Kalkulator Kombinacji

W matematyce istnieją różne strategie ustalania liczby sposobów wybierania obiektów z danego zbioru. Na ile sposobów możemy wybrać r wyników z n możliwości? To zależy od tego, czy kolejność ma znaczenie, oraz czy wartości mogą się powtarzać czy nie.

Liczba sposobów wyboru r nieuporządkowanych wyników z n możliwości jest znana jako kombinacja i zapisywana jako C (n, r). Jest to również znane jako współczynnik dwumianowy. Ten kalkulator umożliwia obliczenie kombinacji r obiektów z zestawu n obiektów.

Zasady używania kalkulatora kombinacji

Dla danego zestawu obiektów istnieje pewna liczba sposobów ich układania lub wybierania niektórych lub wszystkich z nich według pewnego porządku lub specyfikacji. Kalkulator oblicza liczbę sposobów wyboru r obiektów z zestawu n obiektów bez powtórzeń i gdy kolejność nie ma znaczenia. Kalkulator wymaga dwóch danych wejściowych:

• n = liczba różnych obiektów do wyboru, oraz
• r = liczba pozycji do wypełnienia.

Podstawowym kryterium wprowadzania danych do kalkulatora kombinacji jest to, że

$$0 ≤ r ≤ n$$

Jeśli wpiszesz liczbę r większą niż n, zostanie wyświetlony komunikat

"Proszę wprowadzić 0 ≤ r ≤ n".

Podstawowa zasada liczenia

Podstawowa Zasada Liczenia prowadzi nas do znajdowania sposobów na wykonanie różnych zadań. Istnieją dwie podstawowe zasady liczenia.

Zasada sumy

Pierwsze zadanie można wykonać na m sposobów, a drugie zadanie na n sposobów. Jeśli zadań nie można wykonać jednocześnie, liczbę możliwych sposobów można policzyć jako (m + n).

Zasada iloczynu

Pierwsze zadanie można wykonać na m sposobów, a drugie zadanie na n sposobów. Jeśli oba zadania można wykonać jednocześnie, to istnieje (m × n) sposobów ich wykonania.

Przykłady

Kafeteria sprzedaje 3 rodzaje ciast i 4 rodzaje napojów. Wśród nich są ciasto jabłkowe, truskawkowe i jagodowe. Oraz soki pomarańczowy, winogronowy, wiśniowy i ananasowy. Zarówno napoje, jak i ciasta sprzedawane są po 2 dolary. Masz przy sobie tylko 2 dolary i ani centa więcej. Więc masz 3 + 4 = 7 możliwości dokonania jakiegoś konkretnego wyboru.

Załóżmy, że chcesz policzyć liczbę sposobów rzucania monetą i rzucania kością. Liczba sposobów, w jakie można rzucić monetą, to 2, ponieważ moneta ma 2 strony. Podobnie istnieje 6 możliwych sposobów rzucania kością. Ponieważ oba zadania można wykonać jednocześnie, wówczas jest 2 × 6 = 12 sposobów, w jakie można rzucić monetą i rzucić kością.

Jeśli chcesz wyciągnąć 2 karty z talii 52 kart bez ich zastępowania, to istnieje 52 sposoby, aby wyciągnąć pierwszą i 51 sposobów na wyciągnięcie drugiej. Dlatego liczba sposobów wyciągnięcia dw

óch kart to 52 × 51 = 2.652.

Przestrzenie próbek

Przestrzeń próbek to zestawienie wszystkich możliwych wyników i jest oznaczone dużą literą S. Przestrzeń próbek dla jednoczesnego rzucania monetą i rzucania kością to

S = {{H,1}, {H,2}, {H,3}, {H,4}, {H,5}, {H,6}, {T,1}, {T,2}, {T,3}, {T,4}, {T,5}, {T,6}}

Istnieje dwanaście możliwych sposobów. Zasady liczenia pozwalają nam ustalić liczbę sposobów eksperymentowania bez konieczności wypisywania ich wszystkich.

Kombinacja

Liczba możliwych sposobów wybierania r nienastępujących po sobie wyników z n możliwości, gdy kolejność nie ma znaczenia, jest znana jako kombinacja. Kombinacja obiektów jest zapisywana jako C(n, r). Jest to również znane jako współczynnik dwumianowy. Formuła kombinacji jest definiowana jako

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Znak ! po liczbie lub literze oznacza, że używamy silni z jakiejś liczby. Na przykład, n! to silnia liczby n - czyli iloczyn liczb naturalnych od 1 do n. Silnia liczby 2 to 1 × 2. Silnia liczby 3 to 1 × 2 × 3. Silnia liczby 4 to 1 × 2 × 3 × 4. Silnia liczby 5 to 1 × 2 × 3 × 4 × 5 i tak dalej. Silnię można obliczać tylko dla nieujemnych liczb całkowitych.

