Calculatrice de combinaisons

En mathématiques, et plus particulièrement en combinatoire et en probabilités, il existe plusieurs méthodes pour déterminer le nombre de façons de sélectionner des objets au sein d'un ensemble. De combien de manières pouvons-nous choisir r éléments parmi n possibilités ? La réponse dépend de deux critères majeurs : l'importance de l'ordre de sélection et l'autorisation, ou non, des répétitions.

Le nombre de façons de choisir r éléments non ordonnés parmi n possibilités est appelé une combinaison et se note C(n, r). Ce résultat mathématique est également connu sous le nom de coefficient binomial. Notre calculatrice de combinaisons en ligne vous permet de calculer instantanément le nombre de combinaisons possibles de r objets tirés d'un ensemble de n objets.

Comment utiliser la calculatrice de combinaisons ?

Il existe de multiples façons de disposer ou de sélectionner une partie (ou la totalité) des éléments d'un ensemble selon des spécifications précises. Notre outil calcule rapidement le nombre de manières de sélectionner r objets parmi un ensemble de n objets, sans répétition et lorsque l'ordre n'a aucune importance. Pour fonctionner, la calculatrice requiert la saisie de deux valeurs :

• n = le nombre total d'objets distincts dans l'ensemble de départ, et
• r = le nombre d'éléments à choisir (ou de places à remplir).

La règle mathématique absolue pour utiliser ce calculateur de combinaisons est la suivante :

$$0 ≤ r ≤ n$$

Si vous saisissez une valeur r qui est strictement supérieure à n, l'outil affichera le message d'erreur suivant :

« Veuillez entrer 0 ≤ r ≤ n ».

Le principe fondamental du dénombrement

Le principe fondamental du dénombrement est la base qui nous permet de calculer le nombre d'issues possibles pour différentes actions. Il repose sur deux règles mathématiques incontournables.

La règle de la somme

Si une première action peut être accomplie de m façons et qu'une seconde action peut l'être de n façons, et que ces deux actions sont mutuellement exclusives (elles ne peuvent pas se produire en même temps), on peut alors compter le nombre total de possibilités comme étant (m + n).

La règle du produit

Si une première étape peut être réalisée de m façons et qu'une seconde étape peut l'être de n façons, et que ces deux étapes se produisent l'une après l'autre (ou simultanément), alors il existe (m × n) façons d'effectuer l'ensemble de ces actions.

Exemples

Une cafétéria vend 3 sortes de tartes (pomme, fraise, myrtille) et 4 sortes de boissons (jus d'orange, raisin, cerise, ananas). Les boissons et les tartes coûtent chacune 2 $. Vous n'avez que 2 $ en poche, pas un centime de plus. Vous ne pouvez donc acheter qu'un seul article. En appliquant la règle de la somme, vous avez 3 + 4 = 7 possibilités différentes de faire votre choix.

Supposons maintenant que vous souhaitiez calculer le nombre de résultats possibles en lançant une pièce de monnaie et un dé à six faces. Une pièce offre 2 résultats possibles (Pile ou Face). De même, un dé offre 6 résultats possibles. Puisque vous effectuez ces deux actions simultanément, la règle du produit s'applique : il y a 2 × 6 = 12 résultats possibles au total.

Si vous souhaitez tirer 2 cartes d'un jeu de 52 cartes standard sans les remettre dans le paquet, il y a 52 possibilités pour la première carte, puis 51 possibilités pour la seconde. Par conséquent, le nombre de façons de piocher ces deux cartes à la suite est de 52 × 51 = 2 652.

L'Univers des possibles

En probabilités, l'univers est la liste exhaustive de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire. Il est généralement désigné par la lettre majuscule S (ou $\Omega$). Par exemple, l'univers lors du lancer simultané d'une pièce et d'un dé est :

S = {{F,1}, {F,2}, {F,3}, {F,4}, {F,5}, {F,6}, {P,1}, {P,2}, {P,3}, {P,4}, {P,5}, {P,6}}

Il y a donc douze issues possibles. Les principes du dénombrement nous permettent de déterminer ce résultat mathématiquement, sans avoir besoin d'énumérer chaque combinaison manuellement.

