Calculatrice de combinaisons

Il existe différentes stratégies pour déterminer le nombre de façons de choisir des objets dans un ensemble donné en mathématiques. De combien de façons pouvons-nous choisir r résultats parmi n possibilités ? Cela dépend si l'ordre a de l'importance ou non et si les valeurs peuvent se répéter ou non.

Le nombre de façons de choisir r résultats non ordonnés à partir de n possibilités est connu sous le nom de combinaison et s'écrit C (n, r). On l'appelle également coefficient binomial. Cette calculatrice vous permet de calculer la combinaison de r objets à partir d'un ensemble de n objets.

Les règles d'utilisation de la calculatrice de combinaisons

Il existe un certain nombre de façons de disposer ou de sélectionner plusieurs objets ou tous les objets d'un ensemble donné dans un certain ordre ou selon une spécification. La calculatrice calcule le nombre de façons de sélectionner r objets à partir d'un ensemble de n objets sans répétition et lorsque l'ordre n'a pas d'importance. La calculatrice a besoin de deux saisies :

• n = nombre d'objets distincts parmi lesquels on choisit, et
• r = nombre de place à remplir.

Un critère essentiel pour entrer des données dans la calculatrice de combinaisons est que

$$0 ≤ r ≤ n$$

Si vous entrez un nombre r qui est supérieur à n, cela affichera un message

« Veuillez entrer 0 ≤ r ≤ n ».

Le principe fondamental du dénombrement

Le principe fondamental du dénombrement nous guide pour trouver des moyens d'accomplir différentes tâches. Il y a deux règles fondamentales de dénombrement.

La règle de la somme

La première tâche peut être effectuée de m façons et la seconde tâche peut être effectuée de n façons. Si les tâches ne peuvent pas être effectuées simultanément, on peut compter le nombre de façons possibles comme étant (m + n).

La règle des produits

La première tâche peut être effectuée de m façons et la seconde tâche peut être effectuée de n façons. Si les deux tâches peuvent être effectuées simultanément, il existe (m × n) façons de les effectuer.

Exemples

La cafétéria vend 3 sortes de tartes et 4 sortes de boissons. Il y a la tarte aux pommes, la tarte aux fraises et la tarte aux myrtilles. Et du jus d'orange, de raisin, de cerise et d'ananas. Les boissons et les tartes sont toutes les deux vendues à 2 $. Vous n'avez que 2 $ sur vous et pas un centime de plus. Vous avez donc 3 + 4 = 7 opportunités de faire un choix en particulier.

Supposons que vous souhaitiez compter le nombre de façons de lancer une pièce et un dé. Le nombre de façons dont vous pouvez lancer une pièce est 2 car une pièce a 2 faces. De même, il y a 6 façons possibles de lancer un dé. Comme vous pouvez faire les deux tâches simultanément, il y a donc 2 × 6 = 12 façons de lancer une pièce et un dé.

Si vous voulez tirer 2 cartes d'un jeu de 52 cartes sans les remplacer, alors il y a 52 façons de tirer la première carte et 51 façons de tirer la seconde. Par conséquent, le nombre de façons de tirer deux cartes est de 52 × 51 = 2.652.

Univers

Un univers est une liste de tous les résultats possibles et il est indiqué par la lettre majuscule S. L'univers lorsqu'on lance une pièce et un dé simultanément est

S = {{F,1}, {F,2}, {F,3}, {F,4}, {F,5}, {F,6}, {P,1}, {P,2}, {P,3}, {P,4}, {P,5}, {P,6}}

Il y a douze façons possibles. Les principes de dénombrement nous permettent de déterminer le nombre de façons de faire l'expérience sans avoir à toutes les énumérer.

Combinaison

Le nombre de façons possibles de choisir r résultats non répétitifs parmi n possibilités lorsque l'ordre n'est pas pertinent est connu sous le nom de combinaison. La combinaison d'objets s'écrit C (n, r). On l'appelle également coefficient binomial. La formule d'une combinaison est définie comme étant

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Le signe ! après un nombre ou une lettre signifie que nous utilisons la factorielle d'un certain nombre. Par exemple, n! est la factorielle du nombre n, ou le produit des nombres naturels de 1 à n. La factorielle du nombre 2 est 1 × 2. La factorielle du nombre 3 est 1 × 2 × 3. La factorielle du nombre 4 est 1 × 2 × 3 × 4. La factorielle du nombre 5 est 1 × 2 × 3 × 4 × 5 et ainsi de suite. La factorielle ne peut être calculée que pour des entiers non négatifs.

