Калькулятор прямокутного трикутника

Калькулятор прямокутного трикутника

Наш калькулятор прямокутного трикутника — це зручний та потужний онлайн-інструмент, розроблений спеціально для розв'язання геометричних задач із прямокутними трикутниками. Якщо вам потрібно знайти невідомі сторони (гіпотенузу чи катети), кути або інші параметри, просто введіть два відомі значення, і калькулятор миттєво виконає всі розрахунки. Інструмент підтримує такі вхідні дані: довжини сторін (a, b і c), гострі кути (α і β), периметр (P), площу (A) та висоту, проведену до гіпотенузи (h).

Щоб скористатися калькулятором, введіть будь-які два з перелічених вище параметрів і натисніть кнопку «Обчислити» (Calculate).

Ви можете вводити значення кутів як у градусах, так і в радіанах. Щоб використовувати радіани з числом π, просто напишіть «pi». Наприклад, якщо ваш кут дорівнює π/3, введіть «pi/3».

Окрім пошуку невідомих величин, цей онлайн-калькулятор надає детальні покрокові рішення. Ви також отримаєте пропорційно масштабоване креслення (візуалізацію) вашого трикутника разом із точними значеннями радіусів вписаного та описаного кіл.

Обмеження вхідних даних для калькулятора трикутника

1. Ви маєте ввести рівно два значення.
2. Значення кутів α та β повинні бути строго меншими за 90° або (π/2) рад.
3. Довжина висоти, проведеної до гіпотенузи (h), не може перевищувати довжину будь-якого з катетів (a або b).
4. Довжина кожної сторони трикутника (a, b або c) має бути меншою за суму довжин двох інших сторін (нерівність трикутника).
5. Для будь-якої заданої довжини гіпотенузи трикутник має максимально можливий периметр. Калькулятор не прийме значення периметра, яке перевищує цю межу. Максимальний периметр прямокутного трикутника із заданою гіпотенузою досягається тоді, коли він є рівнобедреним (a=b). У цьому випадку \$a=b=\frac{c}{\sqrt2}\$, а максимальний периметр становить \$P=a+b+c=c+\frac{2c}{\sqrt2}\$.

Прямокутний трикутник: визначення та властивості

Прямокутний трикутник — це геометрична фігура (багатокутник), у якій один внутрішній кут дорівнює рівно 90° або \$\frac{π}{2}\ rad\$. Сторона, що лежить навпроти прямого кута, називається гіпотенузою. Дві інші сторони, які утворюють прямий кут, називаються катетами.

На практиці катет b часто вважають основою прямокутного трикутника, тоді як катет a виконує роль його висоти.

Катети завжди коротші за гіпотенузу. Оскільки один кут становить рівно 90°, а сума всіх внутрішніх кутів будь-якого трикутника завжди дорівнює 180°, сума двох гострих кутів прямокутного трикутника також завжди дорівнює 90°: α+β=90°. Довжини сторін цієї фігури пов'язані між собою фундаментальним математичним співвідношенням — теоремою Піфагора.

Теорема Піфагора

Теорема Піфагора є одним із найвідоміших і найважливіших принципів евклідової геометрії. Вона встановлює чітку залежність між трьома сторонами прямокутного трикутника, стверджуючи, що квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів:

$$c^2=a^2+b²$$

Отже, знаючи довжини лише двох катетів, ви можете легко обчислити гіпотенузу за допомогою цієї формули:

$$c=\sqrt{a^2+b²}$$

І навпаки, якщо вам відомі довжина гіпотенузи та одного катета, невідомий катет можна розрахувати за такими рівняннями:

$$a=\sqrt{c^2-b²}$$

$$b=\sqrt{c^2-a^2}$$

Інші важливі формули для розрахунків

Окрім теореми Піфагора, для знаходження невідомих параметрів прямокутного трикутника застосовують низку тригонометричних та геометричних формул.

