Combinaties Rekenmachine

In de wiskunde zijn er verschillende strategieën om het aantal manieren te bepalen waarop u objecten uit een bepaalde verzameling kunt kiezen. Op hoeveel manieren kunnen we r elementen kiezen uit n mogelijkheden? Dat hangt af van twee factoren: of de volgorde belangrijk is, en of de waarden mogen worden herhaald.

Het aantal manieren om r ongeordende elementen te kiezen uit n mogelijkheden noemen we een combinatie, geschreven als C(n, r). Dit staat in de wiskunde ook bekend als de binomiale coëfficiënt. Met deze online combinaties rekenmachine berekent u eenvoudig en snel het mogelijke aantal combinaties van r objecten uit een set van n objecten.

De regels voor het gebruik van de combinaties rekenmachine

Voor een willekeurige set objecten is er een specifiek aantal manieren om deze (of een deel ervan) te rangschikken of te selecteren, afhankelijk van de gestelde voorwaarden. Deze calculator berekent het aantal manieren om r objecten te selecteren uit een set van n objecten, zonder herhaling en waarbij de volgorde niet van belang is. De rekenmachine heeft twee invoerwaarden nodig:

• n = het totale aantal verschillende objecten om uit te kiezen, en
• r = het aantal posities dat moet worden gevuld (het aantal te selecteren objecten).

Een belangrijke wiskundige voorwaarde voor het invoeren van de gegevens in de combinaties rekenmachine is dat:

$$0 ≤ r ≤ n$$

Als u voor r een getal invoert dat groter is dan n, toont de calculator de volgende foutmelding:

"Voer a.u.b. 0 ≤ r ≤ n in".

Het fundamentele telprincipe

Het fundamentele telprincipe helpt ons bij het berekenen van het aantal manieren waarop verschillende taken kunnen worden uitgevoerd. Binnen de combinatoriek hanteren we hiervoor twee basisregels.

De somregel

Stel dat een eerste taak op m manieren kan worden uitgevoerd en een tweede taak op n manieren. Als deze taken niet tegelijkertijd kunnen worden uitgevoerd, is het totale aantal mogelijke manieren waarop u één van de taken kunt uitvoeren gelijk aan (m + n).

De productregel

Stel dat de eerste taak op m manieren kan worden uitgevoerd en de tweede taak op n manieren. Als beide taken wél tegelijkertijd (of na elkaar) kunnen worden uitgevoerd, dan zijn er in totaal (m × n) manieren om ze te volbrengen.

Voorbeelden

De schoolkantine verkoopt 3 soorten taart en 4 soorten frisdrank. De taartsmaken zijn appel, aardbei en bosbes. De drankjes zijn sinaasappel-, druiven-, kersen- en ananassap. Zowel een drankje als een stuk taart kost $ 2. U heeft precies $ 2 op zak en geen cent meer. U kunt dus slechts één item kopen. Volgens de somregel heeft u hierdoor 3 + 4 = 7 mogelijkheden om een keuze te maken.

Stel dat u het aantal uitkomsten wilt berekenen wanneer u een munt opgooit en tegelijkertijd met een dobbelsteen gooit. Het aantal mogelijke uitkomsten voor de munt is 2 (kop of munt). Het aantal mogelijke manieren waarop u met een dobbelsteen kunt gooien is 6. Omdat u beide acties gelijktijdig uitvoert, passen we de productregel toe. Er zijn dan 2 × 6 = 12 manieren waarop de worp met de munt en de dobbelsteen kan uitpakken.

Wilt u 2 kaarten trekken uit een standaard kaartspel van 52 kaarten zonder deze terug te leggen? Dan zijn er 52 manieren om de eerste kaart te trekken en 51 manieren voor de tweede kaart. Het totale aantal manieren om twee kaarten te trekken is daarom 52 × 51 = 2.652.

Steekproefruimtes

Een steekproefruimte (of uitkomstenruimte) is een complete lijst van alle mogelijke uitkomsten van een kansexperiment en wordt meestal aangeduid met de hoofdletter S. De steekproefruimte voor het tegelijkertijd opgooien van een munt (waarbij H staat voor Head/Kop en T voor Tail/Munt) en het gooien met een dobbelsteen is:

S = {{H,1}, {H,2}, {H,3}, {H,4}, {H,5}, {H,6}, {T,1}, {T,2}, {T,3}, {T,4}, {T,5}, {T,6}}

Zoals u ziet, zijn er twaalf mogelijke uitkomsten. De wiskundige telprincipes stellen ons in staat om het totaal aantal mogelijkheden direct te berekenen, zonder dat we de hele steekproefruimte handmatig hoeven uit te schrijven.

