Ortalama Hesaplama

Ücretsiz çevrimiçi ortalama hesaplama aracı ile herhangi bir veri setinin ortalamasını bulmak artık çok kolay. Verilerinizi hesaplama kutusuna manuel olarak yazabilir veya doğrudan kopyalayıp yapıştırabilirsiniz. Her bir veri noktasını virgülle ayırdığınızdan emin olun ve ardından "Hesapla" butonuna tıklayın.

Gelişmiş ortalama hesaplama makinesi; girdiğiniz veri seti için aritmetik ortalamayı, adım adım hesaplama sürecini ve diğer önemli istatistiksel sonuçları saniyeler içinde size sunacaktır.

Ortalama

İstatistiksel anlamda ortalama, bir veri setindeki değerlerin bütünü kullanılarak elde edilen merkezi bir değerdir. Hesaplama aşamasında veri setindeki tüm elemanlar sürece dahil edildiği için, elde edilen sonuç tüm veri setini temsil etme özelliğine sahiptir. Ortalama, veri analizindeki en önemli merkezi eğilim (merkezi yığılım) ölçütlerinden biri olarak kabul edilir.

Günlük hayatta en yaygın kullanılan türü basit aritmetik ortalamadır. Bununla birlikte; geometrik ortalama, ağırlıklı ortalama, birleşik aritmetik ortalama ve harmonik ortalama gibi farklı analiz ihtiyaçlarına yanıt veren çeşitli ortalama türleri de bulunmaktadır.

İstatistikte bir popülasyonun (evrenin) ortalaması μ (Mu) sembolü ile, bir örneklemin ortalaması ise X̄ (X-bar / X çizgi) sembolü ile ifade edilir.

Basit Ortalama

Basit ortalama, bir veri setindeki tüm değerlerin toplanıp toplam veri sayısına bölünmesiyle hesaplanır. Bu hesaplama yöntemi sıklıkla sadece "ortalama" veya "aritmetik ortalama" olarak da adlandırılır.

Bir popülasyonun ortalamasını hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanırız:

μ = Veri setindeki değerlerin toplamı / Popülasyondaki toplam veri sayısı = ΣX / N

Bir örneklemin ortalamasını hesaplamak için ise şu formül kullanılır:

X̄ = Veri setindeki değerlerin toplamı / Örneklemdeki toplam veri sayısı = ΣX / n

Gelin, aritmetik ortalamanın nasıl hesaplandığını bir örnek üzerinden inceleyelim.

Örnek

Jasmine'in geçen dönem aldığı yedi derse ait notlar aşağıdaki tabloda gösterilmektedir. Jasmine'in geçen dönemki not ortalaması nedir?

Çözüm

Ortalama puan = ΣX / N = (84 + 90 + 75 + 60 + 85 + 92 + 81) / 7 = 567 / 7 = 81

Ortalama, günlük hayatta hemen herkesin aşina olduğu temel bir kavramdır. Ortalama gelir, ortalama üretim maliyeti, ortalama fiyatlandırma, not ortalaması, ortalama yakıt tüketimi gibi terimler sıklıkla karşımıza çıkar. Günlük yaşantımızda standart hesaplama yöntemi olarak genellikle basit ortalama tercih edilir. Basit aritmetik ortalama aynı zamanda "ideal ortalama" olarak da bilinir.

Ancak bazı özel istatistiksel durumlarda farklı merkezi eğilim ölçülerini kullanmamız gerekebilir. Şimdi bu alternatiflere yakından göz atalım.

Geometrik Ortalama

Zaman içinde değişen bir değerin ortalama büyüme hızını belirlerken basit aritmetik ortalama kullanmak doğru sonuçlar vermeyebilir. Özellikle muhasebe ve finans alanlarında, bileşik faiz ve getiri oranları gibi hesaplamalarda kullanılan geometrik ortalama, bu tür analizler için çok daha güvenilir bir göstergedir. Bunun temel nedeni, büyüme oranlarının toplamsal (kümülatif) değil, çarpımsal (katlanarak artan) bir yapıya sahip olmasıdır.

Bir veri setinin geometrik ortalaması, veri setindeki "n" adet elemanın çarpımının n'inci dereceden kökü olarak tanımlanır. Hesaplama işlemi; her bir değerin birbiriyle çarpılması ve elde edilen sonucun veri sayısına (n) eşit dereceden kökünün alınmasıyla gerçekleştirilir. Geometrik ortalama; oranları, yüzdeleri ve periyodik büyüme hızlarını analiz etmek için son derece kullanışlıdır.

$$Geometrik\ Ortalama = \sqrt[n]{x₁×x₂×x₃×…×xₙ} = (x₁×x₂×x₃×…×xₙ)^{\frac{1}{n}}$$

Bir önceki örneğimizdeki verileri kullanarak geometrik ortalamayı hesaplayalım:

$$Geometrik\ Ortalama = \sqrt[7]{84×90×75×60×85×92×81} = 80,31$$

Matematiksel bir kural olarak Geometrik Ortalama, her zaman aritmetik ortalamaya eşit veya ondan daha küçüktür.

