कॉम्बिनेशन कैलकुलेटर

गणित में, किसी दिए गए सेट से वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या निर्धारित करने के लिए विभिन्न रणनीतियाँ हैं। n संभावनाओं से हम कितने अलग-अलग तरीकों से r परिणाम चुन सकते हैं? यह इस बात पर निर्भर करता है कि क्या आदेश महत्वपूर्ण है और क्या मूल्यों को दोहराया जा सकता है।

एक कॉम्बिनेशन n संभावनाओं से r अनियंत्रित परिणामों को चुनने के तरीकों की संख्या है, और इसे C. (n, r) के रूप में लिखा जाता है। इसे द्विपद गुणांक भी कहते हैं। आप इस कैलकुलेटर का उपयोग n ऑब्जेक्ट्स के सेट से r ऑब्जेक्ट्स के कॉम्बिनेशन की गणना करने के लिए कर सकते हैं।

कॉम्बिनेशन कैलकुलेटर का उपयोग करने के नियम

किसी आदेश या विनिर्देश के अनुसार किसी दिए गए सेट में कुछ या सभी वस्तुओं को व्यवस्थित करने या चुनने के सीमित तरीके हैं। कैलकुलेटर n ऑब्जेक्ट्स के एक सेट से r ऑब्जेक्ट्स को बिना दोहराव के और ऑर्डर की परवाह किए बिना चुनने के तरीकों की संख्या की गणना करता है। कैलकुलेटर द्वारा दो इनपुट की आवश्यकता होती है:

• n = चुनने के लिए अलग-अलग वस्तुओं की संख्या, और
• r = भरने के लिए पदों की संख्या।

कॉम्बिनेशन कैलकुलेटर में डेटा दर्ज करने के लिए एक अनिवार्य मानदंड यह है कि

$$0 ≤ r ≤ n$$

यदि आप एक नंबर r दर्ज करते हैं जो n से बड़ा है, तो यह एक संदेश प्रिंट करेगा

"कृपया 0 ≤ r ≤ n दर्ज करें"।

गणना का मूल सिद्धांत

मौलिक गणना सिद्धांत हमें विभिन्न कार्यों को पूरा करने के तरीके खोजने में मार्गदर्शन करता है। मतगणना के दो मूलभूत नियम हैं।

योग का नियम

पहला कार्य m तरीकों से किया जा सकता है, और दूसरा कार्य n तरीकों से किया जा सकता है। यदि कार्यों को एक साथ नहीं किया जा सकता है, तो संभावित तरीकों की संख्या (m + n) के रूप में गिना जा सकता है।

उत्पादों का नियम

पहला कार्य m तरीकों से किया जा सकता है और दूसरा कार्य n तरीकों से किया जा सकता है। यदि दोनों कार्य एक साथ किए जा सकते हैं, तो उन्हें करने के (m × n) तरीके हैं।

उदाहरण

कैफेटेरिया तीन प्रकार के पाई और चार प्रकार के पेय परोसता है। ऐप्पल पाई, स्ट्रॉबेरी पाई और ब्लूबेरी पाई उनमें से हैं। संतरे, अंगूर, चेरी और अनानास के रस भी शामिल हैं। पेय और पाई दोनों $ 2 प्रत्येक हैं। आपके पास केवल $ 2 हैं और कुछ नहीं। तो आपके पास एक विशिष्ट चुनाव करने के लिए 3 + 4 = 7 मौके हैं।

एक सिक्के को पलटने और पासे को रोल करने के तरीकों की संख्या गिनने पर विचार करें। क्योंकि एक सिक्के के दो पहलू होते हैं, इसे पलटने के दो तरीके हैं। इसी तरह, पासे को घुमाते समय छह संभावित परिणाम होते हैं। क्योंकि आप एक ही समय में दोनों कार्य कर सकते हैं, एक सिक्के को पलटने और पासा रोल करने के 2 6 = 12 तरीके हैं।

पहला पत्ता निकालने के 52 तरीके हैं और 52 ताश के पत्तों के डेक से दूसरे पत्ते को बदले बिना निकालने के 51 तरीके हैं। नतीजतन, दो कार्ड निकालने के तरीकों की कुल संख्या 52 x 51 = 2,652 है।

सैंपल स्थान

एक सैंपल स्पेस, जिसे बड़े अक्षर S द्वारा दर्शाया गया है, सभी संभावित परिणामों की एक सूची है। एक सिक्के को एक साथ उछालने और पासे को लुढ़कने के लिए सैंपल स्पेस है

S = {{H,1}, {H,2}, {H,3}, {H,4}, {H,5}, {H,6}, {T,1}, {T,2}, {T,3}, {T,4}, {T,5}, {T,6}}

बारह संभावित तरीके हैं। गिनती के सिद्धांत हमें उन सभी को सूचीबद्ध किए बिना संभावित प्रयोगों की संख्या की गणना करने की अनुमति देते हैं।

कॉम्बिनेशन

कॉम्बिनेशन n संभावनाओं से r गैर-दोहराए जाने वाले परिणामों को चुनने के संभावित तरीकों की संख्या को संदर्भित करता है जब आदेश अप्रासंगिक होता है। वस्तु कॉम्बिनेशन को सी (एन, आर) के रूप में दर्शाया गया है। इसे द्विपद गुणांक भी कहते हैं। कॉम्बिनेशन सूत्र इस प्रकार है:

