เครื่องคำนวณชุดค่าผสม

มีกลยุทธ์ที่แตกต่างกันในการกำหนดจำนวนวิธีในการเลือกวัตถุจากชุดที่กำหนดในทางคณิตศาสตร์ เราสามารถเลือกผลลัพธ์ r จากความเป็นไปได้ของ n ได้กี่วิธี? ขึ้นอยู่กับว่าลำดับมีความสำคัญหรือไม่ และค่าสามารถทำซ้ำได้หรือไม่

จำนวนวิธีในการเลือก r ผลลัพธ์ที่ไม่เรียงลำดับจากความเป็นไปได้ n รายการ เรียกว่าการรวมกัน และเขียนเป็น C (n, r) เรียกอีกอย่างว่าสัมประสิทธิ์ทวินาม เครื่องคำนวณนี้ช่วยให้คุณสามารถคำนวณการรวมกันของวัตถุ r จากชุดของวัตถุ n อัน

กฎการใช้เครื่องคำนวณแบบรวม

สำหรับชุดของวัตถุที่กำหนด มีหลายวิธีในการจัดเรียงหรือเลือกบางส่วนหรือทั้งหมดตามลำดับหรือข้อกำหนดบางอย่าง เครื่องคำนวณจะคำนวณจำนวนวิธีในการเลือกวัตถุ r จากชุดของวัตถุ n รายการโดยไม่ต้องทำซ้ำ และเมื่อลำดับไม่สำคัญ เครื่องคำนวณต้องใช้อินพุตสองช่อง:

• n = จำนวนวัตถุที่แตกต่างกันที่มีให้เลือก และ
• r = จำนวนตำแหน่งที่ต้องเติม

เกณฑ์สำคัญในการป้อนข้อมูลลงในเครื่องคำนวณแบบรวมก็คือ

0 ≤ r ≤ n

หากคุณป้อนตัวเลข r ที่มากกว่า n ระบบจะพิมพ์ข้อความ

"โปรดป้อน 0 ≤ r ≤ n"

หลักการพื้นฐานของการนับ

หลักการนับขั้นพื้นฐานนำทางเราในการหาวิธีทำงานต่างๆ ให้สำเร็จ มีกฎพื้นฐานสองข้อในการนับ

กฎของผลรวม

งานแรกสามารถทำได้ m วิธี และงานที่สองสามารถทำได้ n วิธี ถ้างานไม่สามารถทำได้พร้อมกัน จำนวนวิธีที่เป็นไปได้สามารถนับเป็น (m + n)

กฎของผลคูณ

งานแรกสามารถทำได้ m วิธี และงานที่สองสามารถทำได้ n วิธี ถ้าทั้งสองงานสามารถทำได้พร้อมกัน ก็มีวิธี (m × n) ในการดำเนินการ

ตัวอย่าง

โรงอาหารจำหน่ายพาย 3 ชนิดและเครื่องดื่ม 4 ชนิด ได้แก่พายแอปเปิ้ล พายสตรอเบอร์รี่ และพายบลูเบอร์รี่ และน้ำส้ม น้ำองุ่น น้ำเชอร์รี่ และน้ำสับปะรด ทั้งเครื่องดื่มและพายขายในราคา $2 คุณมีเงินติดตัวเพียง $2 เท่านั้นและอีกเล็กน้อย ดังนั้นคุณจึงมีโอกาส 3 + 4 = 7 ที่จะตัดสินใจเลือกสิ่งใดสิ่งหนึ่งโดยเฉพาะ

สมมติว่าคุณต้องการนับจำนวนวิธีในการโยนเหรียญและทอยลูกเต๋า จำนวนวิธีที่คุณสามารถโยนเหรียญได้คือ 2 วิธี เนื่องจากเหรียญมี 2 หน้า ในทำนองเดียวกัน มี 6 วิธีที่เป็นไปได้ที่คุณสามารถทอยลูกเต๋าได้ เนื่องจากคุณสามารถทำงานทั้งสองอย่างพร้อมกันได้ จึงมีวิธี 2 × 6 = 12 วิธีที่คุณสามารถโยนเหรียญและทอยลูกเต๋าได้

