Durchschnittsberechnung

Mit unserem Online-Durchschnittsrechner lässt sich der Durchschnitt für jeden Datensatz blitzschnell und mühelos ermitteln. Geben Sie Ihre Daten einfach in das Eingabefeld ein oder fügen Sie diese per Copy-and-Paste ein. Achten Sie lediglich darauf, die einzelnen Datenpunkte durch ein Komma zu trennen. Klicken Sie anschließend auf die Schaltfläche "Berechnen".

Der Mittelwert-Rechner zeigt Ihnen sofort den Mittelwert (arithmetisches Mittel), die detaillierten Berechnungsschritte sowie weitere relevante Statistiken für Ihren Datensatz an.

Der Durchschnitt

Der Durchschnitt (oder Mittelwert) ist definiert als der zentrale Wert der Daten in einem Datensatz. Zur Berechnung des Durchschnitts werden alle Werte der Datenmenge herangezogen – er repräsentiert somit den gesamten Datensatz. In der Statistik gilt der Durchschnitt als eines der wichtigsten Maße der zentralen Tendenz (Lagemaße) zur Zusammenfassung von Daten.

Das einfache arithmetische Mittel ist der am häufigsten verwendete Durchschnitt. Es gibt jedoch verschiedene Arten von Mittelwerten, darunter das geometrische Mittel, das gewichtete Mittel, das kombinierte arithmetische Mittel, das harmonische Mittel usw.

Der Durchschnitt einer Grundgesamtheit (Population) wird durch den griechischen Buchstaben μ (My) dargestellt, während der Durchschnitt einer Stichprobe als X̄ (X-Quer) bezeichnet wird.

Einfacher Durchschnitt

Der einfache Durchschnitt wird berechnet, indem die Summe aller Werte des Datensatzes durch die Gesamtzahl der Datenpunkte geteilt wird. Dieser Wert wird häufig auch als Mittelwert, arithmetisches Mittel oder schlicht als Durchschnitt bezeichnet.

Um den Durchschnitt einer Grundgesamtheit zu berechnen, verwenden wir die folgende Formel:

μ = Summe der Werte des Datensatzes / Gesamtzahl der Datenwerte in der Grundgesamtheit = ΣX / N

Um den Durchschnitt einer Stichprobe zu berechnen, kommt diese Formel zum Einsatz:

X̄ = Summe der Werte des Datensatzes / Gesamtzahl der Datenwerte in der Stichprobe = ΣX/n

Lassen Sie uns die Berechnung des Durchschnitts anhand eines konkreten Beispiels veranschaulichen.

Beispiel

Jasmines Noten aus sieben Fächern des letzten Semesters sind in der folgenden Tabelle aufgeführt. Wie hoch ist der Durchschnitt von Jasmines Noten?

Lösung

Die durchschnittliche Punktzahl = ΣX / N = (84 + 90 + 75 + 60 + 85 + 92 + 81) / 7 = 567 / 7 = 81

Der Durchschnitt ist ein alltäglicher Begriff, den jeder kennt. Das Durchschnittseinkommen, durchschnittliche Produktionskosten, Durchschnittspreise oder der durchschnittliche Kraftstoffverbrauch sind klassische Beispiele, die uns regelmäßig begegnen. Auch im Alltag ist der einfache Durchschnitt eine absolute Standardberechnung. Das einfache arithmetische Mittel ist in der Mathematik auch als idealer Durchschnitt bekannt.

In bestimmten Situationen benötigen wir jedoch andere Maße der zentralen Tendenz. Schauen wir uns diese genauer an.

Geometrischer Mittelwert

Das arithmetische Mittel ist kein geeignetes Maß, um die durchschnittliche Wachstumsrate eines Wertes im Zeitverlauf zu ermitteln. Das geometrische Mittel, das häufig in der Buchhaltung und im Finanzwesen – beispielsweise bei der Berechnung von Zinseszinsen – verwendet wird, ist für solche Berechnungen ein deutlich besserer Indikator. Der Grund dafür liegt darin, dass Wachstumsraten nicht additiv, sondern multiplikativ sind.

Das geometrische Mittel eines Datensatzes ist definiert als die n-te Wurzel aus dem Produkt von n Elementen. Es wird berechnet, indem alle Werte miteinander multipliziert werden und anschließend die n-te Wurzel aus diesem Produkt gezogen wird (wobei n die Anzahl der Elemente im Datensatz darstellt). Das geometrische Mittel ist besonders hilfreich bei der Mittelwertbildung von Verhältnissen, Prozentsätzen und Wachstumsraten.

$$Geometrischer\ Mittelwert = \sqrt[n]{x₁×x₂×x₃×…×xₙ} = (x₁×x₂×x₃×…×xₙ)^{\frac{1}{n}}$$

Berechnen wir nun das geometrische Mittel für unser vorheriges Beispiel:

$$Geometrischer\ Mittelwert = \sqrt[7]{84×90×75×60×85×92×81} = 80,31$$

Der geometrische Mittelwert ist immer gleich oder kleiner als der einfache Durchschnitt (arithmetisches Mittel).

