Kikokotoo cha Nadharia ya Pythagoras

Kikokotoo hiki cha nadharia ya Pythagoras hutafuta kwa urahisi urefu wa upande wowote unaokosekana wa pembetatu mraba (right triangle) wakati pande nyingine mbili zinajulikana. Mahesabu yote yanawezeshwa na msingi wa nadharia ya Pythagoras.

Maelekezo ya matumizi

Ingiza urefu wa pande zinazojulikana kisha bofya "Calculate" (Kokotoa). Kikokotoo chetu cha pembetatu mraba kitatoa maadili yafuatayo mara moja:

• Urefu wa upande wa tatu.
• Thamani za pembe ambazo si za 90° katika digrii na radiani.
• Eneo la pembetatu.
• Mzingo wa pembetatu.
• Urefu wa altitudi iliyo wima na hipotenasi.

Kikokotoo pia kitatoa suluhisho la kina la hatua kwa hatua, ambalo unaweza kulipanua kwa kubofya "+ Show Calculation Steps" (+ Onyesha Hatua za Kukokotoa).

Ili kurahisisha, sehemu za kuingiza taarifa kwa kila upande zinajumuisha sehemu ya namba kamili na sehemu ya kipeuo cha pili, ikikuruhusu kuingiza thamani kamili kwa urahisi kama vile 2√3, √3, na kadhalika.

Tafadhali kumbuka kuwa urefu wa miguu (legs) ya pembetatu (a na b) lazima uwe mfupi kuliko urefu wa hipotenasi (c).

Nadharia ya Pythagoras

Nadharia ya Pythagoras inasema kwamba katika pembetatu yenye pembe mraba, mraba wa hipotenasi (upande mrefu zaidi) ni sawa na jumla ya miraba ya pande nyingine mbili (miguu au katheti).

Mlinganyo wa Pythagoras unaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

a² + b² = c²,

Ambapo a na b inawakilisha urefu wa pande fupi, au miguu, ya pembetatu mraba, na c ni urefu wa upande mrefu zaidi, au hipotenasi. Kwa maneno, mlinganyo ulio hapo juu husomwa kama: a mraba jumlisha b mraba ni sawa na c mraba.

Uthibitisho wa nadharia ya Pythagoras

Tunaweza kuthibitisha nadharia ya Pythagoras kwa kulinganisha maeneo ya maumbo mahususi ya kijiometri.

Katika mchoro hapo juu, mraba mkubwa wenye urefu wa pande (a + b) una mraba mdogo wa ndani wenye urefu wa upande wa c, uliozungukwa na pembetatu mraba nne zinazofanana zenye pande a, b, na c. Hebu tutafute eneo la jumla la mraba huu mkubwa kwa kutumia mbinu mbili tofauti:

1. Eneo la uso la mraba mkubwa zaidi wenye urefu wa upande wa (a + b) linaweza kukokotolewa kama (a + b)²:

A = (a + b)²

2. Vinginevyo, eneo lilo hilo la jumla la uso linaweza kupatikana kwa kujumlisha maeneo ya uso wa maumbo ya ndani—eneo la mraba wa ndani wenye upande c, na maeneo ya pembetatu mraba nne zenye pande a, b, na c. Eneo la mraba wa ndani linakokotolewa kama c². Eneo la kila pembetatu mraba linakokotolewa kama (ab)/2. Kwa hivyo,

A = c² + 4 × (ab)/2 = c² + 2ab

Kwa kuwa hesabu hizi zote mbili zinaelezea eneo moja kamili la jumla la uso, tunaweza kulinganisha (kuziweka sawa):

(a + b)² = c² + 2ab

Kupanua mraba wa binomia kwenye upande wa kushoto wa mlinganyo kunatoa:

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

Kutoa 2ab kutoka pande zote mbili za mlinganyo kunatupa:

a² + b² = c²

ambayo inathibitisha kihisabati nadharia ya Pythagoras.

