Calculadora de Triângulo

Calculadora de Triângulo

A calculadora de triângulo é uma ferramenta online que permite encontrar rapidamente todas as propriedades geométricas de um triângulo a partir de três medidas conhecidas. Basta inserir os comprimentos dos lados ou os ângulos para que a calculadora processe os dados e forneça as seguintes medidas:

• Comprimento do lado ausente (desconhecido)
• Ângulos internos ausentes
• Área do triângulo
• Perímetro
• Semiperímetro
• Alturas relativas a todos os lados
• Medianas relativas a todos os lados
• Raio da circunferência inscrita (inraio)
• Raio da circunferência circunscrita (circunraio)

Além disso, a calculadora fornece as coordenadas geométricas dos vértices, o baricentro (centroide), o incentro (centro da circunferência inscrita) e o circuncentro (centro da circunferência circunscrita), assumindo como padrão que as coordenadas do vértice A sejam [0, 0].

Instruções de uso

Para utilizar esta calculadora de triângulos, insira três valores quaisquer nos campos de entrada disponíveis. Você pode informar as medidas de ângulos ou de comprimentos laterais. Atenção: pelo menos um dos valores fornecidos deve ser o comprimento de um lado; caso contrário, o triângulo terá infinitas soluções (triângulos semelhantes).

Em seguida, selecione a unidade de medida geométrica para os ângulos: graus ou radianos. Se optar por radianos, utilize "pi" para representar a constante π. Por exemplo, se o valor do ângulo for \$\frac{π}{3}\$, digite "pi/3". Após inserir os dados conhecidos, clique em "Calcular". O solucionador retornará automaticamente todos os valores ausentes listados acima, além de um desenho esquemático para facilitar a visualização do triângulo.

Abaixo do resultado, você pode expandir a seção "Mostrar Etapas de Cálculo" para conferir o passo a passo da resolução e entender o algoritmo e as fórmulas matemáticas utilizadas.

Para apagar os dados inseridos e iniciar um novo cálculo, clique em "Limpar".

Limitações nos valores de entrada

• Pelo menos um dos valores conhecidos deve ser o comprimento de um lado.
• Ao inserir a combinação de dois ângulos e um lado, lembre-se de que a soma dos ângulos internos deve ser estritamente menor que 180° (ou π radianos).
• Ao inserir a medida de três lados, a soma dos comprimentos de dois lados quaisquer deve ser sempre maior que o comprimento do terceiro lado (Condição de Existência do Triângulo).

Exemplo de cálculo

Imagine que você está de mudança e precisa pedir uma caminhonete emprestada a um amigo. Você precisará carregar e descarregar o veículo, mas ele não possui uma rampa embutida. Você tem uma rampa portátil e precisa saber se as dimensões dela são compatíveis com a altura do veículo. A sua rampa não é ajustável: você mediu dois dos seus lados, que têm 1 m e 0,8 m, e sabe que o ângulo oposto ao lado de 1 m é de 85 graus (veja a imagem geométrica). A altura do compartimento de carga da caminhonete pode ser ajustada em uma faixa entre 0,5 m e 1 m. Será que a sua rampa serve?

Dados

• lado b = 1;
• lado c = 0,8;
• ângulo B = 85 graus.

Solução

Para descobrir se a rampa se ajusta perfeitamente, você precisa resolver o triângulo ilustrado acima e verificar se o comprimento do lado a se encaixa no intervalo de altura da caminhonete: 0,5 < a < 1.

Ao inserir os valores do problema na calculadora de triângulo, obtemos a seguinte resposta (para esta tarefa, precisamos apenas do comprimento do lado ausente, portanto, as demais medidas calculadas não serão aprofundadas neste exemplo prático, embora o solucionador online entregue o cálculo completo):

Resposta

• Lado a = 0,67376

• Lado b = 1

• Lado c = 0,8

• Ângulo A = 42.16° = 42°9'35" = 0.73582 rad

• Ângulo B = 85° = 1.48353 rad

• Ângulo C = 52.84° = 52°50'25" = 0.92224 rad

A representação visual da rampa fica assim:

Observamos que a ≈ 0,674 m. Como sabemos que a altura do compartimento de carga tem um ajuste na faixa de 0,5 < a < 1, concluímos que a altura da rampa é perfeitamente compatível! Você já pode pegar a caminhonete do seu amigo emprestada e economizar no aluguel.