In unserem Beispiel gilt:

Geometrisches Mittel ≤ Der Durchschnitt

80,31 < 81

Mit unserem Durchschnittsrechner können Sie nicht nur das arithmetische Mittel berechnen. Sie können ihn auch ganz bequem nutzen, um den geometrischen Mittelwert Ihres Datensatzes zu ermitteln.

Gewichteter Durchschnitt

Beim einfachen arithmetischen Mittel haben alle Werte das exakt gleiche Gewicht bzw. dieselbe Bedeutung. In manchen Fällen können wir jedoch nicht jedem Wert in unserem Datensatz die gleiche Relevanz beimessen.

In unserem ersten Beispiel haben wir den Durchschnitt berechnet, indem wir alle Punkte addiert und durch die Gesamtzahl der Fächer geteilt haben. Die relative Bedeutung (Gewichtung) der einzelnen Fächer haben wir dabei außer Acht gelassen.

Der gewichtete Durchschnitt (auch gewogenes arithmetisches Mittel genannt) muss verwendet werden, wenn bei der Berechnung die relative Bedeutung der einzelnen Elemente des Datensatzes berücksichtigt werden soll. Der gewichtete Durchschnitt wird berechnet, indem die gewichteten Werte summiert und durch die Summe der Gewichte geteilt werden. Ein Datenwert multipliziert mit seinem entsprechenden Gewicht ergibt den gewichteten Wert.

Wir verwenden die folgende Formel, um den gewichteten Durchschnitt zu ermitteln:

Der gewichtete Durchschnitt = Die Summe der gewichteten Werte / Die Summe der Gewichte = ΣWX / ΣW

Beispiel

Nehmen wir an, dass jedes Fach aus dem vorherigen Beispiel eine andere Gewichtung hat. Die aktualisierte Datentabelle für Jasmines Punktzahlen in den 7 Fächern des letzten Semesters sieht nun wie folgt aus:

Gewichteter Durchschnitt von Jasmines Noten aus dem vorherigen Semester

Lösung

Die gewichtete Durchschnittsnote = ΣWX / ΣW = (84×3+90×2+75×4+60×3+85×3+92×2+81×3)/(3+2+4+3+3+2+3) = (252+180+300+180+255+184+243)/20 = 1594/20 = 79,7

Der Median

Der Median (auch Zentralwert genannt) ist der mittlere Wert eines Datensatzes, wenn dieser in aufsteigender (vom niedrigsten zum höchsten Wert) oder absteigender Reihenfolge (vom höchsten zum niedrigsten Wert) sortiert ist. Mit anderen Worten: Der Median ist der Punkt, der die geordneten Rohdaten in zwei exakt gleich große Hälften teilt. Das bedeutet, dass genau 50 % der Werte unterhalb und 50 % der Werte oberhalb des Medians liegen.

Die Medianberechnungsmethode

Um den Median zu ermitteln, müssen wir zunächst seine Position innerhalb des Datensatzes mit Hilfe der folgenden Formel bestimmen:

$$Die\ Position\ des\ Medians = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{te}punkt$$

Das "n" steht hierbei für die Gesamtzahl der Elemente des Datensatzes.

Wenn die Gesamtzahl der Elemente im Datensatz ungerade ist, entspricht der Median genau dem Wert an der mittleren Position. Ist die Gesamtzahl der Elemente im Datensatz jedoch eine gerade Zahl, so ist der Median der Durchschnitt (das arithmetische Mittel) der beiden mittleren Zahlen.

Unterschiede zwischen dem Mittelwert und dem Median

1. Der Mittelwert oder Durchschnitt wird berechnet, indem alle Werte eines Datensatzes addiert und anschließend durch die Anzahl der Beobachtungen geteilt werden. Dadurch erhalten wir einen Wert, der jeden einzelnen Datenpunkt berücksichtigt. Im Gegensatz dazu ist der Median der exakt in der Mitte liegende Wert eines sortierten Datensatzes. Er bietet einen zentralen Punkt, der die Daten halbiert, ohne jedoch die tatsächliche Größe aller extremen Werte stark zu gewichten.

2. Sowohl der Mittelwert als auch der Median lassen sich aus einer grafischen Darstellung der Daten oft visuell abschätzen. Bei einer symmetrischen Verteilung kann der Mittelwert grob abgelesen werden, da er im Zentrum liegen sollte. Der Median lässt sich als mittlerer Wert beispielsweise sehr gut in einem Boxplot erkennen.

