Ortalama Hesaplama

Çevrimiçi ortalama hesaplama aracı, herhangi bir veri setinin ortalamasını bulmayı kolaylaştırır. Verilerinizi veri kutusuna yazabilir, kopyalayıp yapıştırabilirsiniz. Her veri noktasını bir virgülle ayırdığınızdan emin olun. Sonra "Hesapla" butonuna tıklayın.

Ortalama hesaplama aracı size veri seti için ortalama (aritmetik ortalama), hesaplama adımları ve diğer ilgili istatistikleri gösterecektir.

Ortalama

Ortalama, bir veri setindeki değerlerin ortalaması olarak tanımlanır. Ortalamanın hesaplanmasında veri setindeki tüm değerler kullanılır. Bu nedenle, tüm veri setini temsil eder. Ortalama, en önemli merkezi eğilim veya özet ölçütlerinden biri olarak kabul edilir.

Basit aritmetik ortalama en yaygın kullanılan ortalamadır. Bununla birlikte, geometrik ortalama, ağırlıklı ortalama, birleşik aritmetik ortalama, harmonik ortalama ve benzeri çeşitli ortalamalar da vardır.

Bir nüfusun ortalaması μ (Mu) ile, bir örneklemin ortalaması ise X̄ (X çizgi) ile temsil edilir.

Basit Ortalama

Basit ortalama, veri setinin değerlerinin veri öğelerinin toplam sayısına bölünmesiyle hesaplanır. Basit ortalama bazen ortalama, aritmetik ortalama veya sadece ortalama olarak adlandırılır.

Bir nüfusun ortalamasını hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanabiliriz.

μ = Veri setinin değerler toplamı / Nüfustaki veri değerlerinin toplam sayısı = ΣX / N

Bir örneklemin ortalamasını hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanabiliriz:

X̄ = Veri setinin değerler toplamı / Örneklemindeki veri değerlerinin toplam sayısı = ΣX/n

Aşağıdaki örnekle ortalamayı öğrenelim.

Örnek

Jasmine'in geçen dönem aldığı yedi dersin puanları aşağıdaki tabloda gösterilmektedir. Jasmine'in geçen dönem ders puanlarının ortalaması nedir?

Ders	Puan
Yönetim	84
İletişim	90
Muhasebe	75
Ekonomi	60
İşletme İstatistikleri	85
Uluslararası Çalışmalar	92
Matematik	81

Çözüm

Ortalama puan = ΣX / N = (84 + 90 + 75 + 60 + 85 + 92 + 81) / 7 = 567 / 7 = 81

Ortalama herkesin aşina olduğu bir kavramdır. Ortalama gelir, üretim maliyeti ortalaması, ortalama fiyatlandırma, ortalama puan, ortalama yakıt tüketimi vb. sıkça duyabileceğiniz bazı örneklerdir. Günlük hayatta bile, basit ortalama standart bir hesaplama yöntemidir. Basit ortalama veya basit aritmetik ortalama aynı zamanda ideal ortalama olarak da bilinir.

Bununla birlikte, bazı durumlarda merkezi eğilimin diğer ölçülerini kullanırız. Bunlara bir göz atalım.

Geometrik Ortalama

Zaman içinde bir değerin ortalama büyüme hızını belirlerken aritmetik ortalama uygun bir ölçüm değildir. Özellikle hesaplamalarda bileşik faizi hesaplama gibi muhasebe ve finansta kullanılan geometrik ortalama, bu tür hesaplamalar için çok daha iyi bir göstergedir. Bunun nedeni, büyüme oranının toplamsal değil, çarpanlı olmasıdır.

Veri setinizin geometrik ortalaması, n öğenin çarpımının n'inci kökü olarak tanımlanır. Hesaplama, her değerin çarpılması ve ardından ürünün n'inci kökünün hesaplanmasıyla yapılır, burada n, veri setindeki öğe sayısıdır. Geometrik ortalama, oranları, yüzdeleri ve büyüme oranlarını ortalamak için faydalıdır.

$$Geometrik\ Ortalama = \sqrt[n]{x₁×x₂×x₃×…×xₙ} = (x₁×x₂×x₃×…×xₙ)^{\frac{1}{n}}$$

Önceki örnekte Geometrik Ortalama'yı bulacağız.

$$Geometrik\ Ortalama = \sqrt[7]{84×90×75×60×85×92×81} = 80,31$$

Geometrik Ortalama, her zaman basit ortalamadan (aritmetik ortalama) eşit veya daha düşüktür.