Istotną cechą obliczania kombinacji za pomocą tej formuły jest to, że nie jest dozwolone powtarzanie obiektów, a kolejność układania nie ma znaczenia.

Przykład 1

Załóżmy, że masz zbiór czterech liczb

{1, 2, 3, 4}

Na ile sposobów możemy połączyć dwa elementy z tego zestawu, jeśli ten sam element nie może się powtarzać w parze?

Jeśli kolejność elementów ma znaczenie, otrzymujemy grupy utworzone przez permutacje:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

Jeśli kolejność nie ma znaczenia - otrzymujemy grupy utworzone przez kombinacje:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

Jest 6 możliwych kombinacji. Możesz użyć wzoru, aby znaleźć liczbę wszystkich możliwych kombinacji. W tym przykładzie, $n=4$, $r=2$. Stąd

$$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 × 3 × 2 × 1}{(2× 1)(2× 1)}=\frac{24}{4}=6$$

To właśnie oblicza Kalkulator Kombinacji.

Przykład 2

Jakie są kombinacje liter A, B, C i D w grupie 3? Jest 24 możliwych permutacji, gdy kolejność jest ważna. W rachunku kombinatorycznym kolejność jest nieistotna. Dlatego ważny jest tylko pierwszy rząd, czyli istnieją 4 możliwe kombinacje.

ABC	ABD	ACD	BCD
ACB	ADB	ADC	BDC
BAC	BAD	CAD	CBD
BCA	BDA	CDA	CDB
CAB	DAB	DAC	DBC
CBA	DBA	DCA	DCB

Zamiast wymieniać wszystkie możliwe układy, możemy obliczyć liczbę możliwych układów (w których kolejność nie jest ważna) używając powyższej formuły kombinacji. Tutaj mamy n=4 obiekty i bierzemy r=3 na raz. Stąd

$$C\left(n,r\right)=C\left(4,3\right)=\frac{4!}{\left(4-3\right)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

Permutacja

Permutacja definiuje liczbę sposobów organizowania obiektów, gdy kolejność obiektów jest ważna. Formuła na permutację przy wyborze r obiektów z listy n obiektów jest następująca:

$$P\left(n,r\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Dwie główne cechy obliczania permutacji przy użyciu tej formuły to brak dozwolonego powtórzenia obiektu oraz istotność kolejności obiektów.

Przykład 3

Załóżmy, że na rozmowie kwalifikacyjnej jest 4 kandydatów. Zadaniem komisji selekcyjnej jest sklasyfikować kandydatów od 1 do 4. Oto możliwości:

• 1. kandydat - jest 4 sposoby wyboru
• 2. kandydat - jest 3 sposoby wyboru
• 3. kandydat - są 2 sposoby wyboru
• 4. kandydat - jest tylko jeden sposób wyboru

Reguła mnożenia daje łączną liczbę sposobów wyboru, czyli 4 × 3 × 2 × 1 = 24, co jest tożsame z 4!. Powiedzmy, że kandydaci to:

{A, B, C, D}

Przestrzeń próbkowania problemu, pokazująca wszystkie możliwe permutacje, jest pokazana poniżej:

A na 1. miejscu	B na 1. miejscu	C na 1. miejscu	D na 1. miejscu
ABCD	BACD	CABD	DABC
ABDC	BADC	CADB	DACB
ACBD	BCAD	CBAD	DBAC
ACDB	BCDA	CBDA	DBCA
ADBC	BDAC	CDAB	DCAB
ADCB	BDCA	CDBA	DCBA

Zamiast wymieniać wszystkie możliwe układy, jak pokazano w tabeli powyżej, możemy obliczyć liczbę możliwych układów przy użyciu formuły permutacji. Dla powyższego przykładu mamy n = 4 obiekty, i bierzemy r = 4 elementy na raz. Stąd,

$$P\left(n,r\right)=P\left(4,4\right)=\frac{4!}{\left(4-4\right)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

Różnica między kombinacjami a permutacjami

Główna różnica między kombinacjami a permutacjami polega na tym, że w kombinacjach kolejność elementów nie jest ważna, podczas gdy w permutacjach kolejność elementów jest ważna.