zeit, finanzielle Mittel und weitere Ressourcen. In der empirischen Forschung arbeiten Sie jedoch in der Regel mit begrenzten Budgets und strengen Zeitplänen. Die Lösung für dieses Problem ist die Ziehung einer repräsentativen Stichprobe, anhand derer Sie Ihre Untersuchung durchführen.

Fehlermarge

Da wir in den meisten Fällen nicht alle Elemente der Grundgesamtheit untersuchen können, greifen wir in der Statistik auf Stichprobendaten zurück. Aus der Stichprobe berechnete Maße (Stichprobenstatistiken) werden verwendet, um die tatsächlichen Populationsparameter (die Werte der gesamten Grundgesamtheit) zu schätzen. Diese Statistiken basieren auf den tatsächlich beobachteten und gemessenen Daten der Stichprobe. Schätzt man einen Populationsparameter durch eine einzelne Zahl, spricht man von einer Punktschätzung.

Möchten Sie beispielsweise das durchschnittliche Volumen einer Getränkeflasche in einer Produktionslinie ermitteln, ziehen Sie eine zufällige Charge und berechnen deren Durchschnittsvolumen. Angenommen, diese Stichprobe ergibt ein durchschnittliches Volumen x̄ von 250 ml. Daraus leiten Sie die Punktschätzung ab, dass auch jede andere Flasche in der Produktionslinie ein Durchschnittsvolumen \$(\hat{μ})\$ von 250 ml aufweist.

In der Praxis stimmen der geschätzte Parameter und der tatsächliche Parameter der Grundgesamtheit jedoch selten exakt überein. Diese Abweichung entsteht unweigerlich dadurch, dass die Schätzung eben nur auf einer Stichprobe und nicht auf einer Vollerhebung basiert.

Die Fehlermarge (oder Konfidenzintervall-Marge) definiert die höchstwahrscheinliche Differenz zwischen der Punktschätzung eines Parameters und seinem wahren Wert in der Realität. Sie wird in der Statistik auch oft als maximaler Schätzfehler bezeichnet.

Konfidenzintervall

Das Konfidenzintervall (oder Vertrauensintervall) gibt den Wertebereich an, in dem sich der wahre Parameter der Grundgesamtheit mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit befindet. Dieser Schätzbereich zeigt, dass der Parameter innerhalb der berechneten Fehlermarge liegt. Um die untere Grenze des Konfidenzintervalls zu ermitteln, subtrahieren Sie die Fehlermarge von Ihrer Punktschätzung. Für die obere Grenze addieren Sie die Fehlermarge zur Punktschätzung.

Zusammenhang zwischen Stichprobengröße, Fehlermarge und Konfidenzintervall

Anstatt eine komplette Grundgesamtheit zu erheben, analysieren wir eine Stichprobe, um die wahren Werte (Parameter) der Grundgesamtheit zu schätzen. Dabei kommt es naturgemäß zu einer Abweichung zwischen Schätzwert und tatsächlichem Wert. Die Fehlermarge beziffert die maximal zu erwartende Differenz zwischen dieser Punktschätzung und dem wahren Parameter. Hierbei gilt ein wichtiger statistischer Grundsatz: Es besteht ein umgekehrter Zusammenhang zwischen dem Stichprobenumfang und der Fehlermarge. Ein größerer Stichprobenumfang bildet die Grundgesamtheit präziser ab, wodurch die Fehlermarge sinkt. Ein kleinerer Stichprobenumfang führt hingegen zu einer größeren Fehlermarge und somit zu ungenaueren Ergebnissen.

Wenden Sie diese Fehlermarge auf Ihre Punktschätzung an, erhalten Sie das Konfidenzintervall.

Formel zur Berechnung des Stichprobenumfangs

Je nach Ausgangslage und vorliegenden Daten kommen unterschiedliche Formeln zur Berechnung des benötigten Stichprobenumfangs zum Einsatz.

Das von Ihnen gewählte Konfidenzniveau bestimmt die Sicherheit der Schätzung, während die maximale Fehlermarge vorgibt, wie präzise diese Schätzung (also wie eng das Intervall) sein soll.

Wenn uns die Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt ist, können wir den minimalen Stichprobenumfang, der für ein gewünschtes Konfidenzintervall erforderlich ist, mit der folgenden Formel berechnen:

$$n=\left(\frac{z_{\alpha/2}×\sigma}{E}\right)^2$$

Das Endergebnis n sollte stets auf die nächste ganze Zahl aufgerundet werden.

Mit der bewährten Cochran-Formel können Sie den idealen Stichprobenumfang basierend auf der gewünschten Fehlermarge, dem Konfidenzniveau und dem erwarteten Anteil des Merkmals in der Population bestimmen. Die Cochran-Formel lautet:

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}$$

• z = Z-Wert aus der Z-Tabelle basierend auf dem gewünschten Konfidenzniveau
• p = der erwartete Anteil des untersuchten Merkmals in der Grundgesamtheit
• E = Fehlermarge

Beispiel 1

Stellen Sie sich vor, wir führen eine Studie über internationale Studierende durch, die in Kanada für ein Bachelorstudium eingeschrieben sind. Zu Beginn fehlen uns genaue Daten. Wir nehmen daher schätzungsweise an, dass 60 % aller Studierenden in Kanada internationale Studierende sind. Daraus ergibt sich ein geschätzter Anteil des Merkmals in der Population von 60 %. Wir streben ein Konfidenzniveau von 95 % und eine Fehlermarge von 4 % an. Wie viele Studierende müssen mindestens in die Stichprobe aufgenommen werden?

$$(1-\alpha)=95\%$$

$$z_{α/2}=z_{{95\%}/2}=1,96$$

$$p=60\%$$

$$E=4\%$$

$$n₀=\frac{z²p(1-p)}{E²}=\frac{1,96²×60\%×(1-60\%)}{4\%²}=576,24≈577$$

Es müssen also mindestens 577 Studierende befragt werden, um ein Konfidenzniveau von 95 % bei einer Fehlermarge von 4 % zu gewährleisten.