3. Beide Maße spielen in weiterführenden statistischen Analysen eine wichtige Rolle. Der Mittelwert eignet sich besonders für normalverteilte Daten ohne Ausreißer, da er grundlegend für die Berechnung von Varianz und Standardabweichung ist. Der Median ist als Lagemaß besonders wertvoll, wenn die Daten schief verteilt sind oder Ausreißer enthalten. Er wird häufig in nicht-parametrischen statistischen Tests verwendet, die keine spezifische Datenverteilung voraussetzen.

Wann Sie den Mittelwert verwenden sollten

Der Mittelwert ist das am besten geeignete Maß der zentralen Tendenz, wenn der Datensatz eine symmetrische Verteilung ohne Ausreißer aufweist. Da er jeden einzelnen Wert in die Berechnung einbezieht, ist er ein sehr zuverlässiger Indikator für das Zentrum der Daten. Enthält ein Datensatz Ausreißer, kann es sinnvoll sein, diese vor der Berechnung des Mittelwerts zu bereinigen, um eine unverzerrte und präzise Darstellung der zentralen Tendenz zu gewährleisten.

Wann Sie den Median verwenden sollten

Der Median ist das bevorzugte Maß für die zentrale Tendenz bei schiefen (asymmetrischen) Verteilungen oder wenn starke Ausreißer vorhanden sind. Der Grund dafür ist, dass der Median – als mittlerer Wert eines sortierten Datensatzes – im Gegensatz zum Mittelwert nicht von extremen Werten beeinflusst wird. In solchen Fällen bietet der Median einen wesentlich robusteren zentralen Wert, der die Mehrheit der Daten realistisch repräsentiert, ohne durch Ausreißer verzerrt zu werden.

Passen wir unser ursprüngliches Beispiel an, um den Effekt von Ausreißern zu verdeutlichen.

Beispiel

Angenommen, Jasmine hat im Fach Internationale Studien nur 15 statt 92 Punkte erhalten. Wie hoch ist nun der neue Durchschnitt von Jasmines Noten?

Lösung

Die durchschnittliche Punktzahl = ΣX / N = (84+90+75+60+85+15+81)/7 = 490/7 = 70

Die neue Durchschnittspunktzahl beträgt 70. Der Durchschnitt ist somit um 11 Punkte (von 81 auf 70) gesunken. Hier zeigt sich deutlich, wie stark Ausreißer den Mittelwert beeinflussen können.

In einer solchen Situation ist der Median ein weitaus geeigneteres Maß für die zentrale Tendenz als der Durchschnitt. Um dies zu veranschaulichen, berechnen wir nun den Median für das ursprüngliche und das modifizierte Beispiel.

Beispiel

In der nachstehenden Tabelle sind Jasmines ursprüngliche Noten aus dem letzten Semester aufgeführt. Was ist der Median dieser Noten?

Lösung

Im ersten Schritt ordnen wir alle Noten als aufgereihten Datensatz an. Je nach Vorliebe können Sie diese in aufsteigender oder absteigender Reihenfolge sortieren. Wir sortieren sie aufsteigend:

60, 75, 81, 84, 85, 90, 92

$$Die\ Position\ von\ dem\ Median = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{te}punkt = \left( \frac{7+1}{2} \right)^{te}punkt = 4^{te}punkt$$

Als Nächstes prüfen wir, welches das 4. Element unseres Datensatzes ist. Es ist die 84. Daher ist der Median dieses Datensatzes 84. Nun ermitteln wir den Median des modifizierten Datensatzes mit dem Ausreißer.

Beispiel

Angenommen, Jasmine hat 15 statt 92 Punkte im Fach Internationale Studien erhalten. Wie lautet der neue Median für ihre Fächer aus dem letzten Semester?

Lösung

Auch hier ordnen wir im ersten Schritt alle Ergebnisse als Datensatz an. Wir sortieren unsere Daten in aufsteigender Reihenfolge:

15, 60, 75, 81, 84, 85, 90

$$Die\ Position\ von\ dem\ Median = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{te}punkt = \left( \frac{7+1}{2} \right)^{te}punkt = 4^{te}punkt$$

Jetzt prüfen wir, welches das 4. Element unseres Datensatzes ist. Es ist die 81. Diese stellt nun den Median des Datensatzes dar.

Wie Sie sehen, ist der Median ein äußerst robustes Maß: Obwohl es in diesem Fall einen extremen Ausreißer gibt, wird der Median kaum beeinflusst (er verschiebt sich lediglich leicht von 84 auf 81, während der Mittelwert von 81 auf 70 einbricht).