ماشین حساب ترکیبات

در ریاضیات روش‌های مختلفی برای تعیین تعداد راه‌های انتخاب اشیاء از یک مجموعه داده شده وجود دارد. به چند روش می‌توانیم r نتیجه را از n امکان انتخاب کنیم؟ این بستگی به این دارد که آیا ترتیب اهمیت دارد یا خیر و آیا مقادیر می‌توانند تکرار شوند یا خیر.

تعداد راه‌های انتخاب r نتیجه بدون ترتیب از n امکان، به عنوان ترکیب شناخته می‌شود و به صورت C(n, r) نوشته می‌شود. این همچنین به عنوان ضریب دوجمله‌ای شناخته می‌شود. این ماشین حساب به شما امکان می‌دهد ترکیب r شیء از مجموعه‌ای از n شیء را محاسبه کنید.

قوانین استفاده از ماشین حساب ترکیبات

برای یک مجموعه داده شده از اشیاء، تعداد معینی راه برای چیدمان یا انتخاب برخی یا همه آنها بر اساس برخی از ترتیبات یا مشخصات وجود دارد. این ماشین حساب تعداد راه‌های انتخاب r شیء از مجموعه‌ای از n شیء بدون تکرار و زمانی که ترتیب اهمیت ندارد را محاسبه می‌کند. ماشین حساب دو ورودی نیاز دارد:

• n = تعداد اشیاء متمایز برای انتخاب از آنها، و
• r = تعداد موقعیت‌ها برای پر کردن.

یک معیار ضروری برای وارد کردن داده‌ها به ماشین حساب ترکیبات این است که

$$0 ≤ r ≤ n$$

اگر عددی r را وارد کنید که بزرگتر از n باشد، پیامی نمایش داده می‌شود

"لطفاً 0 ≤ r ≤ n وارد کنید".

اصل بنیادی شمارش

اصل بنیادی شمارش به ما راهنمایی می‌کند در یافتن روش‌هایی برای انجام کارهای مختلف. دو قانون بنیادی شمارش وجود دارد.

قانون جمع

کار اول می‌تواند به m روش و کار دوم می‌تواند به n روش انجام شود. اگر کارها نتوانند به طور همزمان انجام شوند، تعداد روش‌های ممکن را می‌توان به صورت (m + n) شمرد.

قانون ضرب

کار اول می‌تواند به m روش و کار دوم می‌تواند به n روش انجام شود. اگر هر دو کار بتوانند به طور همزمان انجام شوند، پس (m × n) روش برای انجام آنها وجود دارد.

مثال‌ها

کافه‌تریا 3 نوع پای و 4 نوع نوشیدنی می‌فروشد. در میان آنها پای سیب، پای توت‌فرنگی و پای بلوبری وجود دارد. و همچنین آب پرتقال، آب انگور، آب گیلاس و آب آناناس. هر دو نوشیدنی و پای به قیمت 2 دلار فروخته می‌شوند. شما فقط 2 دلار همراه خود دارید و حتی یک سنت بیشتر ندارید. پس شما 3 + 4 = 7 فرصت برای انتخاب خاصی دارید.

فرض کنید می‌خواهید تعداد راه‌های پرتاب سکه و پرتاب تاس را بشمارید. تعداد راه‌هایی که می‌توانید یک سکه را پرتاب کنید 2 است چرا که یک سکه 2 وجه دارد. به همین ترتیب، 6 روش ممکن برای پرتاب تاس وجود دارد. از آنجا که می‌توانید هر دو کار را به طور همزمان انجام دهید، پس 2 × 6 = 12 روش برای پرتاب سکه و پرتاب تاس وجود دارد.

اگر بخواهید 2 کارت را از یک بسته 52 کارتی بدون جایگزین کردن بکشید، پس 52 روش برای کشیدن اولین و 51 روش برای کشیدن دومین وجود دارد. بنابراین، تعداد روش‌های کشیدن دو کارت 52 × 51 = 2,652 است.

فضاهای نمونه

فضای نمونه لیستی از تمام نتایج ممکن است و با حرف بزرگ S نشان داده می‌شود. فضای نمونه برای پرتاب سکه و پرتاب تاس به طور همزمان عبارت است از

S = {{H,1}, {H,2}, {H,3}, {H,4}, {H,5}, {H,6}, {T,1}, {T,2}, {T,3}, {T,4}, {T,5}, {T,6}}

دوازده روش ممکن وجود دارد. اصول شمارش به ما امکان می‌دهد تعداد راه‌های انجام آزمایش را بدون نیاز به فهرست کردن همه آنها، مشخص کنیم.

ترکیب

تعداد روش‌های ممکن برای انتخاب r نتیجه غیرتکراری از n امکان، زمانی که ترتیب اهمیت ندارد، به عنوان ترکیب شناخته می‌شود. ترکیب اشیاء به صورت C(n, r) نوشته می‌شود. این همچنین به عنوان ضریب دوجمله‌ای شناخته می‌شود. فرمول ترکیب به صورت زیر تعریف می‌شود:

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

علامت ! پس از یک عدد یا حرف به این معنا است که ما از فاکتوریل یک عدد استفاده می‌کنیم. به عنوان مثال، n! فاکتوریل عدد n است - یا حاصلضرب اعداد طبیعی از 1 تا n. فاکتوریل عدد 2 برابر است با 1 × 2. فاکتوریل عدد 3 برابر است با 1 × 2 × 3. فاکتوریل عدد 4 برابر است با 1 × 2 × 3 × 4. فاکتوریل عدد 5 برابر است با 1 × 2 × 3 × 4 × 5 و به همین ترتیب. فاکتوریل تنها برای اعداد صحیح غیرمنفی قابل محاسبه است.

