Calculadora de combinaciones

En matemáticas, existen diferentes estrategias para determinar el número de formas de elegir objetos de un conjunto dado. ¿De cuántas maneras podemos elegir r resultados de n posibilidades? Bueno, depende de si el orden importa o no. ¿Se puede repetir?

El número de formas de elegir r resultados desordenados de n posibilidades se conoce como combinación y se escribe como C (n, r). También se conoce como el coeficiente binomial. Esta calculadora le permite determinar la combinación de objetos r de un conjunto de objetos n.

Las reglas para usar la calculadora de combinaciones

Para un conjunto dado de objetos, hay un cierto número de formas de ordenar o seleccionar algunos o todos ellos de acuerdo con algún orden o especificación. La calculadora determina el número de formas de seleccionar objetos r de un conjunto de n objetos sin repetición y cuando el orden no importa. La calculadora requiere dos entradas:

• n = número de objetos distintos para elegir, y
• r = número de espacios a llenar.

Un criterio esencial para ingresar datos en la calculadora de combinaciones es que

$$0 ≤ r ≤ n$$

Es decir, el número de puestos a cubrir debe ser mayor o igual al número de objetos y mayor o igual a cero.

Si ingresa un número r mayor que n, imprimirá un mensaje

"Ingrese 0 ≤ r ≤ n".

El principio fundamental de conteo

El principio fundamental de conteo nos guía para encontrar formas de realizar diferentes tareas. Hay dos reglas fundamentales para contar.

El principio de adición

Si una primera tarea se puede realizar de m formas, la segunda tarea se puede realizar de n formas, y si las tareas no se pueden realizar simultáneamente, entonces cualquiera de estas tareas se puede realizar en cualquiera de las (m + n) maneras totales.

El principio de multiplicación

En pocas palabras, si la primera tarea se puede realizar de m formas y la segunda tarea se puede realizar de n formas y ambas tareas se pueden realizar simultáneamente, entonces hay (m × n) formas de realizar ambas tareas.

Ejemplo 1

Suponga que desea contar el número de formas de lanzar una moneda y tirar un dado. Como hay dos caras, la cantidad de formas en que puedes lanzar una moneda es 2. Del mismo modo, hay 6 formas posibles en que puedes lanzar un dado. Como puede hacer ambas tareas simultáneamente, entonces hay 2x6=12 formas en las que puedes lanzar una moneda y tirar un dado.

Ejemplo 2

Si quiere sacar 2 cartas de una baraja de 52 cartas sin reemplazarlas, entonces hay 52 formas de sacar la primera y 51 formas de sacar la segunda. Por lo tanto, el número de formas de robar dos cartas es 52 × 51 = 2.652.

Espacios de muestra

Un espacio de muestra es una lista de todos los resultados posibles y se denota con la letra S mayúscula. El espacio muestral para lanzar una moneda y tirar un dado simultáneamente son

S = {{H,1}, {H,2}, {H,3}, {H,4}, {H,5}, {H,6}, {T,1}, {T,2}, {T,3}, {T,4}, {T,5}, {T,6}}

Hay doce formas posibles. Los principios de conteo nos permiten calcular la cantidad de formas de experimentar sin tener que enumerarlas todas.

Combinación

La cantidad de formas posibles de elegir r resultados no repetidos de n posibilidades cuando el orden es irrelevante se conoce como combinación. La combinación de objetos se escribe como C (n, r). También se conoce como el coeficiente binomial. La fórmula de combinación se define como

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

El signo ! después de un número o letra significa que estamos usando el factorial de algún número. Por ejemplo, n! es el factorial del número n - o el producto de los números naturales de 1 a n. El factorial del número 2 es 1 × 2. El factorial del número 3 es 1 × 2 × 3. El factorial del número 4 es 1 × 2 × 3 × 4. El factorial del número 5 es 1 × 2 × 3 × 4 × 5 y así sucesivamente. El factorial sólo puede calcularse para números enteros no negativos.