Örneğimizde görebileceğiniz üzere:

Geometrik Ortalama ≤ Aritmetik Ortalama

80,31 < 81

Sitemizdeki çevrimiçi ortalama hesaplama aracını yalnızca aritmetik ortalamayı bulmak için değil, aynı zamanda veri setinizin geometrik ortalamasını tek tıkla ve hatasız bir şekilde hesaplamak için de kullanabilirsiniz.

Ağırlıklı Ortalama

Basit aritmetik ortalamada, hesaplamaya dahil edilen tüm değerler eşit ağırlığa (öneme) sahiptir. Ancak gerçek hayattaki pek çok durumda, veri setimizdeki her bir elemana aynı önemi atfedemeyiz.

Bir önceki örneğimizde, tüm notları toplayıp toplam ders sayısına bölerek basit bir ortalama elde ettik. Fakat bunu yaparken her bir dersin göreceli önemini (kredisi veya katsayısını) dikkate almadık.

Ağırlıklı ortalama, veri setimizdeki her bir elemanın sonuca olan etkisinin (göreceli öneminin) farklı olduğu senaryolarda kullanılmalıdır. Ağırlıklı ortalama; veri değerlerinin kendi ağırlıklarıyla çarpılması sonucu elde edilen "ağırlıklı değerler toplamının", "ağırlıklar toplamına" bölünmesiyle hesaplanır.

Ağırlıklı ortalamayı bulmak için şu formülü kullanabiliriz:

Ağırlıklı ortalama = Ağırlıklı değerlerin toplamı / Ağırlıkların toplamı = ΣWX / ΣW

Örnek

Önceki örnekteki derslerin her birinin farklı bir ağırlığı (kredisi) olduğunu varsayalım. Buna göre, Jasmine'in geçen dönem aldığı 7 derse ait güncellenmiş not ve ağırlık tablosu aşağıdaki gibidir:

Jasmine'in geçen dönem ders puanlarının ağırlıklı ortalaması:

Çözüm

Ağırlıklı ortalama puan = ΣWX / ΣW = (84×3+90×2+75×4+60×3+85×3+92×2+81×3)/(3+2+4+3+3+2+3) = (252+180+300+180+255+184+243)/20 = 1594/20 = 79,7

Medyan

Bir veri setindeki elemanlar küçükten büyüğe (artan) veya büyükten küçüğe (azalan) doğru sıralandığında, tam ortada yer alan değere medyan (ortanca) denir. Başka bir deyişle medyan; sıralı bir veri dizisini (veri dizisi, ham verilerin belirli bir düzene göre sıralanmış halidir) iki eşit parçaya bölen merkez noktasıdır. Bu bölünme sonucunda, verilerin %50'si medyan değerinin altında, diğer %50'si ise medyan değerinin üstünde yer alır.

Medyan Hesaplama Metodu

Medyanı hesaplarken, işe öncelikle aşağıdaki formülü kullanarak medyanın veri seti içindeki pozisyonunu (sırasını) bularak başlamalıyız:

$$Medyanın\ pozisyonu = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{inci}\ öğe$$

Formüldeki "n", veri setindeki toplam eleman sayısını ifade eder.

Eğer veri setindeki eleman sayısı tek ise, dizilimin tam ortasında yer alan eleman medyandır. Ancak veri setindeki eleman sayısı çift ise ortada tek bir değer kalmayacağından, merkeze denk gelen iki sayının aritmetik ortalaması medyan olarak kabul edilir.

Basit Ortalama ve Medyan Farkları

1. Aritmetik ortalama, veri setindeki tüm değerler hesaplama sürecine dahil edilerek bulunur. Dizideki tüm sayıları toplar ve veri sayısına böleriz. Medyan ise salt konumsal bir ölçüttür; veri setindeki tüm değerleri hesaba katarak matematiksel bir temsil sunmaz.
2. Medyan (ortanca) değeri, verilerin grafiksel dağılımlarına bakılarak görsel olarak tahmin edilebilir. Ancak aritmetik ortalamayı sadece grafiksel bir sunuma bakarak kesin bir şekilde belirlemek çoğu zaman mümkün değildir.
3. Aritmetik ortalama; varyans ve standart sapma gibi daha ileri düzey istatistiksel hesaplamaların temelini oluşturur. Medyan ise bu tarz cebirsel ve ileri istatistiksel işlemler için kullanışlı bir ölçüt değildir.

