Combinaties Rekenmachine

Er zijn verschillende strategieën om het aantal manieren te bepalen om objecten te kiezen uit een gegeven set in de wiskunde. Op hoeveel manieren kunnen we r uitkomsten kiezen uit n mogelijkheden? Het hangt ervan af of de volgorde belangrijk is of niet en of de waarden kunnen herhalen of niet.

Het aantal manieren om r niet-geordende uitkomsten te kiezen uit n mogelijkheden staat bekend als een combinatie en wordt geschreven als C(n, r). Het staat ook bekend als de binomiale coëfficiënt. Deze rekenmachine stelt u in staat om de combinatie van r objecten uit een set van n objecten te berekenen.

De regels voor het gebruik van de combinaties rekenmachine

Voor een gegeven set van objecten is er een bepaald aantal manieren om sommige of alle van hen te rangschikken of te selecteren volgens een bepaalde volgorde of specificatie. De rekenmachine berekent het aantal manieren om r objecten te selecteren uit een set van n objecten zonder herhaling en wanneer de volgorde niet uitmaakt. De rekenmachine vereist twee invoer:

• n = aantal verschillende objecten om uit te kiezen, en
• r = aantal posities om te vullen.

Een essentieel criterium voor het invoeren van gegevens in de combinaties rekenmachine is dat

$$0 ≤ r ≤ n$$

Als u een aantal r invoert dat groter is dan n, zal het een bericht afdrukken

"Voer a.u.b. 0 ≤ r ≤ n in".

Het fundamentele telprincipe

Het Fundamentele Telprincipe leidt ons bij het vinden van manieren om verschillende taken te volbrengen. Er zijn twee fundamentele telregels.

De somregel

De eerste taak kan op m manieren worden gedaan, en de tweede taak kan op n manieren worden gedaan. Als de taken niet gelijktijdig gedaan kunnen worden, kan het aantal mogelijke manieren worden geteld als (m + n).

De productregel

De eerste taak kan op m manieren worden gedaan en de tweede taak kan op n manieren worden gedaan. Als beide taken tegelijkertijd kunnen worden gedaan, dan zijn er (m × n) manieren om ze uit te voeren.

Voorbeelden

De kantine verkoopt 3 soorten taarten en 4 soorten drankjes. Onder hen zijn appeltaart, aardbeientaart en bosbessentaart. En sinaasappel-, druiven-, kersen- en ananassap. Zowel drankjes als taarten worden verkocht voor $ 2. U heeft slechts $ 2 bij u en geen cent meer. Dus u heeft 3 + 4 = 7 mogelijkheden om een bepaalde keuze te maken.

Stel dat u het aantal manieren wilt tellen om een munt op te gooien en een dobbelsteen te rollen. Het aantal manieren waarop u een munt kunt opgooien is 2 omdat een munt 2 zijden heeft. Evenzo zijn er 6 mogelijke manieren waarop u een dobbelsteen kunt rollen. Aangezien u beide taken tegelijkertijd kunt doen, zijn er dan 2 × 6 = 12 manieren waarop u een munt kunt opgooien en een dobbelsteen kunt rollen.

Als u 2 kaarten wilt trekken uit een pak van 52 kaarten zonder ze te vervangen, dan zijn er 52 manieren om de eerste te trekken en 51 manieren om de tweede te trekken. Daarom is het aantal manieren om twee kaarten te trekken 52 × 51 = 2.652.

Steekproefruimtes

Een steekproefruimte is een lijst van alle mogelijke uitkomsten en wordt aangeduid met de hoofdletter S. De steekproefruimte voor het tegelijkertijd op

gooien van een munt en het rollen van een dobbelsteen is

S = {{H,1}, {H,2}, {H,3}, {H,4}, {H,5}, {H,6}, {T,1}, {T,2}, {T,3}, {T,4}, {T,5}, {T,6}}

Er zijn twaalf mogelijke manieren. De telprincipes stellen ons in staat om het aantal manieren van experimenteren te achterhalen zonder ze allemaal te moeten opsommen.

Combinatie

Het aantal mogelijke manieren om r niet-herhalende uitkomsten uit n mogelijkheden te kiezen waarbij de volgorde niet van belang is, staat bekend als combinatie. De combinatie van objecten wordt geschreven als C(n, r). Het staat ook bekend als de binomiale coëfficiënt. De combinatieformule wordt gedefinieerd als

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Het teken ! na een getal of letter betekent dat we de faculteit van een getal gebruiken. Bijvoorbeeld, n! is de faculteit van het getal n - of het product van natuurlijke getallen van 1 tot n. De faculteit van getal 2 is 1 × 2. De faculteit van getal 3 is 1 × 2 × 3. De faculteit van getal 4 is 1 × 2 × 3 × 4. De faculteit van getal 5 is 1 × 2 × 3 × 4 × 5 en zo verder. De faculteit kan alleen worden berekend voor niet-negatieve gehele getallen.

