Kalkulator Kombinasi

Dalam ilmu matematika, terdapat berbagai metode untuk menentukan jumlah kemungkinan cara memilih objek dari sebuah himpunan data. Dalam berapa cara kita dapat memilih r hasil dari n probabilitas? Jawabannya sangat bergantung pada apakah urutan pemilihan tersebut penting atau tidak, serta apakah nilainya boleh berulang atau tidak.

Banyaknya cara untuk memilih r hasil tanpa memperhatikan urutan dari n kemungkinan dikenal sebagai kombinasi dan disimbolkan dengan C(n, r). Istilah ini juga sering disebut sebagai koefisien binomial. Kalkulator kombinasi ini dirancang khusus untuk memudahkan Anda menghitung kombinasi r objek dari sekumpulan n objek secara cepat dan akurat.

Cara Menggunakan Kalkulator Kombinasi

Dalam sebuah himpunan objek, terdapat sejumlah cara untuk mengurutkan atau memilih sebagian maupun seluruh objek berdasarkan aturan atau spesifikasi tertentu. Kalkulator ini berfungsi untuk menghitung banyaknya kemungkinan cara memilih r objek dari sekumpulan n objek tanpa pengulangan, di mana urutannya tidak dihiraukan (tidak penting). Kalkulator ini membutuhkan dua input nilai:

• n = jumlah total objek berbeda yang tersedia untuk dipilih, dan
• r = jumlah posisi atau objek yang akan dipilih.

Syarat mutlak untuk memasukkan data ke dalam kalkulator kombinasi ini adalah:

$$0 ≤ r ≤ n$$

Jika Anda memasukkan nilai r yang lebih besar dari n, kalkulator akan menampilkan pesan kesalahan:

"Harap masukkan 0 ≤ r ≤ n".

Kaidah Dasar Pencacahan

Kaidah Dasar Pencacahan (Prinsip Dasar Berhitung) memandu kita untuk menemukan berbagai cara dalam menyelesaikan tugas yang berbeda. Terdapat dua aturan dasar dalam pencacahan matematika.

Aturan Penjumlahan

Jika sebuah tugas pertama dapat dilakukan dengan m cara, dan tugas kedua dapat dilakukan dengan n cara, serta kedua tugas tersebut tidak dapat dilakukan secara bersamaan, maka total kemungkinan cara penyelesaiannya adalah (m + n).

Aturan Perkalian

Jika sebuah tugas pertama dapat dilakukan dengan m cara dan tugas kedua dapat dilakukan dengan n cara, serta kedua tugas ini dapat dilakukan secara berurutan atau bersamaan, maka total kemungkinan cara penyelesaiannya adalah (m × n).

Contoh

Sebuah kafetaria menjual 3 jenis pai dan 4 jenis minuman. Pilihan pai terdiri dari pai apel, stroberi, dan bluberi. Sementara pilihan minuman meliputi jus jeruk, anggur, ceri, dan nanas. Baik minuman maupun pai masing-masing dijual seharga $2. Jika Anda hanya memiliki uang pas sebesar $2, Anda hanya bisa memilih salah satu (pai atau minuman). Menggunakan Aturan Penjumlahan, Anda memiliki 3 + 4 = 7 peluang untuk membuat pilihan.

Sebagai contoh lain, misalkan Anda ingin menghitung banyaknya cara untuk melempar sekeping koin dan sebuah dadu. Banyaknya kemungkinan hasil dari lemparan koin adalah 2 karena koin memiliki 2 sisi. Begitu pula, ada 6 kemungkinan hasil dari lemparan dadu. Karena Anda melakukan kedua tugas tersebut secara bersamaan, maka terdapat 2 × 6 = 12 kemungkinan hasil kombinasi dari lemparan koin dan dadu.

Jika Anda ingin mengambil 2 kartu dari tumpukan 52 kartu remi tanpa mengembalikannya (tanpa pengulangan), maka ada 52 kemungkinan cara untuk mengambil kartu pertama dan 51 cara untuk mengambil kartu kedua. Oleh karena itu, banyaknya kemungkinan cara pengambilan dua kartu tersebut adalah 52 × 51 = 2.652.

Ruang Sampel

Ruang sampel adalah himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak dan dilambangkan dengan huruf besar S. Ruang sampel dari pelemparan sekeping koin dan sebuah dadu secara bersamaan adalah:

S = {{H,1}, {H,2}, {H,3}, {H,4}, {H,5}, {H,6}, {T,1}, {T,2}, {T,3}, {T,4}, {T,5}, {T,6}}

Terdapat dua belas kemungkinan hasil secara total. Kaidah dasar pencacahan memungkinkan kita untuk mengetahui jumlah kemungkinan hasil dari sebuah eksperimen tanpa harus mendaftar semuanya satu per satu.