Örneğimizde,

Geometrik Ortalama ≤ Ortalama

80,31 < 81

Ortalama hesaplama aracını sadece aritmetik ortalamayı belirlemek için değil, aynı zamanda veri setinizin Geometrik Ortalamasını elde etmek için de kullanabilirsiniz.

Ağırlıklı Ortalama

Basit aritmetik ortalamada, tüm değerlerin aynı ağırlığı veya önemi vardır. Ancak bazı durumlarda veri setimizdeki her bir değere aynı önemi atayamayız.

Örneğimizde, tüm puanları toplayarak ve toplam ders sayısına bölerek ortalama hesapladık. Her bir dersin göreceli önemini dikkate almadık.

Ağırlıklı ortalama, ortalama hesaplanırken veri setimizdeki her öğenin göreceli önemini dikkate almak gerektiğinde kullanılmalıdır. Ağırlıklı ortalama, ağırlıklı değerlerin ağırlıklar toplamına bölünmesiyle hesaplanır. Veri değeri ilgili ağırlık ile çarpılarak ağırlıklı değer elde edilir.

Ağırlıklı ortalamayı bulmak için aşağıdaki formülü kullanabiliriz.

Ağırlıklı ortalama = Ağırlıklı değerlerin toplamı / Ağırlıkların toplamı = ΣWX / ΣW

Örnek

Önceki örnekteki derslerin her birinin farklı bir ağırlığı olduğunu varsayalım. Buna göre, Jasmine'in geçen dönem aldığı 7 dersin güncellenmiş puan tablosu aşağıdaki gibidir.

Jasmine'in geçen dönem ders puanlarının ağırlıklı ortalaması

Ders	Puan	Ağırlık
Yönetim	84	3
İletişim	90	2
Muhasebe	75	4
Ekonomi	60	3
İşletme İstatistikleri	85	3
Uluslararası Çalışmalar	92	2
Matematik	81	3

Çözüm

Ağırlıklı ortalama puan = ΣWX / ΣW = (84×3+90×2+75×4+60×3+85×3+92×2+81×3)/(3+2+4+3+3+2+3) = (252+180+300+180+255+184+243)/20 = 1594/20 = 79,7

Medyan

Bir veri koleksiyonunun değerleri artan (en düşük değerden en yükseğe) ya da azalan (en yüksekten en düşüğe) sıralandığında, medyan koleksiyonun orta değeridir. Başka bir deyişle, medyan veri dizisini (Bir dizi, ham verilerin değerlerinin artan ya da azalan sıralamasıdır) iki eşit parçaya bölen noktadır. Sonuç olarak, %50 değerler medyandan aşağıda ve %50'si medyandan yukarıdadır.

Medyan Hesaplama Metodu

Medyanı bulurken öncelikle aşağıdaki formülü kullanarak medyanın pozisyonunu bulmamız gerekmektedir:

$$Medyanın\ pozisyonu = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{inci}\ öğe$$

"n” veri setindeki toplam öğe sayısını gösterir.

Veri setindeki öğe sayısı tek sayı ise, orta pozisyondaki öğenin değeri medyandır. Ancak veri setindeki öğe sayısı çift sayı ise, ortadaki iki sayının ortalaması medyandır.

Basit Ortalama ve Medyan Farkları

1. Ortalama, veri setindeki tüm değerler kullanılarak hesaplanır. Veri setindeki tüm değerleri toplayıp, öğe sayısına böleriz ve böylece ortalamayı elde ederiz. Ancak, medyan veri setindeki tüm değerlerin temsili bir ölçümü değildir.
2. Medyan, verilerin grafiksel sunumuyla tahmin edilebilir. Ancak, ortalamayı grafiksel bir sunumla tahmin edemeyiz.
3. Ortalama, daha fazla istatistiksel hesaplamalar için kullanılır. Ancak medyan daha fazla istatistiksel hesaplamalar için kullanılmaz.