Периметр прямокутного трикутника — це сума довжин усіх його сторін:

$$P = a + b + c$$

Площа прямокутного трикутника обчислюється через його катети (основу та висоту):

$$A=\left( \frac{1}{2} \right)ab$$

Для пошуку гострих кутів використовуються тригонометричні функції: синус, косинус і тангенс. Вони визначаються через співвідношення сторін, прилеглих і протилежних до даного кута. Катет, що утворює гострий кут разом із гіпотенузою, називається прилеглим. Інший катет, розташований навпроти цього кута — протилежним. Наприклад, на схемі нижче катет a є протилежним до кута α, тоді як катет b — прилеглим.

Синус будь-якого гострого кута в прямокутному трикутнику — це відношення довжини протилежного катета до гіпотенузи:

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}, \sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

Косинус гострого кута — це відношення довжини прилеглого катета до гіпотенузи:

$$\cos{\alpha}=\frac{b}{c}, \cos{\beta}=\frac{a}{c}$$

Тангенс гострого кута — це відношення довжини протилежного катета до довжини прилеглого:

$$\tan{\alpha}=\frac{a}{b}, \tan{\beta}=\frac{b}{a}$$

Довжина висоти, проведеної до гіпотенузи (h), обчислюється так:

$$h=\frac{ab}{c}$$

Наш калькулятор також автоматично визначає радіус вписаного кола (найбільшого кола, яке можна помістити всередині трикутника) та радіус описаного кола (яке проходить через усі три вершини) за допомогою таких формул:

$$Inradius=\frac{ab}{a+b+c}$$

$$Circumradius=\frac{c}{2}$$

Приклад розрахунку прямокутного трикутника

Розглянемо практичне завдання, де відомі довжини двох катетів: a = 3 і b = 4. Знайдемо всі інші параметри цього прямокутного трикутника.

Спочатку обчислимо довжину гіпотенузи (c) за теоремою Піфагора:

$$c=\sqrt{a^2+b²}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}+\sqrt{25}=5$$

$$c=5$$

Далі визначимо гострі кути. Як було вказано раніше:

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}$$

Застосуємо обернену тригонометричну функцію (арксинус):

$$\alpha=arcsin\left(\frac{a}{c}\right)$$

$$\alpha=arcsin\left(\frac{3}{5}\right)=arcsin(0.6)=0.6435\ rad\ =\ 36.87° = 36°52'12"$$

Аналогічно розрахуємо кут β:

$$\sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

Отже:

$$\beta=arcsin\left(\frac{b}{c}\right)$$

$$\beta=arcsin\left(\frac{4}{5}\right)=arcsin(0.8)=0.9273\ rad\ =\ 53.13° = 53°7'48"$$

Тепер знайдемо висоту, проведену до гіпотенузи (h):

$$h=\frac{ab}{c}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}=2.4$$

Щоб знайти площу (A) трикутника:

$$A=\frac{1}{2}ab=\frac{a× b}{2}=\frac{3×4}{2}=6$$

Розрахуємо периметр (P):

$$P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12$$

Радіус вписаного кола (inradius) обчислюється так:

$$inradius=\frac{ab}{a+b+c}=\frac{3×4}{3+4+5}=\frac{12}{12}=1$$

Нарешті, радіус описаного кола (circumradius):

$$circumradius=\frac{c}{2}=\frac{5}{2}=2.5$$

Особливі прямокутні трикутники

У геометрії часто вивчають два специфічні прямокутні трикутники: трикутник 45-45-90 та трикутник 30-60-90. Довжини сторін у цих фігурах завжди підпорядковуються чітким, передбачуваним пропорціям.

Рівнобедрений прямокутний трикутник

Прямокутний трикутник, у якому обидва гострі кути дорівнюють рівно 45°, називається рівнобедреним прямокутним трикутником. Оскільки ці кути однакові, два катети також мають абсолютно однакову довжину. Співвідношення його сторін (a : b : c) завжди становить:

$$a : b : c = 1 : 1 : \sqrt{2}$$

Трикутник 30-60-90

У цьому класичному прямокутному трикутнику гострі кути дорівнюють рівно 30° та 60°. Довжини сторін співвідносяться за такою пропорцією:

$$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$$

де «a» — катет, протилежний куту 30°, «b» — катет, протилежний куту 60°, а «c» — гіпотенуза.