Een essentieel kenmerk van het berekenen van de combinatie met behulp van deze formule is dat de herhaling van objecten niet is toegestaan en de volgorde van rangschikking er niet toe doet.

Voorbeeld 1

Stel dat je een set van vier getallen hebt

{1, 2, 3, 4}

Op hoeveel manieren kunnen we twee elementen uit deze set combineren als hetzelfde element niet herhaald mag worden in een paar?

Als de volgorde van de elementen van belang is, krijgen we groepen gevormd door permutaties:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

Als de volgorde niet uitmaakt - krijgen we groepen gevormd door combinaties:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

Er zijn 6 mogelijke combinaties. Je kunt de formule gebruiken om het aantal van alle mogelijke combinaties te vinden. Voor dit voorbeeld is $n=4$, $r=2$. Daarom,

$$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 × 3 × 2 × 1}{(2× 1)(2× 1)}=\frac{24}{4}=6$$

Dit is precies wat de Combinaties Rekenmachine berekent.

Voorbeeld 2

Wat zijn de combinaties van de letters A, B, C en D in een groep van 3? Er zijn 24 mogelijke permutaties wanneer de volgorde belangrijk is. In combinatoir tellen is de volgorde irrelevant. Daarom is alleen de eerste rij relevant, d.w.z., er zijn 4 mogelijke combinaties.

ABC	ABD	ACD	BCD
ACB	ADB	ADC	BDC
BAC	BAD	CAD	CBD
BCA	BDA	CDA	CDB
CAB	DAB	DAC	DBC
CBA	DBA	DCA	DCB

In plaats van alle mogelijke arrangementen op te sommen, kunnen we het aantal mogelijke arrangementen (waarbij de volgorde niet van belang is) berekenen met behulp van de bovenstaande combinatieformule. Hier zijn er n=4 objecten, en je neemt er r=3 tegelijk. Daarom,

$$C(n,r)=C(4,3)=\frac{4!}{(4-3)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

Permutatie

Permutatie definieert het aantal manieren om objecten te organiseren wanneer de volgorde van objecten belangrijk is. De formule voor permutatie bij het selecteren van r objecten uit een lijst van n objecten is als volgt:

$$P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$$

De twee belangrijkste kenmerken van het berekenen van permutaties met behulp van deze formule zijn dat herhaling van objecten niet is toegestaan, en dat de volgorde van de objecten belangrijk is.

Voorbeeld 3

Stel dat er 4 kandidaten zijn in een sollicitatiegesprek. De taak van de selectiecommissie is om de kandidaten van 1 tot 4 te rangschikken. Hier zijn de mogelijkheden:

• 1e kandidaat - er zijn 4 manieren om te kiezen
• 2e kandidaat - er zijn 3 manieren om te kiezen
• 3e kandidaat - er zijn 2 manieren om te kiezen
• 4e kandidaat - er is slechts één manier om te kiezen

De productregel geeft het totale aantal manieren om te kiezen, d.w.z. 4 × 3 × 2 × 1 = 24 wat hetzelfde is als 4!. Stel de kandidaten zijn

{A, B, C, D}

De steekproefruimte van het probleem, die alle mogelijke permutaties toont, wordt hieronder weergegeven:

A op 1e plaats	B op 1e plaats	C op 1e plaats	D op 1e plaats
ABCD	BACD	CABD	DABC
ABDC	BADC	CADB	DACB
ACBD	BCAD	CBAD	DBAC
ACDB	BCDA	CBDA	DBCA
ADBC	BDAC	CDAB	DCAB
ADCB	BDCA	CDBA	DCBA

In plaats van alle mogelijke arrangementen zoals in de tabel hierboven te vermelden, kunnen we het aantal mogelijke arrangementen berekenen met de permutatieformule. Voor bovenstaand voorbeeld zijn er n = 4 objecten, en je neemt r = 4 elementen tegelijk. Daarom,

$$P(n,r)=P(4,4)=\frac{4!}{(4-4)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

Het verschil tussen combinaties en permutaties

Het belangrijkste verschil tussen combinaties en permutaties is dat bij combinaties de volgorde van de elementen niet belangrijk is, terwijl bij permutaties de volgorde van de elementen wel belangrijk is.