เครื่องคำนวณชุดค่าผสม

ในทางคณิตศาสตร์ มีหลากหลายวิธีในการคำนวณเพื่อหาจำนวนรูปแบบที่เป็นไปได้ในการเลือกสิ่งของจากชุดข้อมูลที่กำหนด คำถามคือ เราจะสามารถเลือกผลลัพธ์ r จากความเป็นไปได้ทั้งหมด n รายการได้อย่างไร? คำตอบนั้นขึ้นอยู่กับว่า "ลำดับ" มีความสำคัญหรือไม่ และสามารถเลือกค่าซ้ำได้หรือไม่

จำนวนวิธีในการเลือกผลลัพธ์ r จากความเป็นไปได้ n รายการ (โดยไม่คำนึงถึงลำดับ) เรียกว่า การจัดหมู่ (Combination) ซึ่งเขียนแทนด้วย C (n, r) หรือที่เรียกอีกอย่างว่า สัมประสิทธิ์ทวินาม (Binomial Coefficient) เครื่องคิดเลขจัดหมู่นี้จะช่วยให้คุณสามารถคำนวณหาจำนวนรูปแบบการจัดหมู่ของสิ่งของ r ชิ้น จากชุดสิ่งของทั้งหมด n ชิ้นได้อย่างง่ายดายและแม่นยำ

กฎการใช้งานเครื่องคิดเลขจัดหมู่

สำหรับชุดข้อมูลหรือสิ่งของที่กำหนด มีหลากหลายวิธีในการจัดเรียงหรือเลือกสิ่งของเหล่านั้นออกมาบางส่วนหรือทั้งหมด ตามเงื่อนไขและลำดับที่ระบุ โปรแกรมคำนวณนี้จะช่วยหาจำนวนวิธีในการเลือกสิ่งของ r ชิ้น จากชุดสิ่งของทั้งหมด n ชิ้น แบบไม่อนุญาตให้เลือกซ้ำ และไม่นำลำดับมาพิจารณา โดยเครื่องคิดเลขนี้ต้องการข้อมูลอินพุต 2 ค่า ได้แก่:

• n = จำนวนสิ่งของทั้งหมดที่มีให้เลือก และ
• r = จำนวนสิ่งของที่ต้องการเลือก

เงื่อนไขสำคัญในการป้อนข้อมูลลงในเครื่องคิดเลขจัดหมู่คือ

0 ≤ r ≤ n

หากคุณป้อนค่า r ที่มากกว่า n ระบบจะแสดงข้อความแจ้งเตือนว่า

"โปรดป้อน 0 ≤ r ≤ n"

หลักการพื้นฐานของการนับ

หลักการนับเบื้องต้นเป็นพื้นฐานสำคัญที่ช่วยให้เราสามารถคำนวณหาจำนวนวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดในการทำงานต่างๆ โดยมีกฎพื้นฐานอยู่ 2 ข้อ ได้แก่

กฎการบวก (Rule of Sum)

หากงานแรกสามารถทำได้ m วิธี และงานที่สองสามารถทำได้ n วิธี โดยที่งานทั้งสองไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ จำนวนวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะเท่ากับ (m + n) วิธี

กฎการคูณ (Rule of Product)

หากงานแรกสามารถทำได้ m วิธี และงานที่สองสามารถทำได้ n วิธี โดยที่งานทั้งสองสามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้อย่างต่อเนื่อง จำนวนวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะเท่ากับ (m × n) วิธี

ตัวอย่าง

โรงอาหารแห่งหนึ่งจำหน่ายพาย 3 ชนิดและเครื่องดื่ม 4 ชนิด ได้แก่ พายแอปเปิ้ล, พายสตรอเบอร์รี่, พายบลูเบอร์รี่ และ น้ำส้ม, น้ำองุ่น, น้ำเชอร์รี่, น้ำสับปะรด ทั้งเครื่องดื่มและพายขายในราคาชิ้น/แก้วละ $2 หากคุณมีเงินติดตัวเพียง $2 คุณจะสามารถเลือกซื้อสินค้าได้เพียงอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น ดังนั้น คุณจะมีตัวเลือกทั้งหมด 3 + 4 = 7 วิธีในการตัดสินใจซื้อสินค้า

สมมติว่าคุณต้องการคำนวณหาจำนวนวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดในการโยนเหรียญและทอยลูกเต๋าพร้อมกัน จำนวนผลลัพธ์ที่คุณสามารถโยนเหรียญได้คือ 2 วิธี เนื่องจากเหรียญมี 2 หน้า ในทำนองเดียวกัน ลูกเต๋ามี 6 หน้า จึงมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 6 วิธี เนื่องจากคุณสามารถทำทั้งสองอย่างนี้พร้อมกันได้ ดังนั้นจะมีรูปแบบผลลัพธ์ทั้งหมด 2 × 6 = 12 วิธีในการโยนเหรียญและทอยลูกเต๋า

