Kikokotoo cha Mteremko

Kikokotoo cha Mteremko

Kikokotoo cha mteremko ni zana rahisi ya mtandaoni iliyoundwa kukusaidia kupata kwa haraka mteremko wa mstari ulionyooka. Katika hisabati, mteremko wa mstari hufafanuliwa kama uwiano wa mabadiliko katika kiwianishi wima (kiwianishi cha y) ikilinganishwa na mabadiliko katika kiwianishi mlalo (kiwianishi cha x)—ambayo mara nyingi hujulikana kama "inuka juu ya kimbia" (rise over run). Iwe wewe ni mwanafunzi, mhandisi, au shabiki wa hisabati, zana hii hurahisisha ukokotoaji mgumu wa jometri ya viwianishi.

Alama Zinazotumika

Mteremko hutambulika ulimwenguni kote kwa herufi m. Mchoro hapo juu unaonyesha alama zote za kawaida zinazotumiwa katika kikokotoo chetu. Kitafutaji hiki cha mteremko kinaweza kufanya hesabu sahihi katika matukio makuu mawili:

1. Ikiwa viwianishi vya pointi mbili kwenye mstari vinajulikana: Kwenye ndege ya Cartesian, pointi hizi mbili zina viwianishi vya (x₁,y₁) na (x₂,y₂). Katika tukio hili, kikokotoo kitatambua kwa usahihi mteremko wa mstari, m.

2. Ikiwa pointi moja na mteremko vinajulikana: Ikiwa unajua viwianishi vya pointi moja (x₁,y₁), umbali d, na mteremko wa mstari, kikokotoo kitakokotoa viwianishi kamili vya pointi ya pili kwenye mstari, (x₂,y₂).

Katika matukio yote mawili, kikokotoo pia kitatoa sifa nyingine muhimu za mstari: mabadiliko ya mlalo (au run) ∆x, mabadiliko ya wima (au rise) ∆y, pembe ya mwinuko θ, na urefu wa jumla wa mstari au umbali, d.

Maelekezo ya Matumizi

Ili kuanza, tambua thamani zako zinazojulikana na uchague mbinu inayofaa ya kukokotoa kutoka kwenye menyu ya juu. Ikiwa una viwianishi kamili vya pointi mbili, chagua “Ikiwa Pointi 2 zinajulikana.”

Ikiwa una viwianishi vya pointi moja pekee, utahitaji kujua umbali, d, na mteremko wa mstari, m, ili kufanya ukokotoaji. Katika hali hii, chagua “Ikiwa Pointi 1 na Mteremko zinajulikana.”

Ikiwa Pointi 2 zinajulikana

Ingiza viwianishi vinavyojulikana vya pointi zako katika sehemu zinazohusika, kisha ubofye “Kokotoa.” Kitafutaji cha mteremko kitatoa taarifa zifuatazo papo hapo:

• mteremko m,
• pembe ya mwinuko θ,
• urefu wa mstari d,
• mabadiliko ya mlalo ∆x,
• mabadiliko ya wima ∆y.

Kwa madhumuni ya elimu, kikokotoo pia kinaonyesha fomula za hatua kwa hatua zinazotumika kutafuta mteremko na thamani nyingine zote za sifa. Zaidi ya hayo, kitazalisha mlinganyo husika wa mstari na kuchora grafu kwa picha wazi inayoeleweka.

Ikiwa Pointi 1 na Mteremko zinajulikana

Ingiza viwianishi vinavyojulikana vya pointi yako ya kuanzia, umbali, na mteremko katika sehemu husika. Kumbuka kwamba badala ya mteremko wa kawaida, unaweza kuchagua kuweka thamani ya “pembe ya mwinuko (theta au θ).” Thamani ya θ lazima iingizwe katika digrii. Unahitaji tu kutoa mojawapo ya thamani hizi (iwe m au θ). Ikiwa zote mbili m na θ zitaingizwa, kikokotoo kitapuuza thamani ya θ na kuweka kipaumbele mteremko m kwa hesabu zake.

Bofya “Kokotoa.” Kikokotoo kitatoa viwianishi vya pointi ya pili (x₂,y₂), mabadiliko ya mlalo ∆x, mabadiliko ya wima ∆y, na urefu wa mstari d. Ikiwa ulitumia mteremko m kwa ingizo lako, zana pia itatoa pembe ya mwinuko θ. Kinyume chake, ikiwa ulitumia pembe ya mwinuko θ, itakokotoa na kutoa mteremko m. Mwishoni, zana itaonyesha mlinganyo wa kawaida wa mstari na kuzalisha mchoro wa grafu unaoonekana.

