Calculadora de combinaciones

En matemáticas, existen diferentes estrategias para calcular de cuántas formas podemos elegir objetos de un conjunto determinado. ¿De cuántas maneras podemos elegir r resultados de un total de n opciones posibles? La respuesta depende de si el orden importa o no, y de si los elementos se pueden repetir.

Al número de formas de seleccionar r elementos de un conjunto de n opciones, sin importar el orden, se le conoce como combinación y se representa como C(n, r). A este valor también se le llama coeficiente binomial. Esta calculadora de combinaciones le permite determinar fácilmente el número de grupos de r elementos que se pueden formar a partir de un conjunto total de n objetos.

Reglas para usar la calculadora de combinaciones

Para un conjunto dado de objetos, existe una cantidad específica de formas de ordenarlos o seleccionar algunos (o todos) de acuerdo con ciertas reglas o especificaciones. Esta calculadora determina el número de formas posibles de seleccionar r objetos de un conjunto total de n objetos, sin repetición y en los casos donde el orden no importa. La herramienta requiere dos parámetros de entrada:

• n = número total de objetos distintos para elegir, y
• r = número de posiciones o elementos a seleccionar.

Un criterio matemático esencial para ingresar los datos en la calculadora de combinaciones es que:

$$0 ≤ r ≤ n$$

Es decir, el número de elementos a elegir (r) debe ser menor o igual al número total de objetos disponibles (n), y siempre mayor o igual a cero.

Si ingresa un valor de r que sea mayor que n, la calculadora mostrará el siguiente mensaje:

"Ingrese 0 ≤ r ≤ n".

El principio fundamental de conteo

El principio fundamental de conteo nos ayuda a calcular de cuántas formas distintas se pueden realizar diferentes tareas. Existen dos reglas matemáticas fundamentales para realizar este conteo.

El principio de adición

Si una primera tarea se puede realizar de m formas, una segunda tarea se puede efectuar de n formas, y ambas tareas no pueden ocurrir simultáneamente, entonces el número total de formas en las que se puede realizar una u otra tarea es (m + n).

El principio de multiplicación

En pocas palabras, si una primera tarea se puede realizar de m formas y una segunda tarea de n formas, y ambas tareas pueden ocurrir de forma consecutiva o simultánea, entonces existen (m × n) formas totales de realizar ambas tareas.

Ejemplo 1

Imagina que deseas calcular el número de formas posibles de lanzar una moneda y tirar un dado. Como la moneda tiene dos caras, la cantidad de resultados al lanzarla es 2. Del mismo modo, hay 6 resultados posibles al tirar un dado estándar. Dado que puedes realizar ambas acciones simultáneamente, existen 2 x 6 = 12 formas diferentes en las que pueden caer la moneda y el dado.

Ejemplo 2

Si deseas sacar 2 cartas de una baraja tradicional de 52 cartas sin reemplazo, tienes 52 opciones para sacar la primera carta y 51 opciones para la segunda. Por lo tanto, el número total de formas de robar dos cartas es 52 × 51 = 2.652.

Espacio muestral

Un espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio y se denota con la letra mayúscula S. El espacio muestral al lanzar una moneda y un dado de forma simultánea es:

S = {{H,1}, {H,2}, {H,3}, {H,4}, {H,5}, {H,6}, {T,1}, {T,2}, {T,3}, {T,4}, {T,5}, {T,6}}

Como vemos, hay doce resultados posibles. Los principios de conteo nos permiten calcular la cantidad total de resultados de un experimento sin tener que enumerarlos todos manualmente.

Combinación

La cantidad de formas posibles de elegir r elementos sin repetición de un total de n opciones, cuando el orden es irrelevante, se denomina combinación. La combinación de objetos se escribe como C(n, r) y también se le conoce como coeficiente binomial. La fórmula de combinación se define de la siguiente manera:

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

El símbolo ! después de un número o letra indica que estamos aplicando el factorial de dicho número. Por ejemplo, n! representa el factorial del número n, es decir, el producto de todos los números naturales desde el 1 hasta n. El factorial del número 2 es 1 × 2. El factorial del número 3 es 1 × 2 × 3. El factorial del número 4 es 1 × 2 × 3 × 4, y así sucesivamente. Cabe destacar que el factorial solo puede calcularse para números enteros no negativos.