Triângulo: definição e fórmulas importantes

Na geometria, um triângulo é uma figura bidimensional plana formada pela interseção de três retas não paralelas. Ele também pode ser descrito como um polígono simples composto por três vértices e três arestas. Na matemática elementar, essas arestas são comumente chamadas de lados do triângulo.

Condições de existência de um triângulo

Duas regras fundamentais definem a existência de um triângulo na geometria euclidiana: uma referente aos lados e outra aos ângulos. A condição geométrica dos lados é conhecida como a Desigualdade Triangular. Ela estabelece que a soma dos comprimentos de quaisquer dois lados de um triângulo deve ser maior ou igual ao comprimento do terceiro lado. Se a soma dos comprimentos de dois lados for exatamente igual ao comprimento do terceiro lado, temos o que é chamado de triângulo degenerado.

Um triângulo degenerado é aquele em que os três vértices são colineares (estão sobre a mesma linha reta). Como este é um caso muito particular e geralmente não discutido na geometria básica, ele não é abordado por esta calculadora.

A condição dos ângulos, por sua vez, determina que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre exatamente igual a 180° (ou π radianos).

Medidas do triângulo

A seguir, definiremos as propriedades métricas mais importantes de um triângulo e apresentaremos as fórmulas matemáticas usadas para calculá-las.

O perímetro de um triângulo – é a soma total dos comprimentos de todas as suas arestas externas e pode ser calculado da seguinte forma:

p = a + b + c

Semiperímetro de um triângulo – é exatamente a metade do comprimento do perímetro total:

$$s=\frac{p}{2}=\frac{a+b+c}{2}$$

Área de um triângulo – é a grandeza que descreve o espaço de superfície que a figura ocupa no plano. Se conhecermos os comprimentos de dois lados e a medida do ângulo formado entre eles, a área do triângulo pode ser calculada usando a trigonometria:

$$A=\frac{1}{2}a× b×\sin{C}$$

Altura (ou altitude) de um triângulo – é o segmento de reta traçado perpendicularmente de um vértice até a reta que contém o lado oposto (a base). Como todo triângulo possui três vértices e três lados, ele também possui três alturas. A altura relativa ao lado a é normalmente indicada como hₐ. De forma análoga, as outras duas alturas são denotadas como \$h_b\$ e h꜀. A maneira mais fácil de encontrar a altura de um triângulo é utilizando a fórmula da sua área:

$$A=\frac{1}{2}× a× h_a=\frac{1}{2}× b× h_b=\frac{1}{2}× c× h_c$$

$$h_a=\frac{2A}{a}, h_b=\frac{2A}{b}, h_c=\frac{2A}{c}$$

Mediana de um triângulo – é o segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Consequentemente, todo triângulo tem três medianas.

A mediana relativa ao lado a é geralmente designada como mₐ. Seguindo a mesma lógica, as outras duas medianas são indicadas por \$m_b\$ e m꜀. O comprimento de qualquer mediana pode ser calculado aplicando a seguinte fórmula:

$$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b²+2c^2-a^2}$$

Raio da circunferência inscrita (inraio) – é o raio do maior círculo que cabe perfeitamente no interior do triângulo, tangenciando todos os seus três lados.

A medida deste raio interno r é determinada pela razão entre a área e o semiperímetro:

$$r=\frac{A}{s}$$

Raio da circunferência circunscrita (circunraio) – é o raio do círculo perfeitamente desenhado do lado de fora da figura, e que passa exatamente pelos três vértices do triângulo.

O comprimento deste raio externo R pode ser encontrado a partir da Lei dos Senos:

$$2R=\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}$$

A Lei dos Senos também é extremamente valiosa para descobrir valores desconhecidos de comprimentos ou ângulos em trigonometria. Outro teorema fundamental indispensável é a Lei dos Cossenos:

$$a=\sqrt{b²+c^2-2bc\cos{A}}$$

$$b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos{B}}$$

$$c=\sqrt{a^2+b²-2ab\cos{C}}$$

As equações listadas acima permitem resolver praticamente qualquer problema de geometria de triângulos. Nossa calculadora online aplica essas mesmas fórmulas de forma automatizada e instantânea para encontrar todos os valores que faltam para você.