Fomula ya Mteremko

Kama ilivyoelezwa hapo juu, mteremko wa mstari unawakilisha mabadiliko katika kiwianishi wima (kiwianishi cha y) ikilinganishwa na mabadiliko katika kiwianishi mlalo (kiwianishi cha x). Uhusiano huu unaelezwa kama:

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}=tanθ$$

Mlinganyo huu mkuu unajulikana kama fomula ya mteremko. Tunaweza kuitumia kukokotoa kwa mikono mteremko wa mstari wowote ulionyooka ikiwa viwianishi vya pointi mbili kwenye mstari huo vinajulikana. Mteremko, unaotambulika ulimwenguni kote kama m, unaeleza mwelekeo na mwinuko wa mstari:

• Ikiwa mstari unaenda juu kutoka kushoto kwenda kulia, basi y₂>y₁ wakati x₂>x₁. Mteremko utakuwa chanya daima, m>0. Katika hali hii, tunasema kwamba mstari unaongezeka.

• Ikiwa mstari unaenda chini kutoka kushoto kwenda kulia, basi y₂ < y₁ wakati x₂ > x₁. Mteremko utakuwa hasi, m < 0. Katika hali hii, tunasema kwamba mstari unashuka.

• Ikiwa mstari ni mlalo, basi y₂=y₁ na y₂-y₁=0. Hapo mteremko pia utakuwa sawa na sufuri: m=0.

• Ikiwa mstari ni wima, basi x₂=x₁ na x₂-x₁=0. Fomula ya mteremko itakuwa na sufuri katika asili (denominator), na mteremko utakuwa haujafafanuliwa (undefined).

Mlinganyo wa Mstari

Tunaweza kueleza mlinganyo wowote wa mstari katika muundo ufuatao wa kawaida:

$$y=mx+b$$

Muundo huu maarufu unaitwa fomu ya kukata mteremko (slope-intercept form). Unapochorwa, mlinganyo huu hutengeneza mstari ulionyooka ambapo m inawakilisha mteremko. Kigeu b kinawakilisha kiwianishi ambacho grafu inakata mhimili wa y (y-axis). Kwa sababu hii, b huitwa kwa kawaida kikataa-y (y-intercept), kwa kuwa y=b wakati x=0.

Vinginevyo, wakati mteremko na viwianishi vya pointi moja kwenye mstari vinajulikana, tunaweza kuandika mlinganyo wa mstari katika fomu ya pointi-mteremko (point-slope form):

$$y-y₁=m(x-x₁)$$

Muundo huu wa mlinganyo wa mstari una faida kubwa kwa kutafuta kwa mikono kikataa-y cha mstari uliotolewa.

Mfano wa Kukokotoa

Hebu tupitie mfano wa vitendo kwa kudhani tunajua viwianishi kamili vya pointi mbili kwenye mstari.

Tumepewa:

$$x₁=1$$

$$y₁=1$$

$$x₂=9$$

$$y₂=25$$

Kwanza, tutumie fomula ya mteremko kutafuta mteremko wa mstari huu:

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}$$

$$m=\frac{25-1}{9-1}=\frac{24}{8}=3$$

$$m=3$$

Sasa, hebu tukokotoe thamani nyingine zilizobaki za sifa za mstari. Kwa kuwa tunajua kwamba m=tanθ, tunaweza kutambua pembe ya mwinuko θ kama ifuatavyo:

$$\theta=\arctan{\left(m\right)} = arctan\frac{∆x}{∆y} = 71.565051177078°$$

Zaidi ya hayo,

$$∆x=9-1=8$$

$$∆y=25-1=24$$

Tunaweza kutambua umbali d kati ya pointi hizo mbili kwa kutumia nadharia ya Pythagoras. Kanuni hii ya kimsingi ya jometri inasema kwamba mraba wa urefu wa hipotenasi ni sawa na jumla ya miraba ya miguu ya pembetatu mraba.

Kutumia nadharia hii kwenye pembetatu mraba yetu, tunapata:

$$d^2=∆x2+∆y2$$

Kwa hivyo,

$$d=∆x2+∆y2$$

$$d=\sqrt{8^2+{24}^2}=\sqrt{640}$$

$$d=25.298221281347$$

Ili kupata kikataa-y (y-intercept) cha mstari, hebu tuunde mlinganyo wetu wa mstari kwenye fomu ya pointi-mteremko, tukibadilisha thamani zetu tulizopewa kwa m, x₁, na y₁:

$$y-1=3\left(x-1\right)$$

$$y=3x-2$$

Kwa hivyo, y=-2 ni kikataa-y cha mstari. Kwa maneno mengine, wakati x=0, y=-2.

Ili kupata kikataa-x, ikiwa y=0:

$$x=\frac{2}{3}=0.66666666666667$$

Mchoro huu unawakilisha kwa kuona mstari husika. Katika mfano wetu, mteremko ni chanya, m>0, na tunaweza kuona wazi kwamba mstari unaongezeka—ukisonga juu kutoka kushoto kwenda kulia. Tunaweza pia kugundua kuwa mstari huu ni wenye mwinuko mkali, ambao unalingana kikamilifu na pembe yetu iliyokokotolewa ya mwinuko wa θ ≈ 72°.