Un point essentiel lorsqu'on calcule la combinaison à l'aide de cette formule est que la répétition d'objets n'est pas autorisée et que l'ordre dans lequel ils sont disposés n'a pas d'importance.

Exemple 1

Supposons que vous ayez un ensemble de quatre nombres

{1, 2, 3, 4}

De combien de façons pouvons-nous combiner deux éléments de cet ensemble si un même élément ne peut pas être répété dans un couple ?

Si l'ordre des éléments est important, on obtient des groupes formés par des permutations :

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

Si l'ordre n'a pas d'importance, on obtient des groupes formés par des combinaisons :

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

Il y a 6 combinaisons possibles. Vous pouvez utiliser la formule pour trouver le nombre de toutes les combinaisons possibles. Pour cet exemple, $n=4$, $r=2$. Par conséquent,

$$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 × 3 × 2 × 1}{(2× 1)(2× 1)}=\frac{24}{4}=6$$

C'est exactement ce que calcule la calculatrice de combinaisons.

Exemple 2

Quelles sont les combinaisons des lettres A, B, C et D par groupe de 3 ? Il y a 24 permutations possibles lorsque l'ordre est important. En dénombrement combinatoire, l'ordre n'est pas pertinent. Par conséquent, seule la première ligne est pertinente, c'est-à-dire qu'il y a 4 combinaisons possibles.

ABC	ABD	ACD	BCD
ACB	ADB	ADC	BDC
BAC	BAD	CAD	CBD
BCA	BDA	CDA	CDB
CAB	DAB	DAC	DBC
CBA	DBA	DCA	DCB

Plutôt que d'énumérer tous les arrangements possibles, nous pouvons calculer le nombre d'arrangements possibles (dans lesquels l'ordre n'est pas important) en utilisant la formule des combinaisons ci-dessus. Ici, il y a n=4 objets, et vous en prenez r=3 à la fois. Par conséquent,

$$C\left(n,r\right)=C\left(4,3\right)=\frac{4!}{\left(4-3\right)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

Permutation

Une permutation définit le nombre de façons d'arranger des objets lorsque l'ordre des objets est important. La formule de la permutation lorsqu'on sélectionne r objets dans une liste de n objets est la suivante :

$$P\left(n,r\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Les deux principaux points lorsqu'on calcule des permutations à l'aide de cette formule sont que la répétition d'objets n'est pas autorisée et que l'ordre des objets est important.

Exemple 3

Supposons qu'il y ait 4 candidats à un entretien d'embauche. La tâche du comité de sélection est de classer les candidats de 1 à 4. Voici les possibilités :

• 1er candidat : il y a 4 façons de choisir ;
• 2ème candidat : il y a 3 façons de choisir ;
• 3ème candidat : il y a 2 façons de choisir ;
• 4ème candidat : il n'y a qu'une seule façon de choisir.

La règle du produit donne le nombre total de façons de choisir, soit 4 × 3 × 2 × 1 = 24, ce qui revient à 4!. Disons que les candidats sont

{A, B, C, D}

L'univers du problème, montrant toutes les permutations possibles, est illustré ci-dessous :

A à la 1ère place	B à la 1ère place	C à la 1ère place	D à la 1ère place
ABCD	BACD	CABD	DABC
ABDC	BADC	CADB	DACB
ACBD	BCAD	CBAD	DBAC
ACDB	BCDA	CBDA	DBCA
ADBC	BDAC	CDAB	DCAB
ADCB	BDCA	CDBA	DCBA

Plutôt que d'énumérer tous les arrangements possibles comme dans le tableau ci-dessus, nous pouvons calculer le nombre d'arrangements possibles en utilisant la formule des permutations. Pour l'exemple ci-dessus, il y a n = 4 objets et vous prenez r = 4 éléments à la fois. Par conséquent,

$$P\left(n,r\right)=P\left(4,4\right)=\frac{4!}{\left(4-4\right)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

La différence entre les combinaisons et les permutations

La principale différence entre les combinaisons et les permutations est que l'ordre des éléments n'est pas important dans les combinaisons tandis que dans les permutations, l'ordre des éléments est important.