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

संकेत ! किसी संख्या या अक्षर के बाद का अर्थ है कि हम किसी संख्या के भाज्य का उपयोग कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, एन! संख्या n का भाज्य है - या 1 से n तक प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल । संख्या 2 का भाज्य 1 × 2 है। संख्या 3 का भाज्य 1 × 2 × 3 है। संख्या 4 का भाज्य 1 × 2 × 3 × 4 है। संख्या 5 का भाज्य 1 × 2 × 3 × 4 × है। 5 और इतने पर। फैक्टोरियल की गणना केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए की जा सकती है।

इस सूत्र का उपयोग करके कॉम्बिनेशन की गणना करने की एक अनिवार्य विशेषता यह है कि वस्तुओं की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है, और व्यवस्था का क्रम मायने नहीं रखता है।

उदाहरण 1

मान लीजिए आपके पास चार संख्याओं का एक समूह है

{1, 2, 3, 4}

इस समुच्चय से दो तत्वों को कितने तरीकों से जोड़ा जा सकता है यदि एक ही तत्व को एक जोड़े में दोहराया नहीं जा सकता है?

यदि तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण है, तो हमें परम्युटेशन मिलते हैं:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), ( 3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

यदि क्रम कोई मायने नहीं रखता है - हमें संयोजनों द्वारा गठित समूह मिलते हैं:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

6 संभावित कॉम्बिनेशन हैं। आप सभी संभावित संयोजनों की संख्या ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। इस उदाहरण के लिए, $n=4$, $r=2$। इसलिए,

$$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 × 3 × 2 × 1}{(2× 1)(2× 1)}=\frac{24}{4}=6$$

यह ठीक वही है जो कॉम्बिनेशन कैलकुलेटर गणना करता है।

उदाहरण 2

तीन के समूह में अक्षर कॉम्बिनेशन A, B, C और D क्या हैं? जब आदेश महत्वपूर्ण होता है, तो 24 संभावित परम्युटेशन होते हैं। कॉम्बीनेटरियल काउंटिंग में आदेश अप्रासंगिक है। नतीजतन, केवल पहली पंक्ति प्रासंगिक है, जिसका अर्थ है कि चार संभावित कॉम्बिनेशन हैं।

ABC	ABD	ACD	BCD
ACB	ADB	ADC	BDC
BAC	BAD	CAD	CBD
BCA	BDA	CDA	CDB
CAB	DAB	DAC	DBC
CBA	DBA	DCA	DCB

सभी संभावित व्यवस्थाओं को सूचीबद्ध करने के बजाय, हम संभावित व्यवस्थाओं की संख्या की गणना करने के लिए उपरोक्त कॉम्बिनेशन सूत्र का उपयोग कर सकते हैं (आदेश अप्रासंगिक है)। इस मामले में n=4 ऑब्जेक्ट हैं, और आप एक बार में r=3 ले रहे हैं। इसलिए,

$$C\left(n,r\right)=C\left(4,3\right)=\frac{4!}{\left(4-3\right)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

परम्युटेशन

जब वस्तुओं का क्रम महत्वपूर्ण होता है, परम्युटेशन उन्हें व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या को परिभाषित करता है। n ऑब्जेक्ट की सूची से r ऑब्जेक्ट का चयन करते समय, क्रमचय सूत्र इस प्रकार है:

$$P\left(n,r\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

परम्युटेशन की गणना के लिए इस सूत्र का उपयोग करने की दो मुख्य विशेषताएं हैं कि वस्तु पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है और वस्तुओं का क्रम महत्वपूर्ण है।

उदाहरण 3

मान लें कि नौकरी के इंटरव्यू के लिए चार उम्मीदवार हैं। चयन समिति का कार्य उम्मीदवारों को 1 से 4 तक रैंक करना है। यहां कुछ विकल्प दिए गए हैं:

• पहला उम्मीदवार - चुनने के 4 तरीके हैं
• दूसरा उम्मीदवार - चुनने के 3 तरीके हैं
• तीसरा उम्मीदवार - चुनने के 2 तरीके हैं
• चौथा उम्मीदवार - चुनने का केवल एक ही तरीका है

उत्पाद नियम चुनने के तरीकों की कुल संख्या देता है, अर्थात 4 × 3 × 2 × 1 = 24 जो कि 4! के समान है। कहते हैं उम्मीदवार हैं

{A, B, C, D}

समस्या का सैंपल स्थान, सभी संभावित परम्युटेशन दिखाते हुए, नीचे दिखाया गया है:

A पहले स्थान पर	B पहले स्थान पर	C पहले स्थान पर	D पहले स्थान पर
ABCD	BACD	CABD	DABC
ABDC	BADC	CADB	DACB
ACBD	BCAD	CBAD	DBAC
ACDB	BCDA	CBDA	DBCA
ADBC	BDAC	CDAB	DCAB
ADCB	BDCA	CDBA	DCBA

उपरोक्त तालिका में दिखाए गए सभी संभावित व्यवस्थाओं को सूचीबद्ध करने के बजाय, हम परम्युटेशन सूत्र का उपयोग करके संभावित व्यवस्थाओं की संख्या की गणना कर सकते हैं। उपरोक्त उदाहरण के लिए, n = 4 ऑब्जेक्ट हैं, और आप एक बार में r = 4 तत्व लेते हैं। इसलिए,

$$P\left(n,r\right)=P\left(4,4\right)=\frac{4!}{\left(4-4\right)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

कॉम्बिनेशन और परम्युटेशन के बीच का अंतर

कॉम्बिनेशन और परम्युटेशन के बीच मुख्य अंतर यह है कि संयोजनों में, तत्वों का क्रम अप्रासंगिक होता है, जबकि परम्युटेशन में, तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण होता है।