Una característica fundamental al calcular combinaciones mediante esta fórmula es que no se permite la repetición de objetos, y el orden en el que se disponen no tiene importancia.

Ejemplo 1

Supongamos que tiene un conjunto de cuatro números:

{1, 2, 3, 4}

¿De cuántas maneras podemos combinar dos elementos de este conjunto si un mismo elemento no puede repetirse en un par?

Si el orden de los elementos importara, obtendríamos grupos formados por permutaciones:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

Pero como el orden no importa, obtenemos grupos formados por combinaciones:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

Existen 6 combinaciones posibles. Hacer estos cálculos enumerando cada opción de forma manual, como se hizo anteriormente, sería muy engorroso para un conjunto más grande. Para ello, puede utilizar la fórmula de combinaciones indicada más arriba. En este ejemplo, n = 4 y r = 2. Por lo tanto:

$$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 × 3 × 2 × 1}{(2× 1)(2× 1)}=\frac{24}{4}=6$$

Esto es exactamente lo que calcula de forma automática nuestra calculadora de combinaciones.

Ejemplo 2

¿Cuáles son las combinaciones posibles de las letras A, B, C y D en grupos de 3? Existen 24 permutaciones posibles cuando el orden es importante. Sin embargo, en el cálculo de combinaciones, el orden es irrelevante. Por lo tanto, de la siguiente tabla, solo la primera fila representaría resultados únicos; es decir, hay 4 combinaciones posibles.

En lugar de enumerar todos los arreglos posibles, podemos calcular directamente el número de combinaciones (donde el orden no importa) aplicando la fórmula. Aquí, hay un total de n = 4 objetos y estamos tomando r = 3 elementos a la vez. Por consiguiente:

$$C\left(n,r\right)=C\left(4,3\right)=\frac{4!}{\left(4-3\right)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

Permutación

Una permutación define el número de formas de organizar y ordenar distintos objetos cuando el orden de estos sí es importante. La fórmula de la permutación, cuando se seleccionan r objetos de una lista total de n objetos, es la siguiente:

$$P\left(n,r\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Las dos características principales del cálculo de permutaciones mediante esta fórmula son que no se permite la repetición de elementos, y que el orden en que se colocan los objetos es fundamental.

Ejemplo 3

Supongamos que hay 4 candidatos en una entrevista de trabajo. La tarea del comité de selección es clasificar a los candidatos en puestos del 1 al 4. Estas son las posibilidades:

• Para el 1er candidato: hay 4 formas de elegir.
• Para el 2do candidato: hay 3 formas de elegir.
• Para el 3er candidato: hay 2 formas de elegir.
• Para el 4to candidato: solo queda una forma de elegir.

La regla del producto nos da el número total de formas de ordenarlos, es decir, 4 × 3 × 2 × 1 = 24, lo cual equivale a 4!. Asumamos que los candidatos son:

{A, B, C, D}

El espacio muestral de este problema, que muestra todas las permutaciones posibles, se detalla a continuación:

En lugar de enumerar manualmente todos los arreglos posibles, como se observa en la tabla anterior, podemos calcular rápidamente el número total de arreglos usando la fórmula de permutación. Para este caso, hay n = 4 objetos y tomamos r = 4 elementos a la vez. Por lo tanto:

$$P\left(n,r\right)=P\left(4,4\right)=\frac{4!}{\left(4-4\right)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

Diferencia principal entre combinaciones y permutaciones

En conclusión, la diferencia fundamental entre la combinatoria y las permutaciones radica en el orden: en las combinaciones, el orden de los elementos seleccionados no importa; mientras que, en las permutaciones, la posición u orden de cada elemento es un factor clave para el resultado.