یک ویژگی اساسی برای محاسبه ترکیب با استفاده از این فرمول این است که تکرار اشیاء مجاز نیست، و ترتیب چیدمان اهمیت ندارد.

مثال 1

فرض کنید مجموعه‌ای از چهار عدد دارید

{1, 2, 3, 4}

به چند روش می‌توان دو عنصر از این مجموعه را ترکیب کرد، اگر همان عنصر نتواند در یک جفت تکرار شود؟

اگر ترتیب عناصر اهمیت داشته باشد، ما گروه‌هایی که توسط جایگشت‌ها تشکیل شده‌اند دریافت می‌کنیم:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

اگر ترتیب اهمیت نداشته باشد - ما گروه‌هایی که توسط ترکیبات تشکیل شده‌اند دریافت می‌کنیم:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

6 ترکیب ممکن وجود دارد. شما می‌توانید از فرمول برای یافتن تعداد همه ترکیبات ممکن استفاده کنید. برای این مثال، $n=4$، $r=2$ است. بنابراین،

$$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 × 3 × 2 × 1}{(2× 1)(2× 1)}=\frac{24}{4}=6$$

این دقیقاً همان چیزی است که ماشین حساب ترکیبات محاسبه می‌کند.

مثال 2

ترکیبات حروف A، B، C، و D در یک گروه از 3 چیست؟ وقتی ترتیب مهم است، 24 جایگشت ممکن وجود دارد. در شمارش ترکیبی، ترتیب اهمیت ندارد. بنابراین، تنها ردیف اول مرتبط است، یعنی، 4 ترکیب ممکن وجود دارد.

ABC	ABD	ACD	BCD
ACB	ADB	ADC	BDC
BAC	BAD	CAD	CBD
BCA	BDA	CDA	CDB
CAB	DAB	DAC	DBC
CBA	DBA	DCA	DCB

به جای فهرست کردن تمام چینش‌های ممکن، می‌توانیم تعداد چینش‌های ممکن (که در آن ترتیب اهمیت ندارد) را با استفاده از فرمول ترکیب فوق محاسبه کنیم. در اینجا، n=4 شیء وجود دارد، و شما در یک زمان r=3 را برمی‌دارید. بنابراین،

$$C\left(n,r\right)=C\left(4,3\right)=\frac{4!}{\left(4-3\right)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

جایگشت

جایگشت تعداد راه‌ها برای سازماندهی اشیاء را تعریف می‌کند زمانی که ترتیب اشیاء مهم است. فرمول جایگشت هنگام انتخاب r شیء از لیستی از n شیء به شرح زیر است:

$$P\left(n,r\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

دو ویژگی اصلی محاسبه جایگشت‌ها با استفاده از این فرمول این است که تکرار شیء مجاز نیست و ترتیب اشیاء اهمیت دارد.

مثال 3

فرض کنید 4 نامزد در یک مصاحبه شغلی وجود دارند. وظیفه کمیته انتخاب، رتبه‌بندی نامزدها از 1 تا 4 است. این احتمالات به شرح زیر است:

• نامزد اول - 4 روش برای انتخاب وجود دارد
• نامزد دوم - 3 روش برای انتخاب وجود دارد
• نامزد سوم - 2 روش برای انتخاب وجود دارد
• نامزد چهارم - فقط یک روش برای انتخاب وجود دارد

قانون ضرب تعداد کل روش‌ها برای انتخاب را می‌دهد، یعنی 4 × 3 × 2 × 1 = 24 که همان 4! است. فرض کنید نامزدها

{A, B, C, D}

فضای نمونه مسئله، نشان‌دهنده تمام جایگشت‌های ممکن، در زیر نشان داده شده است:

A در جای اول	B در جای اول	C در جای اول	D در جای اول
ABCD	BACD	CABD	DABC
ABDC	BADC	CADB	DACB
ACBD	BCAD	CBAD	DBAC
ACDB	BCDA	CBDA	DBCA
ADBC	BDAC	CDAB	DCAB
ADCB	BDCA	CDBA	DCBA

به جای فهرست کردن تمام چینش‌های ممکن همانطور که در جدول بالا نشان داده شده است، می‌توانیم تعداد چینش‌های ممکن را با استفاده از فرمول جایگشت محاسبه کنیم. برای مثال بالا، n = 4 شیء وجود دارد، و شما r = 4 عنصر را در یک زمان می‌برید. بنابراین،

$$P\left(n,r\right)=P\left(4,4\right)=\frac{4!}{\left(4-4\right)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

تفاوت بین ترکیبات و جایگشت‌ها

تفاوت اصلی بین ترکیبات و جایگشت‌ها این است که در ترکیبات ترتیب عناصر اهمیت ندارد، در حالی که در جایگشت‌ها ترتیب عناصر مهم است.