Ortalama Ne Zaman Kullanılır

Veri seti simetrik olduğunda, aykırı değerler yoksa veya bu aykırı değerler çıkarıldığında, ortalama veri seti için en uygun merkezi eğilim ölçüsüdür.

Medyan Ne Zaman Kullanılır

Veri seti aykırı değerlerden etkilendiğinde veya veri seti simetrik bir dağılıma sahip değilse ya da veri seti çarpık bir dağılıma sahipse, ortalama veri setini temsil etmek için iyi bir ölçüm değildir. Aykırı değerler, veri setinin diğer değerlerinden aşırı derecede küçük veya büyük olan veri noktalarıdır. Eğer veri setinde aykırı değerler varsa, ortalama veya aritmetik ortalama bu değerlerden büyük ölçüde etkilenir.

Örneğimizi değiştirelim ve aykırı değerler hakkında öğrenelim.

Örnek

Jasmine'in uluslararası çalışmalar dersinden 92 yerine 15 aldığını varsayalım. Geçen dönem derslerinden Jasmine'in yeni puanlarının ortalaması nedir?

Ders	Puan
Yönetim	84
İletişim	90
Muhasebe	75
Ekonomi	60
İşletme İstatistikleri	85
Uluslararası Çalışmalar	15
Matematik	81

Çözüm

Ortalama puan = ΣX / N = (84+90+75+60+85+15+81)/7 = 490/7 = 70

Yeni ortalama puan 70'tir. Aykırı bir değerin etkisiyle ortalama, 81'den 70'e, yani 11 puan düşmüştür.

Bu tür durumlarda, veri setinin ortancası (medyanı), aritmetik ortalama (mean) yerine daha uygun bir merkezi eğilim ölçüsüdür. Bunu anlamak için, orijinal ve değiştirilmiş örnekler için ortancayı (medyanı) hesaplayalım.

Örnek

Aşağıdaki tablo, Jasmine'in geçen dönem yedi dersten aldığı orijinal puanları göstermektedir. Jasmine'in geçen dönem ders puanlarının ortancası (medyanı) nedir?

Ders	Puan
Yönetim	84
İletişim	90
Muhasebe	75
Ekonomi	60
İşletme İstatistikleri	85
Uluslararası Çalışmalar	92
Matematik	81

Çözüm

İlk adım olarak, tüm puanları bir dizi olarak düzenleyeceğiz. Tercihinize bağlı olarak bunu artan veya azalan sırayla düzenleyebilirsiniz.

60, 75, 81, 84, 85, 90, 92

$$Ortancanın\ pozisyonu = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{inci}\ öğe = \left( \frac{7+1}{2} \right)^{inci}\ öğe = 4^{üncü}\ öğe$$

Daha sonra, veri setimizin 4. öğesinin ne olduğunu kontrol edeceğiz. Bu 84'tür. Buna göre, veri setinin ortancası (medyanı) 84'tür. Şimdi, aykırı değer içeren değiştirilmiş veri setinin ortancasını (medyanını) bulacağız.

Örnek

Jasmine'in uluslararası çalışmalar dersinden 92 yerine 15 aldığını varsayalım. Geçen dönem aldığı derslerin yeni ortanca (medyan) puanı nedir?

Ders	Puan
Yönetim	84
İletişim	90
Muhasebe	75
Ekonomi	60
İşletme İstatistikleri	85
Uluslararası Çalışmalar	15
Matematik	81

Çözüm

İlk adım olarak, tüm puanları bir dizi olarak düzenleyeceğiz. Verilerimizi artan sıraya göre düzenleyelim.

60, 75, 81, 84, 85, 90, 15

Bu durumda aykırı bir değer olsa da, ortanca (medyan) etkilenmemiştir. Veri setimizin 4. öğesinin ne olduğunu kontrol ederiz. Bu 84'tür ve veri setinin ortancasını (medyanını) temsil eder.