Die obige Formel eignet sich für sehr große oder unendlich große Grundgesamtheiten. Handelt es sich jedoch um eine kleine oder endliche Grundgesamtheit, muss der Stichprobenumfang korrigiert werden. Diese Anpassung erfolgt mit der folgenden Formel für endliche Populationen:

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}$$

• n₀ = Der nach der Cochran-Formel berechnete initiale Stichprobenumfang
• N = Größe der Grundgesamtheit (Population)
• n = Bereinigter Stichprobenumfang für die endliche Grundgesamtheit

Beispiel 2

Nehmen wir nun an, wir untersuchen internationale Studierende in Bachelorstudiengängen an genau der Hochschule in Kanada, an der Sie studieren. Auch hier schätzen wir den Anteil internationaler Studierender vorab auf 60 %. Die Gesamtzahl aller Studierenden an Ihrer spezifischen Hochschule beträgt jedoch exakt 12.000. Wir wünschen weiterhin ein Konfidenzniveau von 95 % und eine Fehlermarge von 4 %. Wie groß muss die Stichprobe jetzt sein?

Da die Grundgesamtheit in diesem Fall endlich (12.000) ist, berechnen wir zunächst n₀ mit der Cochran-Formel und passen den Wert anschließend an:

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{{E}^2}=\frac{1,96^2×{60\%}×(1-{60\%})}{{4\%}^2}=576,24$$

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}=\frac{576,24}{1+\left(\frac{576,24-1}{12.000}\right)}=549,88\approx550$$

Anstatt diese komplexen Formeln händisch zu lösen, liefert Ihnen unser Rechner für den Stichprobenumfang exakte Ergebnisse in Sekundenbruchteilen.

Formel zur Berechnung der Fehlermarge

Sie können die Standardformel für den Stichprobenumfang mathematisch umstellen, um die Fehlermarge (E) direkt zu berechnen.

Die Ausgangsformel für den minimalen Stichprobenumfang lautet:

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

Stellen wir diese Formel nun nach E (der Fehlermarge) um:

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

$${n₀}×{E}^2=z^2p\left(1-p\right)$$

$$E^2=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}$$

$$E=\sqrt{\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

Beispiel 3

Greifen wir unser erstes Beispiel über internationale Studierende in Kanada auf. Wir schätzen den Anteil weiterhin auf 60 %. Angenommen, Sie haben sich für ein Konfidenzniveau von 95 % entschieden und exakt 577 Studierende für Ihre Umfrage befragt. Wie groß ist nun die tatsächliche Fehlermarge Ihrer Studie?

$$z_{{95\%}/2}=1,96$$

$$p=60\%$$

$$n₀=577$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n_0}}=1.96 \times \sqrt{\frac{60\% \times \left(1-60\%\right)}{577}}=4\%$$

Ist die Grundgesamtheit endlich, müssen Sie zunächst n₀ mit der folgenden Anpassungsformel rückrechnen:

$$n₀=\frac{n-nN}{n-N}$$

Setzen Sie dieses Ergebnis anschließend in die umgestellte Formel ein, um die finale Fehlermarge zu erhalten:

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

Nutzen Sie einfach die zweite Funktion unseres Rechners, um sich all diese manuellen Rechenschritte zu ersparen und die Fehlermarge blitzschnell online zu bestimmen.

Formel zur Berechnung des Konfidenzintervalls

Sobald Ihnen die Fehlermarge bekannt ist, lässt sich das Konfidenzintervall spielend leicht ermitteln. Hierfür wird die folgende Zuordnung verwendet:

Konfidenzintervall = Punktschätzung ± Fehlermarge

Die obere Grenze des Konfidenzintervalls = Punktschätzung + Fehlermarge

Die untere Grenze des Konfidenzintervalls = Punktschätzung - Fehlermarge

Das Konfidenzintervall für einen Mittelwert μ lautet somit:

x̄ - E < μ < x̄ + E

Dabei ist x̄ - E die untere Grenze und x̄ + E die obere Grenze.

Das Konfidenzintervall für einen Anteilswert P wird analog definiert:

p - E < P < p + E

Beispiel 4

Sie untersuchen die durchschnittlichen Studienkosten internationaler Studierender in Kanada. Sie haben eine Stichprobe von 1.000 Studierenden gezogen und schätzen auf Basis dieser Daten, dass die durchschnittlichen Kosten bei 20.000 CAD liegen (Ihre Punktschätzung). Die berechnete Fehlermarge beträgt 5.000 CAD. Wie lautet das Konfidenzintervall für die tatsächlichen durchschnittlichen Studienkosten?

Obergrenze = x̄ + E = CAD 20.000 + CAD 5.000 = CAD 25.000

Untere Grenze = x̄ - E = CAD 20.000 - CAD 5.000 = CAD 15.000

Daraus ergibt sich das folgende Konfidenzintervall:

x̄ - E < μ < x̄ + E

CAD 15.000 < μ < CAD 25.000