Kalkulator Kombinasi

Ada cara yang berbeda untuk menentukan jumlah cara untuk memilih objek dari serangkaian data matematika. Dalam berapa cara kita dapat memilih r hasil dari n probabilitas? Ini tergantung pada apakah urutan itu penting atau tidak dan dapatkah nilainya berulang atau tidak.

Banyaknya cara memilih r hasil tak berurutan dari n kemungkinan dikenal sebagai kombinasi dan ditulis sebagai C (n, r). Ini dikenal juga sebagai koefisien binomial. Kalkulator ini memungkinkan Anda menghitung kombinasi objek r dari sekumpulan objek n.

Aturan untuk menggunakan kalkulator kombinasi

Untuk sekumpulan objek tertentu, ada sejumlah cara tertentu untuk mengurutkan atau memilih beberapa atau semuanya berdasarkan urutan atau spesifikasi. Kalkulator ini menghitung banyaknya cara memilih objek r dari sekumpulan objek n tanpa pengulangan dan ketika urutannya tidak penting. Kalkulator ini membutuhkan dua input:

• n = jumlah objek berbeda untuk dipilih, dan
• r = jumlah posisi yang harus diisi.

Kriteria penting untuk memasukkan data ke dalam kalkulator kombinasi adalah bahwa:

$$0 ≤ r ≤ n$$

Jika Anda memasukkan angka r yang lebih besar dari n, kalkulator akan mencetak pesan

"Harap masukkan 0 ≤ r ≤ n".

Prinsip dasar penghitungan

Prinsip Dasar Penghitungan memandu kita menemukan cara untuk menyelesaikan tugas yang berbeda. Ada dua aturan dasar penghitungan.

Aturan penjumlahan

Tugas pertama dapat dilakukan dengan m cara, dan tugas kedua dapat dilakukan dengan n cara. Jika tugas-tugas tersebut tidak dapat dilakukan secara bersamaan, banyaknya kemungkinan cara bisa dihitung sebagai (m + n).

Aturan perkalian

Tugas pertama dapat dilakukan dengan m cara dan tugas kedua dapat dilakukan dengan n cara. Jika kedua tugas dapat dilakukan secara bersamaan, maka ada (m × n) cara untuk melakukannya.

Contoh

Ada kafetaria menjual 3 jenis pie dan 4 jenis minuman. Di antaranya adalah pie apel, pie stoberi, dan pie bluberi. Dan jus jeruk, anggur, ceri, dan nanas. Baik minuman maupun pie dijual seharga $2. Anda hanya punya $2 dan lebih dari itu. Jadi Anda punya 3 + 4 = 7 peluang untuk membuat beberapa pilihan.

Misalkan Anda ingin menghitung banyak cara untuk melempar koin dan melempar dadu. Banyaknya cara melempar sebuah koin adalah 2 karena koin punya 2 wajah. Begitu pula, ada 6 kemungkinan cara Anda dapat melempar dadu. Karena Anda bisa melakukan kedua tugas itu secara bersamaan, maka ada 2 × 6 = 12 cara Anda dapat melempar koin dan melempar dadu.

Jika Anda ingin mengambil 2 kartu dari tumpukan 52 kartu tanpa menggantinya, maka ada 52 cara untuk mengambil yang pertama dan 51 cara untuk mengambil yang kedua. Oleh sebab itu, banyaknya cara pengambilan dua kartu adalah 52 × 51 = 2.652.

Ruang Sampel

Ruang sampel adalah himpunan semua kemungkinan hasil dan dilambangkan dengan huruf besar S. Ruang sampel pelemparan sebuah koin dan pelemparan sebuah dadu secara bersamaan adalah

S = {{H,1}, {H,2}, {H,3}, {H,4}, {H,5}, {H,6}, {T,1}, {T,2}, {T,3}, {T,4}, {T,5}, {T,6}}

Ada dua belas kemungkinan cara. Prinsip penghitungan memungkinkan kita mengetahui jumlah cara bereksperimen tanpa harus membuat semua daftarnya.

Kombinasi

Banyaknya kemungkinan cara untuk mengambil r hasil yang tidak berulang dari n kemungkinan ketika urutannya tidak relevan, disebut kombinasi. Kombinasi objek ditulis sebagai C (n, r). Ini dikenal juga sebagai koefisien binomial. Rumus kombinasi didefinisikan sebagai

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Tanda ! setelah angka atau huruf berarti kita menggunakan faktorial dari beberapa bilangan. Misalnya, n! adalah faktorial dari angka n - atau hasil kali bilangan asli dari 1 sampai n. Faktorial dari bilangan 2 adalah 1 × 2. Faktorial bilangan 3 adalah 1 × 2 × 3. Faktorial bilangan 4 adalah 1 × 2 × 3 × 4. Faktorial bilangan 5 adalah 1 × 2 × 3 × 4 × 5 dan seterusnya. Faktorial hanya dapat dihitung untuk bilangan bulat non-negatif.