หากคุณต้องการจั่วไพ่ 2 ใบจากสำรับไพ่ 52 ใบโดยไม่ต้องเปลี่ยนใหม่ มี 52 วิธีในการจั่วไพ่ใบแรก และ 51 วิธีในการจั่วไพ่ใบที่สอง ดังนั้น จำนวนวิธีในการจั่วไพ่สองใบคือ 52 × 51 = 2,652

พื้นที่ตัวอย่าง

พื้นที่ตัวอย่างคือรายการผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด และแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ S พื้นที่ตัวอย่างสำหรับการโยนเหรียญและทอยลูกเต๋าพร้อมกันคือ

S = {{H,1}, {H,2}, {H,3}, {H,4}, {H,5}, {H,6}, {T,1}, {T,2}, {T,3}, {T,4}, {T,5}, {T,6}}

มีสิบสองวิธีที่เป็นไปได้ หลักการนับช่วยให้เราทราบจำนวนวิธีการทดลองโดยไม่ต้องแจกแจงทั้งหมด

การผสมผสาน

จำนวนวิธีที่เป็นไปได้ในการเลือก r ผลลัพธ์ที่ไม่เกิดซ้ำจากความเป็นไปได้ n รายการเมื่อลำดับที่ไม่เกี่ยวข้องเรียกว่าการรวมกัน การรวมกันของวัตถุเขียนเป็น C (n, r) เรียกอีกอย่างว่าสัมประสิทธิ์ทวินาม สูตรการรวมกันถูกกำหนดเป็น

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

สัญลักษณ์ ! หลังตัวเลขหรือตัวอักษรหมายความว่าเรากำลังใช้แฟกทอเรียลของตัวเลขจำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเช่น n! คือแฟกทอเรียลของจำนวน n - หรือผลคูณของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง n แฟกทอเรียลของหมายเลข 2 คือ 1 × 2 แฟกทอเรียลของหมายเลข 3 คือ 1 × 2 × 3 แฟกทอเรียลของหมายเลข 4 คือ 1 × 2 × 3 × 4 แฟกทอเรียลของหมายเลข 5 คือ 1 × 2 × 3 × 4 × 5 และอื่น ๆ แฟกทอเรียลสามารถคำนวณได้สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบเท่านั้น

ลักษณะสำคัญของการคำนวณชุดค่าผสมโดยใช้สูตรนี้คือไม่อนุญาตให้มีการทำซ้ำของวัตถุ และลำดับของการจัดเรียงไม่สำคัญ

ตัวอย่างที่ 1

สมมติว่าคุณมีชุดตัวเลขสี่ตัว

{1, 2, 3, 4}

เราสามารถรวมสององค์ประกอบจากชุดนี้ได้กี่วิธีหากองค์ประกอบเดียวกันไม่สามารถทำซ้ำเป็นคู่ได้กี่วิธี?

หากลำดับขององค์ประกอบมีความสำคัญ เราจะได้กลุ่มที่เกิดจากการเรียงสับเปลี่ยน:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

หากลำดับไม่สำคัญ - เราจะได้กลุ่มที่เกิดจากการรวมกัน:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

มี 6 ชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ คุณสามารถใช้สูตรเพื่อหาจำนวนชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมด ยกตัวอย่าง n=4, r=2 ดังนั้น

$$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 × 3 × 2 × 1}{(2× 1)(2× 1)}=\frac{24}{4}=6$$

นี่คือสิ่งที่เครื่องคำนวณชุดค่าผสมคำนวณ

ตัวอย่างที่ 2

ตัวอักษร A, B, C และ D ในกลุ่ม 3 ตัวประกอบด้วยอะไรบ้าง? มีการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ 24 รูปแบบเมื่อลำดับมีความสำคัญ ในการนับแบบผสมผสาน ลำดับจะไม่เกี่ยวข้อง ดังนั้น เฉพาะแถวแรกเท่านั้นที่เกี่ยวข้อง เช่น มีชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ 4 แบบ