Ortalama Ne Zaman Kullanılır

Veri setinin dağılımı simetrik olduğunda ve içinde aykırı (çok uç) değerler bulunmadığında (ya da bu aykırı değerler veri temizleme işlemiyle çıkarıldığında), aritmetik ortalama veri setini tanımlamak için kullanılabilecek en ideal ve uygun merkezi eğilim ölçüsüdür.

Medyan Ne Zaman Kullanılır

Veri seti aşırı uç (aykırı) değerler barındırıyorsa, simetrik bir dağılım göstermiyorsa veya sağa/sola çarpık bir dağılıma sahipse, genel yapıyı temsil etmek için ortalama kullanmak son derece yanıltıcı olabilir. Aykırı değerler, bir veri setindeki diğer tüm değerlere kıyasla olağandışı derecede küçük veya büyük olan veri noktalarıdır. Eğer bir dizide aykırı değerler varsa, aritmetik ortalama bu uç noktalardan doğrudan ve çok büyük ölçüde etkilenir.

Gelin örneğimizi biraz değiştirerek aykırı değerlerin sistem üzerindeki etkisini yakından görelim.

Örnek

Jasmine'in Uluslararası Çalışmalar dersinden 92 yerine çok daha düşük bir not olan 15 aldığını varsayalım. Bu durumda Jasmine'in geçen dönemki not ortalaması nasıl değişir?

Çözüm

Ortalama puan = ΣX / N = (84+90+75+60+85+15+81)/7 = 490/7 = 70

Gördüğünüz gibi yeni not ortalaması 70'e geriledi. Tek bir aykırı değerin sisteme dahil olmasıyla genel aritmetik ortalama 81'den 70'e, yani tam 11 puan birden düşmüş oldu.

İşte bu gibi aşırı dengesiz dağılımın ve aykırı değerlerin bulunduğu durumlarda, veri setinin ortancası (medyan), aritmetik ortalamaya (mean) kıyasla çok daha dirençli ve uygun bir merkezi eğilim ölçüsüdür. Aradaki bu davranış farkını daha net görebilmek adına, orijinal veri seti ile değiştirilmiş veri seti için medyan değerlerini ayrı ayrı hesaplayalım.

Örnek

Aşağıdaki tablo, Jasmine'in geçen dönem yedi dersten aldığı orijinal (ilk) notları göstermektedir. Bu veri setine göre Jasmine'in ders notlarının medyanı (ortancası) nedir?

Çözüm

İlk adım olarak, tüm notları bir dizi halinde sıralamalıyız. Tercihinize bağlı olarak dizilimi artan veya azalan sırayla yapabilirsiniz. Biz bu örnekte küçükten büyüğe (artan sıraya göre) ilerleyeceğiz:

60, 75, 81, 84, 85, 90, 92

$$Ortancanın\ pozisyonu = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{inci}\ öğe = \left( \frac{7+1}{2} \right)^{inci}\ öğe = 4^{üncü}\ öğe$$

Ardından, sıraladığımız dizide 4. elemanın hangisi olduğuna bakarız. Bu değer 84'tür. Buna göre orijinal veri setinin medyan değeri 84'tür. Şimdi de, aykırı uç değer barındıran değiştirilmiş veri setimizin medyanını bulalım.

Örnek

Jasmine'in Uluslararası Çalışmalar dersinden 92 yerine 15 aldığını varsayalım. Bu yeni senaryoda, geçen dönem aldığı derslerin medyan puanı (ortancası) nedir?

Çözüm

Yine ilk adım olarak tüm notları baştan bir dizi halinde organize etmeliyiz. Verilerimizi artan sıraya göre (küçükten büyüğe doğru) yeniden dizelim:

15, 60, 75, 81, 84, 85, 90

Formüle göre yine veri setimizin 4. elemanını kontrol ederiz. Bu kez merkeze düşen değer 81'dir. Sisteme 15 gibi çok ciddi bir aykırı (düşük) değer girmiş olmasına rağmen, medyan değeri yalnızca küçük bir kayma yaşamış (84'ten 81'e inmiş) fakat aritmetik ortalama gibi çökmemiştir (81'den 70'e düşüş). Bu istatistiksel durum, aykırı değerlerin söz konusu olduğu analizlerde medyanın ne kadar güvenilir ve sistemi temsil yeteneği yüksek bir ölçüt olduğunu açıkça kanıtlamaktadır.