Kalkuleytor ng Quadratic Formula

Paggamit ng Kalkuleytor ng Quadratic Formula

Ang aming quadratic formula calculator ay isang napakahusay at madaling gamiting tool na idinisenyo upang agad na i-solve ang mga quadratic equation. Sa algebra, ang quadratic equation (o quadratic na ekwasyon) ay anumang second-degree polynomial equation na maaaring isulat sa standard na anyo:

ax²+bx+c=0

kung saan ang

a≠0

Upang magamit ang step-by-step quadratic equation solver na ito, ilagay lamang ang mga coefficient na A, B, at C sa kanilang mga kaukulang field at i-click ang "Calculate" o Kalkulahin. Tandaan na ang A ay hindi maaaring maging zero, habang ang zero ay ganap na katanggap-tanggap na input para sa B at C. Mayroon man real o complex roots ang iyong ekwasyon, inilalapat ng calculator ang quadratic formula upang mahanap ang lahat ng posibleng solusyon. Bukod pa rito, awtomatiko nitong pinapasimple ang mga lumalabas na radical, kaya ibinibigay nito ang mga huling sagot sa kanilang pinakasimple at pinakatumpak na anyo.

Pag-solve ng mga Quadratic Equation Gamit ang Quadratic Formula

Ang quadratic formula ay isang unibersal na paraan na nagbibigay-daan sa iyo upang i-solve ang anumang quadratic equation. Upang magamit ang paraang ito, dapat mo munang ayusin ang ibinigay na ekwasyon sa standard na anyo: ax²+bx+c=0. Mula rito, ang mga eksaktong solusyon ay maaaring makalkula gamit ang sumusunod na ekwasyon:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Ang expression sa ilalim ng square root, na b²-4ac, ay tinatawag na discriminant. Ito ay isang mahalagang value na tumutukoy sa katangian (nature) ng mga root:

• Kung ang discriminant ay positibo, b²-4ac>0, ang ekwasyon ay magkakaroon ng dalawang magkaibang real root.
• Kung ang discriminant ay negatibo, b²-4ac<0, ang ekwasyon ay magkakaroon ng dalawang complex root, dahil ang pagkuha ng square root ng isang negatibong numero ay nagreresulta sa isang imaginary na numero.
• Kung ang discriminant ay katumbas ng zero, b²-4ac=0, ang ekwasyon ay magkakaroon ng eksaktong isang real root (isang repeated root).

Ang aming quadratic calculator ay hindi lamang nagpapakita ng mga huling sagot; nagbibigay rin ito ng kumpletong, step-by-step na proseso sa paghahanap ng mga solusyong ito. Kinakalkula rin nito ang discriminant upang malinaw na maipakita kung ito ba ay positibo, negatibo, o katumbas ng zero.

Mga Praktikal na Halimbawa

Halimbawa 1 (may mga real root)

I-solve natin ang sumusunod na quadratic equation:

2x²+3x-2=0

Sa halimbawang ito

a=2,b=3,c=-2.

Gamit ang quadratic formula para sa mga value na ito, makukuha natin ang:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-3±\sqrt{3^2-4(2)(-2)}}{2(2)}=\frac{-3±\sqrt{9--16}}{4}=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}$$

Ang discriminant ng ekwasyong ito ay positibo,

b²-4ac=25>0

Kaya naman, ang ekwasyon ay magkakaroon ng dalawang real root.

Ngayon, pasimplehin natin ang lumabas na radical:

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}=\frac{-3±5}{4}$$

$$x=\frac{-3+5}{4}\ \ \ and\ \ \ x= \frac{-3-5}{4}$$

$$x=\frac{2}{4}\ \ \ and\ \ \ x=-\frac{8}{4}$$

$$x=\frac{1}{2}\ \ \ and\ \ \ x=-2$$

Sa huli,

x=0.5

x=-2

Halimbawa 2 (may mga complex root)

I-solve natin ang sumusunod na quadratic equation:

x²+2x+5=0

Sa halimbawang ito

a=1,b=2,c=5

Gamit ang quadratic formula para sa mga value na ito, makukuha natin ang:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-2±\sqrt{2^2-4(1)(5)}}{2(1)}=\frac{-2±\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

Ang discriminant ng ekwasyong ito ay negatibo,

b²-4ac=-16<0

Kaya naman, ang ekwasyon ay magkakaroon ng dalawang complex root.

Ngayon, pasimplehin natin ang lumabas na radical:

$$x=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2±4i}{2}=\frac{-2}{2}±\frac{4i}{2}=-1±2i$$

Sa huli,

x=-1+2i

x=-1-2i

Halimbawa 3 (may isang root)

I-solve natin ang sumusunod na quadratic equation:

3x²+6x+3=0

Sa halimbawang ito

a=3,b=6,c=3

Gamit ang quadratic formula para sa mga value na ito, makukuha natin ang:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{6^2-4(3)(3)}}{2(3)}=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{6}=\frac{-6±\sqrt0}{6}$$

Ang discriminant ng ekwasyong ito ay katumbas ng zero, b²-4ac=0. Kaya naman, ang ekwasyon ay magkakaroon ng eksaktong isang root.

$$x=\frac{-6}{6}$$

Sa huli,

x=-1

Derivation ng Quadratic Formula

Gaya ng ipinakita sa mga halimbawa sa itaas, maaari mong kumpiyansang magamit ang quadratic formula para i-solve ang ganap na anumang quadratic equation, anuman ang maging discriminant nito—positibo, negatibo, o zero. Ngunit saan ba nagmula ang formula na ito? Ang pag-unawa sa mga pangunahing prinsipyo ng derivation nito ay napakalaking tulong, lalo na kung makalimutan mo man ang mismong formula.

