组合计算器

在数学中，有不同的策略来确定从给定集合中选择对象的方法数。我们可以用多少种方法从n种可能性中选出r种结果？这取决于顺序是否重要，以及数值是否会重复。

从 n种可能性中选出 r 种无序结果的方式称为组合，记为 C（n，r）。它也称为二项式系数。本计算器可帮助您从一组 n 个对象中选择 r 个对象的组合。

组合计算器的使用规则

对于给定的物体集合，有一定数量的方法可以按照某种顺序或规则来排列或选择其中的一部分或全部。本计算器计算的是在不考虑顺序的情况下，从一组 n 个对象中不重复地选择 r 个对象的方法数。计算器需要两个输入数据：

• n = 可供选择的不同对象的数量，以及
• r = 要填充的位置数量。

将数据输入组合计算器的一个基本标准是

$$n ≥ r ≥ 0$$

如果输入的数字 r 大于 n，系统将显示以下信息

"请输入 0 ≤ r ≤ n"。

组合计数的基本原理

组合计数的基本原理指导我们找到完成不同任务的方法。计数有两个基本原理。

加法原理

第一项任务可以用 m 种方法完成，第二项任务可以用 n 种方法完成。如果任务不能同时完成，则可能的方法数为（m + n）。

乘法原理

第一项任务可以用 m 种方法完成，第二项任务可以用 n 种方法完成。如果两项任务可以同时完成，那么就有 (m × n) 种完成方式。

示例

食堂出售 3 种馅饼和 4 种饮料。其中有苹果派、草莓派和蓝莓派。还有橙汁、葡萄汁、樱桃汁和菠萝汁。饮料和馅饼的售价都是 2 美元。当你身上只有2美元时，你只能选择其中一种馅饼或饮料。因此，你有 3 + 4 = 7 种选择方式。

假设你想计算掷硬币和掷骰子的次数。由于一枚硬币有两个面，因此掷硬币的方式有 2 种。同样，掷骰子也有 6 种可能的方法。由于您可以同时完成这两项任务，所以抛硬币和掷骰子的结果有 2 × 6 = 12 种

如果你想从一副 52 张牌中抽出 2 张牌而不放回，那么抽第一张牌的可能性有 52 种，抽第二张牌的可能性有 51 种。因此，抽两张牌的出现的可能性是 52 × 51 = 2,652 种。

样本空间

样本空间是所有可能结果的集合，用大写字母 s 表示。同时掷硬币和掷骰子的样本空间是

S = {{H,1}, {H,2}, {H,3}, {H,4}, {H,5}, {H,6}, {T,1}, {T,2}, {T,3}, {T,4}, {T,5}, {T,6}}

有12种可能性。通过计数原理，我们可以计算出实验可能性的数量，而不必一一列举。

组合

在不考虑顺序的情况下，从 n 种可能性中选出 r 种不重复结果的可能方式称为组合。对象的组合被写成 C (n, r)。它也称为二项式系数。组合公式定义为

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

数字或字母后面的符号 ! 表示我们正在使用某个数的阶乘。例如，n! 是数字 n 的阶乘--或者说是从 1 到 n 的自然数的乘积。数字 2 的阶乘是 1×2，数字 3 的阶乘是 1×2×3，数字 4 的阶乘是 1×2×3×4，数字 5 的阶乘是 1×2×3×4×5，以此类推。阶乘只能计算非负整数。

使用该公式计算组合的一个基本特征是不允许对象重复，并且不考虑排列顺序。

示例 1

假设你有一个包含四个数字的集合

{1, 2, 3, 4}

如果从中选取2个元素，且同一元素不能重复出现，我们可以有多少种组合方法？

如果元素顺序很重要，我们就会得到有顺序排列的组合：

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

如果顺序不重要，我们就会得到下列组合：

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

有 6 种可能的组合。您可以使用公式求出所有可能组合的个数。在本例中，$n=4$，$r=2$。因此

$$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4×3×2×1}{(2×1)(2×1)}=\frac{24}{4}=6$$

这正是组合计算器的计算结果。

示例 2

从字母 A、B、C 、D选取3个字母，共有多少种方式？当考虑顺序时，有 24 种可能的排列组合。在计数组合中，是不考虑顺序的。因此，只有第一行是相关的，即有 4 种可能的组合。

ABC	ABD	ACD	BCD
ACB	ADB	ADC	BDC
BAC	BAD	CAD	CBD
BCA	BDA	CDA	CDB
CAB	DAB	DAC	DBC
CBA	DBA	DCA	DCB

不必列举所有可能的排列方式，我们也可以使用上面的组合公式计算可能的排列方式的数量（其中顺序不重要）。在这里，有 n=4 个对象，每次选择 r=3 个。因此，

$$C\left(n,r\right)=C\left(4,4\right)=\frac{4!}{\left(4-3\right)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

排列

排列定义了当对象的顺序很重要时，组织对象的方法数。当从 n 个对象列表中选择 r 个对象时，排列组合公式如下：

$$P\left(n,r\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

使用这个公式计算排列的两个主要特征是，不允许重复，且考虑顺序。

示例

假设有 4 位候选人参加面试。遴选委员会需要对其进行排名，以下是可能的排名方式：

• 第 1 位候选人 - 有 4 种选择方式
• 第 2 位候选人 - 有 3 种选择方式
• 第 3 位候选人- 有 2 种选择方式
• 第 4 位候选人 - 只有一种方法可选

乘法原理给出了选择方法的总数，即 4 × 3 × 2 × 1 = 24，与 4！ 相同。假设候选人是

{A、B、C、D}

样本空间如下所示，显示了所有可能的排列组合：

A在第一位	B在第一位	C在第一位	D在第一位
ABCD	BACD	CABD	DABC
ABDC	BADC	CADB	DACB
ACBD	BCAD	CBAD	DBAC
ACDB	BCDA	CBDA	DBCA
ADBC	BDAC	CDAB	DCAB
ADCB	BDCA	CDBA	DCBA

不必像上面的表格列出所有可能的排列方式，我们还可以利用排列组合公式计算可能的排列方式的数量。在上面的例子中，有 n = 4 个对象，每次取 r = 4 个元素。因此

$$P\left(n,r\right)=P\left(4,4\right)=\frac{4!}{\left(4-4\right)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

组合与排列的区别

组合和排列的主要区别在于，组合中不考虑元素的顺序，而排列中考虑元素的顺序。