Karakteristik penting menghitung kombinasi menggunakan rumus ini adalah bahwa pengulangan objek tidak diperbolehkan, dan urutan pengaturannya tidak menjadi masalah.

Contoh 1

Misalkan Anda punya satu set yang terdiri empat angka

{1, 2, 3, 4}

Dalam berapa cara kita bisa menggabungkan dua elemen dari himpunan ini jika elemen yang sama tidak dapat diulang secara berpasangan?

Jika urutan elemen berpengaruh, kita mendapatkan kelompok yang dibentuk oleh permutasi:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

Jika urutannya tidak penting - kita mendapatkan kelompok yang dibentuk oleh kombinasi:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

Ada 6 kemungkinan kombinasi. Anda bisa menggunakan rumusnya untuk menemukan jumlah semua kemungkinan kombinasi. Untuk contoh ini, $n=4$, $r=2$. Oleh sebab itu,

$$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 × 3 × 2 × 1}{(2× 1)(2× 1)}=\frac{24}{4}=6$$

Inilah yang dihitung Kalkulator Kombinasi.

Contoh 2

Apa kombinasi huruf A, B, C, dan D dalam kelompok berisi 3? Ada 24 kemungkinan permutasi jika urutannya penting. Dalam penghitungan kombinatorial, urutannya tidak relevan. Oleh sebab itu, hanya baris pertama yang relevan, yaitu ada 4 kemungkinan kombinasi.

ABC	ABD	ACD	BCD
ACB	ADB	ADC	BDC
BAC	BAD	CAD	CBD
BCA	BDA	CDA	CDB
CAB	DAB	DAC	DBC
CBA	DBA	DCA	DCB

Daripada membuat daftar semua kemungkinan susunan, kita bisa menghitung banyaknya kemungkinan susunan (yang urutannya tidak penting) dengan menggunakan rumus kombinasi di atas. Di sini, ada n=4 objek, dan Anda mengambil r=3 setiap kali. Oleh sebab itu,

$$C\left(n,r\right)=C\left(4,3\right)=\frac{4!}{\left(4-3\right)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

Permutasi

Permutasi mendefinisikan jumlah cara untuk menyusun objek ketika urutan objeknya penting. Rumus untuk permutasi saat memilih r objek dari daftar n objek adalah sebagai berikut:

$$P\left(n,r\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Dua karakteristik utama menghitung permutasi menggunakan rumus ini adalah bahwa pengulangan objek tidak diizinkan, dan urutan objeknya penting.

Contoh 3

Misalnya ada 4 pelamar dalam sebuah wawancara kerja. Tugas panitia seleksi adalah mengurutkan pelamar dari 1 hingga 4. Berikut adalah kemungkinannya:

• Pelamar 1 - ada 4 cara memilih
• Pelamar ke-2 - ada 3 cara memilih
• Pelamar ke-3 - ada 2 cara memilih
• Pelamar ke-4 - hanya ada 1 cara memilih

Aturan perkalian memberikan jumlah total cara memilih, yaitu 4 × 3 × 2 × 1 = 24 yang sama dengan 4!. Misalkan pelamarnya adalah

{A, B, C, D}

Ruang sampel dari masalahnya, yang menunjukkan semua kemungkinan permutasi, ditunjukkan di bawah ini:

A di posisi 1	B di posisi 1	C di posisi 1	D di posisi 1
ABCD	BACD	CABD	DABC
ABDC	BADC	CADB	DACB
ACBD	BCAD	CBAD	DBAC
ACDB	BCDA	CBDA	DBCA
ADBC	BDAC	CDAB	DCAB
ADCB	BDCA	CDBA	DCBA

Daripada membuat daftar semua kemungkinan pengurutan seperti yang ditunjukkan pada tabel di atas, kita bisa menghitung jumlah kemungkinan pengurutan dengan rumus permutasi. Untuk contoh di atas, ada n = 4 objek, dan Anda mengambil r = 4 elemen setiap kali. Oleh sebab itu,

$$P\left(n,r\right)=P\left(4,4\right)=\frac{4!}{\left(4-4\right)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

Perbedaan Kombinasi dan Permutasi

Perbedaan utama antara kombinasi dan permutasi adalah dalam kombinasi urutan elemen tidak penting, sedangkan dalam permutasi urutan elemen penting.