Combinatie

Het aantal mogelijke manieren om r unieke (niet-herhalende) elementen uit n mogelijkheden te kiezen, waarbij de volgorde niet van belang is, noemen we een combinatie. De combinatie van objecten wordt geschreven als C(n, r) en staat tevens bekend als de binomiale coëfficiënt. De wiskundige combinatieformule luidt als volgt:

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Het uitroepteken (!) achter een getal of letter geeft aan dat we de faculteit van dat getal berekenen. Zo is n! de faculteit van het getal n: het product van alle natuurlijke getallen van 1 tot en met n. Ter illustratie: de faculteit van 2 is 1 × 2. De faculteit van 3 is 1 × 2 × 3. De faculteit van 4 is 1 × 2 × 3 × 4. De faculteit van 5 is 1 × 2 × 3 × 4 × 5, enzovoort. De faculteit kan alleen worden berekend voor niet-negatieve gehele getallen.

Een essentieel kenmerk van het berekenen van combinaties met deze formule is dat de herhaling van objecten niet is toegestaan en de volgorde van de selectie niet uitmaakt.

Voorbeeld 1

Stel dat u de volgende set van vier getallen heeft:

{1, 2, 3, 4}

Op hoeveel manieren kunnen we twee elementen uit deze set combineren als hetzelfde getal niet twee keer in een paar mag voorkomen?

Als de volgorde van de elementen wél belangrijk zou zijn, krijgen we groepen gevormd door permutaties:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

Omdat bij een combinatie de volgorde niet uitmaakt, vallen de omgedraaide paren weg en houden we de volgende groepen over:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

Er zijn dus 6 mogelijke combinaties. U kunt de formule gebruiken om dit aantal direct te berekenen. In dit voorbeeld is $n=4$ en $r=2$. Dit geeft:

$$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 × 3 × 2 × 1}{(2× 1)(2× 1)}=\frac{24}{4}=6$$

Dit is exact de berekening die onze combinaties rekenmachine voor u uitvoert.

Voorbeeld 2

Wat zijn de mogelijke combinaties als we de letters A, B, C en D in groepen van 3 verdelen? Wanneer de volgorde belangrijk is, zijn er 24 mogelijke permutaties. Bij combinatorisch tellen is de volgorde echter irrelevant. Daarom telt in de onderstaande tabel alleen de eerste rij mee voor de unieke combinaties. Er zijn in totaal dus 4 mogelijke combinaties.

In plaats van alle mogelijke rangschikkingen op te schrijven, kunnen we het aantal combinaties (waarbij volgorde niet telt) snel berekenen met de combinatieformule. We hebben n=4 objecten en we selecteren er r=3 tegelijkertijd:

$$C(n,r)=C(4,3)=\frac{4!}{(4-3)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

Permutatie

Een permutatie berekent het aantal manieren om objecten te selecteren en te rangschikken wanneer de volgorde van de objecten wél van belang is. De formule voor het berekenen van het aantal permutaties bij het selecteren van r objecten uit een set van n objecten is als volgt:

$$P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$$

De twee belangrijkste kenmerken van de permutatieformule zijn dat herhaling van objecten niet is toegestaan en dat de volgorde van de objecten absoluut bepalend is.

Voorbeeld 3

Stel dat er 4 kandidaten zijn voor een sollicitatiegesprek. De taak van de selectiecommissie is om de kandidaten te rangschikken van plaats 1 tot en met 4. De mogelijkheden zijn als volgt opgebouwd:

• 1e positie - er zijn 4 kandidaten om uit te kiezen
• 2e positie - er zijn nog 3 kandidaten om uit te kiezen
• 3e positie - er zijn nog 2 kandidaten om uit te kiezen
• 4e positie - er is slechts één kandidaat over

De productregel geeft het totale aantal manieren om de kandidaten te rangschikken, namelijk 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Dit is precies hetzelfde als 4!. Stel dat de kandidaten de volgende letters dragen:

{A, B, C, D}

De steekproefruimte van dit vraagstuk, waarin alle mogelijke permutaties zichtbaar zijn, wordt hieronder weergegeven:

In plaats van de volledige tabel met rangschikkingen handmatig uit te werken, rekent u dit veel sneller uit met de permutatieformule. Voor het bovenstaande voorbeeld zijn er n = 4 kandidaten en kiest u r = 4 posities tegelijkertijd. Dat geeft:

$$P(n,r)=P(4,4)=\frac{4!}{(4-4)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

Het verschil tussen combinaties en permutaties

Het belangrijkste en meest fundamentele verschil tussen combinaties en permutaties is de rol van de volgorde. Bij combinaties is de volgorde van de gekozen elementen niet belangrijk, terwijl bij permutaties de exacte volgorde of rangschikking van de elementen wél essentieel is voor de uitkomst.