Una característica esencial del cálculo de la combinación mediante esta fórmula es que no se permite la repetición de objetos, y el orden de disposición no importa.

Ejemplo 1

Suponga que tiene un conjunto de cuatro números

{1, 2, 3, 4}

¿De cuántas maneras podemos combinar dos elementos de este conjunto si el mismo elemento no puede repetirse en un par?

Si el orden de los elementos importa, obtenemos grupos formados por permutaciones:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

Si el orden no importa - obtenemos grupos formados por combinaciones:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

Hay 6 combinaciones posibles. Realizar los cálculos explícitamente como se hizo anteriormente para un conjunto más grande sería engorroso. Puede usar la formula de combinaciones como se indicó anteriormente. Para este ejemplo, n = 4, r = 2. Por lo tanto,

$$C(4,2)=\frac{4}{2}=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 × 3 × 2 × 1}{[2× 1][2× 1]}=6$$

Esto es exactamente lo que determina la calculadora de combinaciones.

Ejemplo 2

¿Cuáles son las combinaciones de las letras A, B, C y D en un grupo de 3? Hay 24 permutaciones posibles cuando el orden es importante. En el conteo de combinaciones, el orden es irrelevante. Por lo tanto, solo la primera fila es relevante, es decir, hay 4 combinaciones posibles.

ABC	ABD	ACD	BCD
ACB	ADB	ADC	BDC
BAC	BAD	CAD	CBD
BCA	BDA	CDA	CDB
CAB	DAB	DAC	DBC
CBA	DBA	DCA	DCB

En lugar de enumerar todos los arreglos posibles, podemos calcular el número de arreglos posibles (el orden no es importante) usando la fórmula de combinación anterior. Aquí, hay n = 4 objetos y está tomando r = 3 a la vez. Por lo tanto,

$$C\left(n,r\right)=C\left(4,3\right)=\frac{4!}{\left(4-3\right)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

Permutación

La permutación define el número de formas de organizar los objetos cuando el orden de los mismos es importante. La fórmula de la permutación cuando se seleccionan r objetos de una lista de n objetos es la siguiente:

$$P\left(n,r\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Las dos características principales del cálculo de permutaciones mediante esta fórmula son que no se permite la repetición de objetos y que el orden de los objetos es importante.

Ejemplo 3

Supongamos que hay 4 candidatos en una entrevista de trabajo. La tarea del comité de selección es clasificar a los candidatos del 1 al 4. Estas son las posibilidades:

• 1er candidato - hay 4 formas de elegir
• 2do candidato - hay 3 formas de elegir
• 3er candidato - hay 2 formas de elegir
• 4to candidato - solo hay una forma de elegir

La regla del producto da el número total de formas de escoger, es decir, 4 × 3 × 2 × 1 = 24 que es lo mismo que 4!. Dicen que los candidatos son

{A, B, C, D}

El espacio muestral del problema, que indica todas las permutaciones posibles, se puede observar a continuación:

A en 1er lugar	B en 1er lugar	C en 1er lugar	D en 1en lugar
ABCD	BACD	CABD	DABC
ABDC	BADC	CADB	DACB
ACBD	BCAD	CBAD	DBAC
ACDB	BCDA	CBDA	DBCA
ADBC	BDAC	CDAB	DCAB
ADCB	BDCA	CDBA	DCBA

En lugar de enumerar todos los arreglos posibles como se ve en la tabla anterior, podemos calcular el número de arreglos posibles usando la fórmula de permutación. Para el ejemplo anterior, hay n = 4 objetos y toma r = 4 elementos a la vez. Por lo tanto,

$$P\left(n,r\right)=P\left(4,4\right)=\frac{4!}{\left(4-4\right)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

La diferencia entre combinaciones y permutaciones

La principal diferencia entre las combinaciones y las permutaciones es que en las combinaciones el orden de los elementos no es importante, mientras que en las permutaciones el orden de los elementos es importante.