Ang proseso ng derivation ay medyo direkta at nakabatay sa isang klasikong algebraic na pamamaraan na tinatawag na "completing the square." Upang makuha ang derivation ng mga root ng standard na quadratic equation na ax²+bx+c=0, sundin ang mga sistematikong hakbang na ito:

1. Magsisimula tayo sa standard na ekwasyon:

ax²+bx+c=0

Ipatong ang constant na C sa kanang bahagi ng ekwasyon:

ax²+bx=-c

2. Alisin ang coefficient na A sa tabi ng squared term na x². Upang magawa ito, i-divide ang buong ekwasyon sa A:

$$x²+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

3. I-add ang

$$(\frac{b}{2a})^2$$

sa magkabilang panig ng ekwasyon:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

4. Ang kaliwang bahagi ngayon ay bumubuo ng isang perfect square trinomial sa anyong

x²+2dx+d²

Ang expression na ito ay madaling muling masusulat bilang

(x+d)²

Sa ating ekwasyon, ang d ay ipinapahayag bilang

$$\frac{b}{2a}$$

Kaya:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$

I-substitute ito pabalik sa kaliwang bahagi ng ating formula, at iwanang hindi nagbabago ang kanang bahagi sa ngayon:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

Ngayon, ang variable na x ay lumilitaw nang isang beses na lamang sa buong ekwasyon.

5. Kunin ang square root mula sa magkabilang panig ng ekwasyon:

$$x+\frac{b}{2a}=± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

6. Ihiwalay (isolate) ang x sa pamamagitan ng paglipat ng \$\frac{b}{2a}\$ sa kanang bahagi ng ekwasyon:

$$x=-\frac{b}{2a}± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

7. I-multiply ang kanang bahagi ng ekwasyon sa

$$\frac{2a}{2a}$$

$$x=\frac{-b ± \sqrt{-\frac{c}{a} × (2a)^2 + (\frac{b}{2a})^2 × (2a)^2}}{2a}$$

8. Pasimplehin ang lumabas na expression:

$$x=\frac{-b±\sqrt{-4ac+b²}}{2a}$$

9. Bilang resulta, mararating natin ang standard na quadratic formula:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Mga Kawili-wiling Kaalaman Tungkol sa mga Quadratic Equation

• Ang kabuuan (sum) ng dalawang root ng isang quadratic equation ay palaging katumbas ng

$$\frac{-b}{a}$$

Dahil dito, kung ang discriminant na b²-4ac ay katumbas ng zero, mabilis mong mahahanap ang nag-iisang repeated root ng ekwasyon gamit ang

$$\frac{-b}{2a}$$

• Ang product (kinalabasan ng pag-multiply) ng dalawang root ng isang quadratic equation ay eksaktong katumbas ng

$$\frac{c}{a}$$

• Ang salitang "quadratic" ay nagmula sa salitang Latin na quadratus, na nangangahulugang "square." Nakuha ng ekwasyon ang pangalang ito dahil ang pinakamataas na power ng variable ay 2, ibig sabihin ang leading variable ay "squared" o naka-kuwadrado.

• Ang quadratic formula sa kasalukuyang anyo nito ay naidokumento noon pang 628 AD ng mahusay na Indian na matematiko na si Brahmagupta. Nakakawili na hindi siya gumamit ng mga modernong simbolo; sa halip, ipinaliwanag niya ang mathematical na solusyon nang buo sa pamamagitan ng mga salita. Idinetalye rin ni Brahmagupta ang isa lamang sa dalawang posibleng solusyon, at inalis ang mahalagang ± sign bago ang square root.

• Ang graphical na representasyon ng isang quadratic function na y=ax²+bx+c ay bumubuo ng kurbadang hugis na kilala bilang parabola. Ang mga solusyon, o roots, ng quadratic equation ay kumakatawan sa mga eksaktong coordinate kung saan pinuputol o tumatawid (intersects) ang parabola sa x-axis (mga x-intercept). Kung ang ekwasyon ay may dalawang real root, ang graph ay tumatawid sa x-axis nang dalawang beses. Kung mayroon lamang isang real root, ang vertex ng parabola ay sumasayad lamang sa x-axis sa pinakamataas (maximum) o pinakamababang (minimum) na punto nito. Kung ang ekwasyon ay may mga complex root, hindi kailanman tumatawid ang parabola sa x-axis.

• Habang ang value ng leading coefficient, A, ay palapit nang palapit sa zero, ang graph ng kaukulang parabola ay nagiging mas patag (flatter), na kalaunan ay nagiging isang tuwid na linya. Natural, kapag ang a=0, ang ekwasyon ay nagiging isa na lamang linear equation, at ang graph nito ay magiging isang ganap na tuwid na linya!

• Ang coefficient A din ang nagtatakda ng pangkalahatang direksyon ng parabola. Kapag a>0, ang parabola ay bumubuka paitaas na hugis "U". Sa kabilang banda, kung a<0, ang parabola ay nakabukas pababa. At gaya ng nabanggit, kung ang a=0, ang "parabola" ay ganap na papatag bilang isang linear na tuwid na linya.

Ang mga quadratic equation ay malawakang ginagamit sa lahat ng mga disiplina sa siyensiya. Sa physics, halimbawa, sila ay mga mahahalagang mathematical tool na ginagamit upang kalkulahin ang mga trajectory, imodelo ang kinematics, at tumpak na ilarawan ang projectile motion.