Calcolatore di Combinazioni

Ci sono diverse strategie per determinare il numero di modi per scegliere oggetti da un dato insieme in matematica. In quanti modi possiamo scegliere r risultati da n possibilità? Dipende se l'ordine è importante o no e se i valori possono ripetersi o no.

Il numero di modi di scegliere r risultati non ordinati da n possibilità è noto come combinazione ed è scritto come C(n, r). È conosciuto anche come coefficiente binomiale. Questo calcolatore ti permette di calcolare la combinazione di r oggetti da un insieme di n oggetti.

Le regole per usare il calcolatore di combinazioni

Per un dato insieme di oggetti, esiste un certo numero di modi per organizzare o selezionare alcuni o tutti questi secondo un certo ordine o specifica. Il calcolatore computa il numero di modi di selezionare r oggetti da un insieme di n oggetti senza ripetizione e quando l'ordine non importa. Il calcolatore richiede due input:

• n = numero di oggetti distinti tra cui scegliere, e
• r = numero di posizioni da riempire.

Un criterio essenziale per inserire i dati nel calcolatore di combinazioni è che

$$0 ≤ r ≤ n$$

Se inserisci un numero r che è maggiore di n, verrà stampato un messaggio

"Per favore inserisci 0 ≤ r ≤ n".

Il principio fondamentale del conteggio

Il Principio Fondamentale del Conteggio ci guida nel trovare i modi per compiere diverse attività. Ci sono due regole fondamentali del conteggio.

La regola della somma

La prima attività può essere fatta in m modi, e la seconda attività può essere fatta in n modi. Se le attività non possono essere fatte simultaneamente, il numero di modi possibili può essere contato come (m + n).

La regola del prodotto

La prima attività può essere fatta in m modi e la seconda attività può essere fatta in n modi. Se entrambe le attività possono essere fatte simultaneamente, allora ci sono (m × n) modi di eseguirle.

Esempi

La caffetteria vende 3 tipi di torte e 4 tipi di bevande. Tra queste ci sono torta di mele, torta di fragole e torta di mirtilli. E succo di arancia, uva, ciliegia e ananas. Sia le bevande che le torte vengono vendute a $ 2. Hai solo $ 2 con te e nemmeno un centesimo in più. Quindi hai 3 + 4 = 7 opportunità per fare una scelta particolare.

Supponiamo che tu voglia contare il numero di modi per lanciare una moneta e tirare un dado. Il numero di modi in cui puoi lanciare una moneta è 2 poiché una moneta ha 2 facce. Allo stesso modo, ci sono 6 modi possibili in cui puoi tirare un dado. Poiché puoi fare entrambe le attività simultaneamente, allora ci sono 2 × 6 = 12 modi in cui puoi lanciare una moneta e tirare un dado.

Se vuoi estrarre 2 carte da un mazzo di 52 carte senza rimpiazzarle, allora ci sono 52 modi per estrarre la prima e 51 modi per estrarre la seconda. Quindi, il numero di modi per estrarre due carte è 52 × 51 = 2.652.

Spazi campionari

Uno spazio campionario è un elenco di tutti i possibili esiti ed è denotato dalla lettera maiuscola S. Lo spazio campionario per lanciare una moneta e tirare un dado simultaneamente è

S = {{H,1}, {H,2}, {H,3}, {H,4}, {H,5}, {H,6}, {T,1}, {T,2}, {T,3}, {T,4}, {T,5}, {T,6}}

Ci sono dodici modi possibili. I principi del conteggio ci permettono di capire il numero di modi di sperimentare senza doverli elencare tutti.

Combinazione

Il numero di modi possibili per scegliere r risultati non ripetitivi da n possibilità quando l'ordine è irrilevante è noto come combinazione. La combinazione di oggetti è scritta come C(n, r). È conosciuta anche come coefficiente binomiale. La formula della combinazione è definita come

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Il segno ! dopo un numero o lettera indica che stiamo utilizzando il fattoriale di qualche numero. Per esempio, n! è il fattoriale del numero n - ovvero il prodotto dei numeri naturali da 1 a n. Il fattoriale del numero 2 è 1 × 2. Il fattoriale del numero 3 è 1 × 2 × 3. Il fattoriale del numero 4 è 1 × 2 × 3 × 4. Il fattoriale del numero 5 è 1 × 2 × 3 × 4 × 5 e così via. Il fattoriale può essere calcolato solo per interi non negativi.