ABC	ABD	ACD	BCD
ACB	ADB	ADC	BDC
BAC	BAD	CAD	CBD
BCA	BDA	CDA	CDB
CAB	DAB	DAC	DBC
CBA	DBA	DCA	DCB

แทนที่จะแสดงรายการการจัดเตรียมที่เป็นไปได้ทั้งหมด เราสามารถคำนวณจำนวนการจัดเตรียมที่เป็นไปได้ (ซึ่งลำดับไม่สำคัญ) โดยใช้สูตรผสมด้านบน ที่นี่ มีวัตถุ n=4 ชิ้น และคุณกำลังหา r=3 ต่อครั้ง ดังนั้น

$$C\left(n,r\right)=C\left(4,3\right)=\frac{4!}{\left(4-3\right)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

การเรียงสับเปลี่ยน

การเรียงสับเปลี่ยนกำหนดจำนวนวิธีในการจัดระเบียบวัตถุเมื่อลำดับของวัตถุมีความสำคัญ สูตรสำหรับการเรียงสับเปลี่ยนเมื่อเลือกวัตถุ r จากรายการวัตถุ n รายการมีดังนี้:

$$P\left(n,r\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

ลักษณะสำคัญสองประการในการคำนวณการเรียงสับเปลี่ยนโดยใช้สูตรนี้คือไม่อนุญาตให้มีการซ้ำของวัตถุ และลำดับของวัตถุมีความสำคัญ

ตัวอย่างที่ 3

สมมติว่ามีผู้สมัคร 4 คนในการสัมภาษณ์งาน หน้าที่ของคณะกรรมการคัดเลือกคือการจัดอันดับผู้สมัครตั้งแต่ 1 ถึง 4 นี่คือความเป็นไปได้:

• ผู้สมัครคนที่ 1 - มี 4 วิธีในการเลือก
• ผู้สมัครคนที่ 2 - มี 3 วิธีในการเลือก
• ผู้สมัครคนที่ 3 - มี 2 วิธีในการเลือก
• ผู้สมัครคนที่ 4 - มีวืธีเดียวเท่านั้นที่จะเลือก

กฎผลคูณให้จำนวนวิธีเลือกทั้งหมด เช่น 4 × 3 × 2 × 1 = 24 ซึ่งเหมือนกับ 4! บอกว่าผู้สมัครเป็น

{A, B, C, D}

พื้นที่ตัวอย่างของปัญหา ซึ่งแสดงการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ทั้งหมด แสดงไว้ด้านล่าง:

A อยู่อันดับที่ 1	B อยู่อันดับที่ 1	C อยู่อันดับที่ 1	D อยู่อันดับที่ 1
ABCD	BACD	CABD	DABC
ABDC	BADC	CADB	DACB
ACBD	BCAD	CBAD	DBAC
ACDB	BCDA	CBDA	DBCA
ADBC	BDAC	CDAB	DCAB
ADCB	BDCA	CDBA	DCBA

แทนที่จะแสดงรายการการจัดเตรียมที่เป็นไปได้ทั้งหมดดังที่แสดงในตารางด้านบน เราสามารถคำนวณจำนวนการจัดเตรียมที่เป็นไปได้โดยใช้สูตรการเรียงสับเปลี่ยน สำหรับตัวอย่างข้างต้น มีวัตถุ n = 4 ชิ้น และคุณรับองค์ประกอบ r = 4 ชิ้นในแต่ละครั้ง ดังนั้น

$$P\left(n,r\right)=P\left(4,4\right)=\frac{4!}{\left(4-4\right)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

ความแตกต่างระหว่างการรวมกันและการเรียงสับเปลี่ยน

ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างการรวมกันและการเรียงสับเปลี่ยนก็คือในการรวมกันลำดับขององค์ประกอบนั้นไม่สำคัญ ในขณะที่ในการเรียงสับเปลี่ยนลำดับขององค์ประกอบนั้นมีความสำคัญ