หากคุณต้องการจั่วไพ่ 2 ใบจากสำรับ (ที่มี 52 ใบ) แบบไม่ใส่คืน จะมี 52 วิธีในการจั่วไพ่ใบแรก และเหลือ 51 วิธีในการจั่วไพ่ใบที่สอง ดังนั้น จำนวนวิธีในการจั่วไพ่สองใบนี้คือ 52 × 51 = 2,652 วิธี

ปริภูมิตัวอย่าง (Sample Space)

ปริภูมิตัวอย่าง (Sample Space) คือเซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากการทดลองสุ่ม ซึ่งมักจะแทนด้วยอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ S ปริภูมิตัวอย่างสำหรับการโยนเหรียญและทอยลูกเต๋าพร้อมกันคือ

S = {{H,1}, {H,2}, {H,3}, {H,4}, {H,5}, {H,6}, {T,1}, {T,2}, {T,3}, {T,4}, {T,5}, {T,6}}

จากเซตด้านบน จะเห็นว่ามีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 12 วิธี หลักการนับช่วยให้เราทราบจำนวนวิธีของการทดลองสุ่มได้ทันทีโดยไม่ต้องเขียนแจกแจงผลลัพธ์ออกมาทั้งหมด

การจัดหมู่ (Combinations)

จำนวนรูปแบบที่เป็นไปได้ทั้งหมดในการเลือกสิ่งของ r ชิ้น แบบไม่ซ้ำกันจากความเป็นไปได้ n รายการ โดยที่ ลำดับไม่มีความสำคัญ เรียกว่า การจัดหมู่ (Combination) การจัดหมู่ของสิ่งของมักเขียนแทนด้วย C (n, r) หรือที่เรียกอีกอย่างว่า สัมประสิทธิ์ทวินาม (Binomial Coefficient) โดยสูตรของการจัดหมู่กำหนดไว้ดังนี้:

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

สัญลักษณ์ ! ที่อยู่หลังตัวเลขหรือตัวอักษร หมายถึงการใช้แฟกทอเรียล (Factorial) ของจำนวนนั้น ๆ ตัวอย่างเช่น n! คือแฟกทอเรียลของจำนวน n หรือผลคูณของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง n ตัวอย่างเช่น แฟกทอเรียลของ 2 คือ 1 × 2, แฟกทอเรียลของ 3 คือ 1 × 2 × 3, แฟกทอเรียลของ 4 คือ 1 × 2 × 3 × 4, แฟกทอเรียลของ 5 คือ 1 × 2 × 3 × 4 × 5 และจะเป็นเช่นนี้ต่อไปเรื่อย ๆ ทั้งนี้ แฟกทอเรียลสามารถคำนวณได้เฉพาะจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบเท่านั้น

ลักษณะสำคัญของการคำนวณการจัดหมู่โดยใช้สูตรนี้คือ ไม่อนุญาตให้เลือกสิ่งของซ้ำ และ ลำดับของการเลือกไม่มีความสำคัญ

ตัวอย่างที่ 1

สมมติว่าคุณมีชุดตัวเลข 4 ตัว ได้แก่:

{1, 2, 3, 4}

เราจะสามารถจัดหมู่ตัวเลข 2 ตัวจากชุดข้อมูลนี้ได้กี่วิธี หากไม่อนุญาตให้ใช้ตัวเลขซ้ำกันในแต่ละคู่?

หาก ลำดับมีความสำคัญ เราจะได้กลุ่มตัวเลขที่เกิดจากการเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) ดังนี้:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

แต่หาก ลำดับไม่มีความสำคัญ เราจะได้กลุ่มตัวเลขที่เกิดจากการจัดหมู่ (Combination) ดังนี้:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

จะเห็นได้ว่ามีรูปแบบการจัดหมู่ที่เป็นไปได้ 6 รูปแบบ คุณสามารถใช้สูตรเพื่อหาจำนวนการจัดหมู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมดได้อย่างรวดเร็ว ในตัวอย่างนี้ n=4, r=2 ดังนั้น:

$$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 × 3 × 2 × 1}{(2× 1)(2× 1)}=\frac{24}{4}=6$$