Combinaison

Le nombre de façons possibles de choisir r résultats distincts (sans répétition) parmi n possibilités, lorsque l'ordre n'est pas pertinent, est appelé une combinaison. Ce calcul de combinaison se note C(n, r) et correspond au coefficient binomial. La formule mathématique d'une combinaison est définie ainsi :

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Le symbole ! placé après un nombre représente la factorielle de ce nombre. Par exemple, n! (factorielle n) est le produit de tous les entiers naturels allant de 1 à n. Ainsi, la factorielle de 2 est 1 × 2 = 2. La factorielle de 3 est 1 × 2 × 3 = 6. La factorielle de 4 est 1 × 2 × 3 × 4 = 24, et ainsi de suite. Notez que la factorielle ne se calcule que pour des nombres entiers positifs ou nuls.

Le point crucial à retenir lors de l'utilisation de cette formule est que les répétitions ne sont pas autorisées et que l'ordre des éléments n'a aucune importance.

Exemple 1

Prenons un ensemble de quatre nombres :

{1, 2, 3, 4}

De combien de façons pouvons-nous associer deux éléments de cet ensemble si un même élément ne peut pas être tiré deux fois dans une même paire ?

Si l'ordre des éléments compte, nous obtenons des groupes formés par des permutations (arrangements) :

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

Si l'ordre n'a pas d'importance, nous obtenons des groupes formés par des combinaisons :

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

Il y a donc 6 combinaisons possibles. Vous pouvez retrouver ce résultat exact en utilisant la formule. Pour cet exemple, $n=4$ et $r=2$. Par conséquent :

$$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 × 3 × 2 × 1}{(2× 1)(2× 1)}=\frac{24}{4}=6$$

C'est très exactement ce que calcule instantanément notre calculatrice de combinaisons.

Exemple 2

Quelles sont les combinaisons possibles des lettres A, B, C et D prises par groupes de 3 ? Il y a 24 permutations possibles lorsque l'ordre compte. Cependant, en dénombrement combinatoire, l'ordre est ignoré. Par conséquent, seule la première ligne du tableau ci-dessous représente des groupes uniques. Il y a donc 4 combinaisons possibles en tout et pour tout.

Au lieu de lister manuellement toutes ces configurations, nous pouvons calculer le nombre de combinaisons (où l'ordre importe peu) via notre formule. Ici, nous avons un ensemble de n=4 objets, et nous en sélectionnons r=3. Ainsi :

$$C\left(n,r\right)=C\left(4,3\right)=\frac{4!}{\left(4-3\right)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

Permutation

Une permutation détermine le nombre de façons d'arranger des objets lorsque l'ordre de sélection est primordial. La formule mathématique pour calculer les permutations lors de la sélection de r objets parmi une liste de n objets est la suivante :

$$P\left(n,r\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Les deux règles d'or lors du calcul des permutations avec cette formule sont : aucune répétition n'est permise, et l'ordre d'apparition des objets crée des résultats fondamentalement différents.

Exemple 3

Imaginons que 4 candidats se présentent pour un entretien d'embauche. La mission du comité de sélection est d'établir un classement allant de la 1ère à la 4ème place. Voici comment se décomposent les choix :

• 1ère place : il y a 4 candidats possibles ;
• 2ème place : il reste 3 candidats possibles ;
• 3ème place : il reste 2 candidats possibles ;
• 4ème place : il ne reste qu'un seul candidat.

En appliquant la règle du produit, le nombre total de classements possibles est de 4 × 3 × 2 × 1 = 24, ce qui équivaut à 4! (factorielle 4). Nommons ces candidats

{A, B, C, D}

L'univers des possibles du problème, exposant toutes les permutations de classement, est illustré ci-dessous :

Plutôt que de construire ce grand tableau complet, nous pouvons trouver ce résultat rapidement en utilisant la formule des permutations. Dans notre exemple, il y a n = 4 candidats à placer sur r = 4 positions. Par conséquent :

$$P\left(n,r\right)=P\left(4,4\right)=\frac{4!}{\left(4-4\right)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

Différence entre combinaisons et permutations

Pour résumer, la principale différence entre ces deux concepts mathématiques réside dans l'importance accordée à l'ordre. Dans le cadre des combinaisons, l'ordre des éléments n'a strictement aucune importance (tirer A puis B est identique à tirer B puis A). À l'inverse, dans les permutations, l'ordre des éléments est crucial et génère des résultats distincts (le classement A-B est totalement différent du classement B-A).