Kanuni za ukokotoaji

Kutafuta pande za pembetatu mraba

Ikiwa pande mbili za pembetatu mraba zinajulikana, upande wa tatu unaokosekana unaweza kupatikana kwa urahisi kwa kutumia nadharia ya Pythagoras. Kwa mfano, ikiwa pande a na b zimetolewa, urefu wa hipotenasi c unaweza kukokotolewa kama ifuatavyo:

$$c=\sqrt{a²+b²}$$

Vile vile, ili kutafuta mguu unaokosekana:

$$a=\sqrt{c²-b²}$$

na

$$b=\sqrt{c²-a²}$$

Kutafuta pembe za pembetatu mraba

Ikiwa pande zote tatu za pembetatu mraba zinajulikana, pembe ambazo si za 90° za pembetatu zinaweza kukokotolewa kama ifuatavyo:

• ∠α = arcsin(a/c) au ∠α = arccos(b/c)
• ∠β = arcsin(b/c) au ∠β = arccos(a/c)

Hapa, ∠α inawakilisha pembe inayotazamana na mguu 'a', ∠β ni pembe inayotazamana na mguu 'b', na 'c' ni hipotenasi. Chaguo kati ya kutumia arcsin (saini geugeu) na arccos (kosaini geugeu) inategemea ni mguu upi unarejelea kuhusiana na pembe. Kitendakazi cha arcsin kinatumia mguu unaotazamana na pembe (opposite), wakati kitendakazi cha arccos kinatumia mguu wa karibu (adjacent). Mbinu zote mbili za trigonometria ni halali kabisa na zitatoa vipimo sahihi vya pembe kwa pembetatu mraba yoyote.

Eneo la pembetatu mraba

Eneo la pembetatu mraba linakokotolewa kama nusu ya zao la miguu yake miwili:

A = 1/2 × (ab) = (ab)/2

Mzingo wa pembetatu mraba

Mzingo wa pembetatu mraba ni jumla ya urefu wa pande zake zote:

P = a + b + c

Altitudi kwa hipotenasi

Wakati pande zote tatu za pembetatu mraba zinajulikana, altitudi kwa hipotenasi (h) inaweza kupatikana kwa kutumia fomula hii:

h = (a × b)/c

Mifano halisi katika maisha

Nadharia ya Pythagoras inatumiwa sana katika usanifu majengo, uhandisi, na ujenzi ili kukokotoa urefu kamili wa vijenzi muhimu na kuhakikisha kwamba miundo inadumisha kona zilizonyooka na zilizo mraba kabisa. Hebu tuangalie mfano halisi, wa kivitendo wa kutumia nadharia hii ya hisabati.

Kutosheleza vitu

Fikiria unahama, na umekodi lori la kubebea mizigo lenye urefu wa mita 4 na kimo cha mita 3. Huna vitu vingi vikubwa, lakini unamiliki ngazi yenye urefu wa mita 4.5. Je, ngazi yako itatoshea ndani ya lori?

Suluhisho

Kwa kuwa urefu wa ngazi (mita 4.5) unazidi urefu wa lori (mita 4), njia pekee ambayo ngazi itatoshea ndani ni kwa kuilaza kwa mshazari (diagonally). Ili kuamua kama hilo linawezekana kihisabati, tunahitaji kutumia nadharia ya Pythagoras ili kukokotoa hipotenasi ya pembetatu ambapo pande zake ni sawa na urefu na kimo cha lori. Kwa hivyo, kwa upande wetu a = 4, b = 3, na tunahitaji kutafuta hipotenasi c:"

$$c=\sqrt{a²+b²}=\sqrt{4²+3²}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

Hipotenasi ya pembetatu mraba yenye miguu a = 4 na b = 3 ni c = 5. Hii inamaanisha kuwa kitu kigumu na kirefu zaidi kinachoweza kutoshea kwa mshazari ndani ya lori ni mita 5 kamili. Kwa kuwa ngazi yako ina urefu wa mita 4.5, itatoshea kwa urahisi!

Jibu

Ndiyo, ngazi itatoshea.

Mahesabu ya ziada

Kikokotoo chetu cha mtandaoni cha hipotenasi pia hukokotoa sifa nyingine kadhaa za kijiometri za pembetatu mraba iliyotolewa. Hebu tuangalie matokeo yaliyopanuliwa kwa pembetatu ya lori letu lenye pande a = 4, b = 3, na hipotenasi c = 5.

Eneo la pembetatu:

A = (ab)/2 = (3 × 4)/2 = 12/2 = 6

Mzingo wa pembetatu:

P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12

Altitudi kwa hipotenasi:

h = (a × b)/c = (3 × 4)/5 = 12/5 = 2.4

Pembe inayotazamana na upande a:

∠α = arcsin(a/c) = arcsin(4/5) = arcsin(0.8) = 53.13° = 53°7'48" = 0.9273 rad

Pembe inayotazamana na upande b:

∠β = arcsin(b/c) = arcsin(3/5) =arcsin(0.6) = 36.87° = 36°52'12" = 0.6435 rad