นี่คือกระบวนการทางคณิตศาสตร์ที่เครื่องคิดเลขจัดหมู่ดำเนินการให้กับคุณ

ตัวอย่างที่ 2

หากเราต้องการจัดกลุ่มตัวอักษร A, B, C และ D ให้เป็นกลุ่มละ 3 ตัวอักษร จะสามารถจัดได้กี่รูปแบบ? หากลำดับมีความสำคัญ จะมีการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ทั้งหมด 24 รูปแบบ แต่ในการนับแบบการจัดหมู่นั้น ลำดับจะไม่มีความสำคัญ ดังนั้นจะมีเพียงแถวแรกของตารางเท่านั้นที่ถูกนำมานับ ซึ่งก็คือมีรูปแบบการจัดหมู่ที่เป็นไปได้ 4 รูปแบบ

แทนที่เราจะต้องมานั่งเขียนแจกแจงรูปแบบที่เป็นไปได้ทั้งหมด เราสามารถคำนวณหาจำนวนรูปแบบที่เป็นไปได้ (โดยไม่นำลำดับมาพิจารณา) โดยใช้สูตรการจัดหมู่ด้านบน ในกรณีนี้ เรามีสิ่งของทั้งหมด n=4 ชิ้น และเราต้องการเลือกออกมาครั้งละ r=3 ชิ้น ดังนั้น:

$$C\left(n,r\right)=C\left(4,3\right)=\frac{4!}{\left(4-3\right)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

การเรียงสับเปลี่ยน (Permutations)

การเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) คือการคำนวณหาจำนวนวิธีในการจัดเรียงสิ่งของ โดยที่ ลำดับของสิ่งของมีความสำคัญ สูตรสำหรับการคำนวณการเรียงสับเปลี่ยน เมื่อต้องการเลือกสิ่งของ r ชิ้น จากชุดสิ่งของทั้งหมด n ชิ้น มีดังนี้:

$$P\left(n,r\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

ลักษณะสำคัญสองประการในการคำนวณการเรียงสับเปลี่ยนโดยใช้สูตรนี้คือ ไม่อนุญาตให้เลือกสิ่งของซ้ำ และ ลำดับของการจัดเรียงมีความสำคัญอย่างยิ่ง

ตัวอย่างที่ 3

สมมติว่ามีผู้สมัคร 4 คนในการสัมภาษณ์งาน หน้าที่ของคณะกรรมการคัดเลือกคือการจัดอันดับผู้สมัครตั้งแต่ตำแหน่งที่ 1 ถึง 4 นี่คือความเป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้น:

• ผู้สมัครอันดับที่ 1 - มี 4 วิธีในการเลือก
• ผู้สมัครอันดับที่ 2 - มี 3 วิธีในการเลือก (เหลือผู้สมัคร 3 คน)
• ผู้สมัครอันดับที่ 3 - มี 2 วิธีในการเลือก (เหลือผู้สมัคร 2 คน)
• ผู้สมัครอันดับที่ 4 - มีเพียง 1 วิธีเท่านั้นในการเลือก

เมื่อใช้กฎการคูณ เราจะได้จำนวนวิธีการจัดอันดับทั้งหมดคือ 4 × 3 × 2 × 1 = 24 วิธี ซึ่งมีค่าเท่ากับ 4! สมมติว่าผู้สมัครประกอบไปด้วย:

{A, B, C, D}

ปริภูมิตัวอย่าง (Sample Space) ของปัญหานี้ ซึ่งแสดงให้เห็นถึงรูปแบบการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ทั้งหมด แสดงไว้ในตารางด้านล่าง:

แทนที่จะเขียนแสดงรูปแบบการจัดเรียงที่เป็นไปได้ทั้งหมดดังที่แสดงในตารางด้านบน เราสามารถคำนวณหาจำนวนวิธีได้อย่างรวดเร็วโดยใช้สูตรการเรียงสับเปลี่ยน สำหรับตัวอย่างข้างต้น มีผู้สมัครทั้งหมด n = 4 คน และคุณจัดอันดับครั้งละ r = 4 คน ดังนั้น:

$$P\left(n,r\right)=P\left(4,4\right)=\frac{4!}{\left(4-4\right)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

ความแตกต่างระหว่างการจัดหมู่และการเรียงสับเปลี่ยน

ความแตกต่างที่สำคัญที่สุดระหว่างการจัดหมู่ (Combination) และการเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) ก็คือ ในการจัดหมู่นั้น ลำดับของสมาชิกไม่มีความสำคัญ ในขณะที่ ในการเรียงสับเปลี่ยน ลำดับของสมาชิกมีความสำคัญเป็นอย่างยิ่ง