Kombinasi

Banyaknya kemungkinan cara untuk mengambil r hasil yang tidak berulang dari n kemungkinan, di mana urutan pengambilannya tidak relevan (tidak penting), disebut sebagai kombinasi. Kombinasi objek dituliskan sebagai C(n, r) dan dikenal juga sebagai koefisien binomial. Rumus kombinasi secara matematis didefinisikan sebagai:

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Tanda ! setelah angka atau variabel huruf menunjukkan operasi faktorial. Misalnya, n! adalah faktorial dari nilai n — yang berarti hasil perkalian semua bilangan asli dari 1 hingga n. Faktorial dari angka 2 adalah 1 × 2. Faktorial angka 3 adalah 1 × 2 × 3. Faktorial angka 4 adalah 1 × 2 × 3 × 4. Faktorial angka 5 adalah 1 × 2 × 3 × 4 × 5, dan seterusnya. Nilai faktorial hanya dapat dihitung untuk bilangan bulat non-negatif.

Ciri utama dari perhitungan kombinasi menggunakan rumus ini adalah pengulangan objek tidak diperbolehkan, dan urutan susunannya sama sekali tidak diperhitungkan.

Contoh 1

Misalkan Anda memiliki sebuah himpunan yang terdiri dari empat angka:

{1, 2, 3, 4}

Ada berapa cara kita bisa menggabungkan dua elemen dari himpunan ini jika elemen yang sama tidak boleh diulang?

Jika urutan elemen diperhitungkan, kita akan mendapatkan kelompok himpunan yang dibentuk oleh konsep permutasi:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

Namun, jika urutannya tidak penting — kita mendapatkan kelompok himpunan yang dibentuk oleh konsep kombinasi:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

Terdapat 6 kemungkinan kombinasi yang valid. Anda dapat menggunakan rumus matematika untuk menemukan total kemungkinan kombinasi ini. Pada contoh ini, nilai $n=4$, dan $r=2$. Oleh karena itu:

$$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 × 3 × 2 × 1}{(2× 1)(2× 1)}=\frac{24}{4}=6$$

Inilah nilai akurat yang dihitung secara otomatis oleh Kalkulator Kombinasi.

Contoh 2

Berapa banyak kombinasi dari susunan huruf A, B, C, dan D dalam kelompok yang terdiri dari 3 huruf? Terdapat 24 kemungkinan jika dihitung dengan permutasi (urutan diperhitungkan). Namun dalam perhitungan kombinatorial (kombinasi), urutan tidaklah relevan. Oleh karena itu, hanya kelompok baris pertama pada tabel di bawah ini yang dianggap berbeda, yang berarti hanya ada 4 kemungkinan kombinasi.

Daripada menyusun tabel daftar kemungkinan secara manual seperti di atas, kita bisa langsung menghitung jumlah susunannya (yang urutannya tidak penting) dengan menggunakan rumus kombinasi. Di sini, terdapat objek n=4, dan Anda memilih objek r=3 di setiap kesempatan. Oleh karena itu:

$$C\left(n,r\right)=C\left(4,3\right)=\frac{4!}{\left(4-3\right)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

Permutasi

Permutasi mendefinisikan jumlah kemungkinan cara untuk menyusun objek ketika urutan objek tersebut sangat penting. Rumus permutasi saat memilih r objek dari total n objek adalah sebagai berikut:

$$P\left(n,r\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Dua karakteristik utama dalam perhitungan permutasi menggunakan rumus ini adalah pengulangan objek tidak diizinkan, dan urutan susunan objeknya mutlak diperhitungkan.

Contoh 3

Misalnya ada 4 pelamar dalam sebuah wawancara kerja. Tugas panitia seleksi adalah mengurutkan pelamar untuk menempati peringkat 1 hingga 4. Berikut adalah struktur kemungkinannya:

• Posisi ke-1: ada 4 pilihan pelamar
• Posisi ke-2: ada 3 pilihan pelamar tersisa
• Posisi ke-3: ada 2 pilihan pelamar tersisa
• Posisi ke-4: hanya ada 1 pilihan pelamar tersisa

Berdasarkan Aturan Perkalian, total cara penyusunan peringkat pelamar adalah 4 × 3 × 2 × 1 = 24, yang nilainya sama dengan 4!. Misalkan keempat pelamar tersebut adalah:

{A, B, C, D}

Ruang sampel dari masalah ini, yang menunjukkan semua kemungkinan permutasi pemeringkatan, dijabarkan pada tabel di bawah ini:

Sama seperti kombinasi, alih-alih mendaftar semua kemungkinan posisi secara manual, kita bisa menghitung total susunannya menggunakan rumus permutasi. Untuk kasus di atas, terdapat n = 4 objek pelamar, dan Anda mengambil r = 4 elemen secara bersamaan. Oleh karena itu:

$$P\left(n,r\right)=P\left(4,4\right)=\frac{4!}{\left(4-4\right)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

Perbedaan Kombinasi dan Permutasi

Perbedaan mendasar antara kombinasi dan permutasi terletak pada konsep pengurutan. Dalam kombinasi, urutan susunan elemen tidak penting (misalnya, susunan AB dianggap sama dengan BA). Sebaliknya, dalam permutasi, urutan susunan elemen sangat penting (susunan AB dihitung berbeda dengan BA).