Una caratteristica essenziale del calcolo della combinazione usando questa formula è che la ripetizione degli oggetti non è consentita e l'ordine di disposizione non conta.

Esempio 1

Supponi di avere un insieme di quattro numeri

{1, 2, 3, 4}

In quanti modi possiamo combinare due elementi da questo insieme se lo stesso elemento non può essere ripetuto in una coppia?

Se l'ordine degli elementi conta, otteniamo gruppi formati da permutazioni:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

Se l'ordine non conta - otteniamo gruppi formati da combinazioni:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

Ci sono 6 combinazioni possibili. Puoi usare la formula per trovare il numero di tutte le possibili combinazioni. Per questo esempio, $n=4$, $r=2$. Quindi,

$$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 × 3 × 2 × 1}{(2 × 1)(2 × 1)}=\frac{24}{4}=6$$

Questo è esattamente ciò che il Calcolatore di Combinazioni calcola.

Esempio 2

Quali sono le combinazioni delle lettere A, B, C e D in un gruppo di 3? Ci sono 24 possibili permutazioni quando l'ordine è importante. Nel conteggio combinatorio, l'ordine è irrilevante. Pertanto, solo la prima riga è rilevante, cioè, ci sono 4 combinazioni possibili.

ABC	ABD	ACD	BCD
ACB	ADB	ADC	BDC
BAC	BAD	CAD	CBD
BCA	BDA	CDA	CDB
CAB	DAB	DAC	DBC
CBA	DBA	DCA	DCB

Piuttosto che elencare tutti i possibili arrangiamenti, possiamo calcolare il numero di possibili arrangiamenti (nei quali l'ordine non è importante) usando la formula della combinazione sopra. Qui, ci sono n=4 oggetti, e ne stai prendendo r=3 alla volta. Quindi,

$$C(n,r)=C(4,3)=\frac{4!}{(4-3)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

Permutazione

La permutazione definisce il numero di modi per organizzare oggetti quando l'ordine degli oggetti è importante. La formula per la permutazione quando si selezionano r oggetti da un elenco di n oggetti è la seguente:

$$P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$$

Le due caratteristiche principali del calcolo delle permutazioni usando questa formula sono che la ripetizione degli oggetti non è consentita e che l'ordine degli oggetti è importante.

Esempio 3

Supponiamo che ci siano 4 candidati in un colloquio di lavoro. Il compito della commissione di selezione è di classificare i candidati da 1 a 4. Ecco le possibilità:

• 1° candidato - ci sono 4 modi per scegliere
• 2° candidato - ci sono 3 modi per scegliere
• 3° candidato - ci sono 2 modi per scegliere
• 4° candidato - c'è solo un modo per scegliere

La regola del prodotto dà il numero totale di modi per scegliere, ovvero 4 × 3 × 2 × 1 = 24 che è lo stesso di 4!.

Diciamo che i candidati siano

{A, B, C, D}

Lo spazio campionario del problema, mostrando tutte le possibili permutazioni, è mostrato di seguito:

A al 1° posto	B al 1° posto	C al 1° posto	D al 1° posto
ABCD	BACD	CABD	DABC
ABDC	BADC	CADB	DACB
ACBD	BCAD	CBAD	DBAC
ACDB	BCDA	CBDA	DBCA
ADBC	BDAC	CDAB	DCAB
ADCB	BDCA	CDBA	DCBA

Piuttosto che elencare tutti gli arrangiamenti possibili come mostrato nella tabella sopra, possiamo calcolare il numero di possibili arrangiamenti usando la formula di permutazione. Per l'esempio sopra, ci sono n = 4 oggetti, e prendi r = 4 elementi alla volta. Quindi,

$$P(n,r)=P(4,4)=\frac{4!}{(4-4)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

La Differenza tra Combinazioni e Permutazioni

La principale differenza tra combinazioni e permutazioni è che nelle combinazioni l'ordine degli elementi non è importante, mentre nelle permutazioni l'ordine degli elementi è importante.